Boecio - Sobre el silogismo categórico (De syllogismo cathegorico) (Libro II)

Seguimos con el estudio de los silogismos categóricos, pero esta vez veremos la unión y la composición de los silogismos. Si bien esta parte es una extensión de la anterior, la verdad es que Boecio introducirá nuevos conceptos para entender lo que se viene a continuación. También, veremos el desarrollo de las cuatro figuras más importante en la obra de la lógica aristotélica. Esta es la parte final del estudio de los silogismos categóricos, y claro, podemos ver que al mismo tiempo e sun complemento al análisis del órganon de Aristóteles. 

De syllogismo cathegorico

Inclusión extensiva

En primer lugar, Boecio nos dice que se debe entender el concepto de ''estar todo en'' y ''no estar todo en''. 

Esto es, si una cosa pertenece a un género del mismo modo su especie estará toda en ella. Así, dentro de animal está la especie hombre, y de este modo, hombre está enteramente en el género animal. Por lo tanto, la palabra ''hombre'' es menor en extensión que la palabra ''animal'' y es por esto que podemos decir que ''hombre'' está todo en ''animal''. También podría ser al revés como cuando se dice que animal es predicado de todo hombre. 

Por otro lado, cuando se dice que no está en todo sucede una separación entre los conceptos. Por ejemplo, cuando se dice que ''Animal no está en ninguna piedra'' o ''El animal de ninguna piedra es predicado''.

En resumen:

• Estar todo en (o ser predicado de todo): siempre que no puede encontrarse algo del sujeto, respecto de aquello que se predica no puede decirse que no se predica
• No estar todo en ( o no ser en nada predicado de algo): cada vez que nada del sujeto pueda ser encontrado, respecto de lo cual, aquello que se predica, puede decirse

También hay que dejar establecida la diferencia de que ''estar todo en'' y ''ser predicado de todo''. El segundo caso es la explicación reversa del primero, por ejemplo, si tenemos la oración ''Todo hombre es un animal'', su explicación reversa sería ''Animal es predicado de todo hombre''.

La palabra hombre está en todo animal como si estuviera ''escondido'' dentro del género. mientras que la palabra animal estará en todo aquello que es hombre. 

De aquí se extrae el principio ''dictum omni et nullo'' (la máxima de todos y de ninguno, el cual quiere decir que si cualquier cosa es afirmada o negada, de igual forma se puede afirmar o negar un subtipo de esa misma cosa. Por ejemplo:

P1: Todos los hombres son mortales

P2: Juan es mortal

C: Juan es hombre

Del mismo modo,y siguiendo la misma lógica, puede construirse un silogismo negativo que sería el dictum nullo.

Uso de letras en vez de términos

En razón a la brevedad y concisión es mejor hacer los silogismos mediante letras para entenderlos mucho mejor. Por lo tanto, cada vez que una cosa se predique de otra se dirá ''sea A predicado de todo B''. 

Figuras de los silogismos

Entonces, usando las letras en vez de los conceptos iremos explicando las cuatro figuras de los silogismos. 

Primera figura

Esta se forma cuando A es predicado de todo término B, y a su vez, B de todo C. En este caso, lo primero que es sujeto del primer término (B) es sujeto también de otro término (C). 

B es A

C es B

Boecio llama a A y C términos extremos por ser predicado y sujeto de B, y B sería el término medio porque es sujeto de solo uno de los extremos.

Por otro lado, el término extremo mayor es A  porque es el primero que se predica, mientras que el término C es el término extremo menor porque es sujeto del término medio B.

Obviamente, estas pueden ser invertidas sin ningún problema y siempre y cuando no se excedan recíprocamente, es decir, que sean coextensivas. 

Segunda figura

La segunda figura se da cada vez que el término A es predicado de ambos términos, b y c.

B es A

C es A

Por lo tanto, el término medio en este silogismo es la letra A y los extremos serían B y C.

Tercera figura

La tercera figura se da siempre que los términos a y b se predican de un único c.

C es A

C es B

En este caso, el término medio es C que es sujeto tanto de A como de B que son los extremos. 

El silogismo perfecto 

El silogismo perfecto es aquel por el cual nada hace falta para alcanzar una conclusión perfecta. Por lo tanto, el único que podríamos llamar silogismo perfecto es el de la primera figura, los demás son imperfectos. 

Procedencia de las figuras imperfectas

Las figuras imperfectas se derivan de la primera.

Primera figura: 

B es A

C es B

 

Segunda figura:

B es A

C es A

Si alguien diese vuelta el término mayor y la proposición, haciendo que aquello que antes  había sido predicado pase a ser sujeto, crearía la segunda figura.

Por su parte, la tercera figura nace a partir de la conversión de la proposición menor.

Primera figura: 

B es A

C es B

Tercera figura: 

C es A

C es B

Por consiguiente, al convertir los términos extremos mayor y menor de la primera figura.

Modos válidos de la primera figura

Cada una de las figuras que hemos mostrado tienes sus propios modos distintos. Aristóteles describió algunos de ellos, pero sus alumnos como Teofrasto y Eudemo se encargaron de añadir más. Veamos cada uno de ellos. 

Modos válidos de la primera figura

Primer modo silogístico:

El primer modo de la primera figura es aquel que se produce a partir de dos afirmativas universales, concluyendo una afirmativa universal. Ciertamente, si el término A estuviese en todo el término B, y si el término B fuese predicado de todo término C, el término A será predicado de todo término C.

P1: Todo justo es bueno

P2: Toda virtud es justa

C: Toda virtud es buena

El orden que podemos ver en este primer modo es que las tres son afirmativas (AU-AU-AU).

Segundo modo silogístico:

Se da cada vez que a partir de una primera proposición negativa universal, y de una segunda proposición afirmativa universal, se deduce una conclusión negativa universal.

P1: Ningún bueno es malo

P2: Todo justo es bueno

C: Toda virtud es buena

El orden que podemos ver en este primer modo es que a excepción de la primera las demás son afirmativas (NU-AU-AU).

Tercer modo silogístico:

Se realiza siempre que desde una afirmativa universal y una afirmativa particular, se concluye en una afirmativa particular.

P1: Todo bueno es virtuoso

P2: Algún justo es bueno

C: Algún justo es virtuoso

El orden que podemos ver en este primer modo es que las proposiciones contienene expresiones universales y particulares (AU-AP-AP).

Cuarto modo silogístico:

El cuarto modo de la primera figura es tal que siempre desde una negación universal y una afirmación particular, se concluye en una negativa particular.

P1: Ningún bueno es malo

P2: Algún justo es bueno

C: Algún justo no es malo

El orden que podemos ver en este primer modo es que a excepción de la primera las restantes son particulares (NU-AP-NP).

Quinto modo silogístico (de aquí en adelante agregado por Teofrasto y Eudemo):

Surge a partir de dos afirmaciones universales que concluyen en una afirmativa particular, de la siguiente forma: si A estuviese en todo B, y B en todo C, sin duda, pudiera ser concluido que el término a está en todo término C.

B es A

C es B

C es A

Obervando cuidadosamente este silogismo, podemos ver que el término C se puede predicar de algún término A. Por ejemplo, 

P1: Todo justo es bueno

P2: Toda virtud es justa

C: Algún bueno es virtuoso

Por conversión e indirectamente se dice este nuevo modo, puesto

que lo que se concluía universalmente, ahora se concluye de modo particular y converso.

Sexto modo silogístico:

Es el que se produce desde una negativa universal y una afirmativa universal, concluyendo por conversión en una conclusión universal.

P1: Ningún bueno es malo

P2: Todo justo es bueno

C: Ningún malo es justo

Séptimo modo silogístico:

Es aquel que desde una afirmativa universal y una afirmativa particular concluye por conversión en una afirmativa particular.

P1: Todo bueno es virtuoso

P2: Algún justo es bueno

C: Algún justo es virtuoso

Sin embargo, también se puede concluir lo siguiente:

C: Algún virtuoso es justo

Octavo modo silogístico:

Se da cada vez que desde una afirmación universal y desde una negación universal se concluye en una particular negativa.

Sin embargo, se debe proceder de manera distinta si se empieza con una afirmación universal. Por ejemplo,

P1: Todo bueno es justo

P2: Ningún malo es bueno

C: Ningún malo es justo

Luego se debe convertir en esta:

P1: Ningún bueno es malo

P2: Algún justo es bueno

C: Algún justo no es malo.

Noveno modo silogístico:

Es aquel que desde una afirmativa particular y una negativa universal concluye, por conversión, en una negativa particular.

Sin embargo, puesto que la negación universal puede ser convertida, se dirá luego que el término C se predica de ningún término B, y que el término B es predicado de algún A; por lo tanto, el término C no será predicado de algún A.

P1: Algún bueno es justo

P2: Ningún malo es bueno

C: Algún justo no es malo

Podemos decir, en todo caso, que el noveno modo tiene su semejanza con el octavo a partir de sus dos primeras premisas. 

Modos válidos de la segunda figura

Los modos de la segunda figura, aunque válidos en su estructura, no son verdaderos si no tienen como base los modelos de la primera figura, es decir, dependen de la estructura de la primera figura. Es por eso que siempre llamaremos a estos silogismos tanto de la segunda como de la tercera figura, silogismos imperfectos.

Primer modo silogístico:

Se produce cuando se concluye en una negativa universal a partir de una afirmativa universal y una negativa universal.

P1: Ningún malo es bueno

P2: Todo justo es bueno

C: Ningún justo es malo

Así, es evidente que en la conclusión el término extremo mayor es

predicado del menor. Obviamente, podemos ver que este silogismo es casi idéntico al sexto modo silogístico de la primera figura, solo que cambia el término mayor. 

Segundo modo silogístico:

Se da siempre que desde una afirmativa universal y de una negativa universal, cambiando esta vez el orden de las universales, nuevamente una negativa es concluida.

P1: Todo justo es bueno

P2: Ningún malo es bueno

C: Ningún malo es justo

Como podemos ver, este silogismo es una transposición del segundo modo silogístico del segundo modo de la primera figura. 

Tercer modo silogístico:

Se realiza siempre que a partir de una negativa universal y una afirmativa particular se concluye una negativa particular.

P1: Ningún malo es bueno

P2: Algún justo es bueno

C: Algún justo no es malo

En este aspecto, podemos decir que este tercer modo puede convertirse perfectamente en el cuarto modo silogístico de la primera figura.

Cuarto modo silogístico:

Es aquel que desde una afirmación universal y una negación particular concluye en una negación particular.

P1: Todo justo es bueno

P2: Algún malo no es bueno

C: Algún malo no es justo

Sin embargo, ni la disposición ni el orden de las proposiciones pueden ser probados por conversión, porque la afirmación general no se puede convertir a sí misma (demostración por imposible).

Por consiguiente, este silogismo es demostrado a partir de la primera figura, ya que si este silogismo no concluye en una proposición negativa particular, sucede algo incoherente e imposible.

Modos válidos de la tercera figura

Resta que expliquemos los modos y los órdenes de la tercera figura. Pero antes de que hagamos esto, hay que observar primero que en los modos de la tercera figura nunca se llega a una conclusión universal, sino que, bien negativas bien afirmativas, las conclusiones siempre serán particulares y ciertamente nunca generales.

Primer modo silogístico:

El primer modo de la tercera figura es el que a partir de dos afirmaciones universales concluye en una afirmación particular.

P1: Todo bueno es justo

P2: Todo bueno es virtuoso

C: Algún virtuoso es justo

Otros cambian los términos y quieren hacer un segundo modo.

P1: Todo bueno es virtuoso

P2: Todo bueno es justo

C: Algún justo es virtuoso

Pero Aristóteles no diferencia este modo del anterior y cree que estos dos son uno solo, y por eso nosotros, dubitativos, dijimos que eran siete los modos de la tercera figura. Sin embargo, ha de ser mejor seguir a Aristóteles y tomando en cuenta esto digamos que hay otro modo que puede ser íntegramente visto como el segundo modo de la tercera figura. 

Segundo modo silogístico:

Resulta siempre que desde una negación universal y una afirmación universal se concluye en una negación particular. Por tanto, este modo concluye en el cuarto modo de la primera figura.

P1: Ningún bueno es malo

P2: Todo bueno es justo

C: Algún justo no es malo

Desde lo cual hay que considerar que el término extremo mayor es

siempre el predicado en la conclusión.

Tercer modo silogístico:

Se da siempre que desde una afirmación particular y una universal, se concluye una afirmación particular.

P1: Algún bueno es justo

P2: Todo bueno es virtuoso

C: Algún virtuoso es justo

Cuarto modo silogístico:

Se da siempre que desde una afirmación universal y desde una afirmación particular se concluye en una afirmación particular.

P1: Todo bueno es virtuoso

P2: Algún bueno es justo

C: Algún justo es virtuoso

Quinto modo silogístico:

Es realizado cada vez que a partir de una negación particular y de una afirmación universal se concluye una negativa particular. Pero este modo no puede ser probado por conversión, sino a través de una demostración por imposible, de la misma manera como fue probado el cuarto modo de la segunda figura.

P1: Algún bueno no es malo

P2: Todo bueno es justo

C: Algún justo no es malo

Sexto modo silogístico:

Se da siempre que desde una negativa universal y una afirmativa particular se concluye por conversión en una negativa particular.

P1: Ningún bueno es malo

P2: Algún bueno es justo

C: Algún justo no es malo

Definición de silogismo

Dicho todo esto, Boecio define el silogismo de esta manera:

''El silogismo es una oración en la cual a partir de ciertas cosas establecidas y aceptadas, alguna otra cosa que aquellas que fueron establecidas y aceptadas, se sigue por necesidad, a causa de las mismas que fueron aceptadas''

Dijimos que el silogismo es una oración porque toda definición es obtenida desde lo general, y el género del silogismo es la oración. Y esto que es dicho así: en la cual a partir de ciertas cosas establecidas y aceptadas, hay que comprender de esta forma: como si se hubiese en conformidad con las cosas que fueron establecidas y aceptadas.

Pues, para que el silogismo se produzca, algo tiene que ser propuesto antes por un proponente, lo cual el oyente acepta. Porque si éste aceptara esto que se le dice, concluye y completa el silogismo, porque concediendo igualmente tanto a la afirmación como a la negación, demuestra las cosas inciertas a través de las mismas que son aceptadas y probadas.

Estas ciertas cosas establecidas deben tener al menos dos proposiciones. Boecio lanza una crítica a los estoicos quienes decían que ciertos silogismos podían tener solamente una proposición y una conclusión, no era necesario otro silogismo. Pero en palabras del mismo Boecio: El silogismo, para que sea muy conciso, debe ser probado a partir de dos proposiciones.

Demostración y resolución de los modos imperfectos

Para Boecio, los cuatro modos de la primera figura se denominan indemostrables y rectos. 

• Rectos: porque son demostrados sin ninguna conversión
• Indemostrables: porque no se demuestran por otros

Además también son llamados perfectos porque son comprobados por sí mismos. Los restantes cinco modos de la primera figura son imperfectos y resueltos por conversión. También Los modos de la segunda o de la tercera son todos imperfectos, puesto que a través de los primeros cuatro modos de la primera figura son comprobados y resueltos. Porque se resuelven en éstos por conversión y por imposibilidad como los dos que más arriba fueron mostrados. Por lo tanto, consideremos sus principios, ya que allí de donde nacieron, ahí mismo se resuelven.

Demostración  de los cinco últimos modos de la primera figura

El quinto modo de la primera figura fue formado a partir del primer modo de la primera figura. Manteniendo las dos primeras proposiciones y convirtiendo de manera particular la conclusión del primer modo, se realiza el quinto silogismo.

Barbara	Relación	Baralipton
Todo justo es bueno	Igual	Todo justo es bueno
Todo virtuoso es justo	Igual	Todo virtuoso es justo
Toda virtuoso es bueno	Convertida	Algún bueno es virtuoso

El sexto modo de la primera figura obtiene su origen en el segundo modo de la primera figura.

Celarent (2/2)	Relación	Celantes (1/6)
Ningún bueno es malo	Igual	Ningún bueno es malo
Todo justo es bueno	Igual	Todo justo es bueno
Ningún justo es malo	Convertida	Ningún malo es justo

Darii (1/3)	Relación	Dabitis (1/7)
Todo bueno es virtuoso	Igual	Todo bueno es virtuoso
Algún justo es bueno	Igual	Algún justo es bueno
Algún justo es virtuoso	Convertida	Algún virtuoso es justo

Pero el octavo y el noveno modos de la primera figura se resuelven en el cuarto modo de la primera figura, y de aquí toman su principio.

Ferio (1/4)	Relación	Felapton (1/8)
Ningún bueno es malo	Conversa	Todo bueno es justo
Algún justo es bueno	Conversa	Ningún malo es bueno
Algún justo no es malo	igual	Algún justo no es malo

Y el noveno modo se resuelve en el cuarto modo de la siguiente manera: si se convierte universalmente la primera del cuarto modo en la segunda proposición del noveno y particularmente la segunda proposición del cuarto modo en la primera del noveno y permanecerá la misma conclusión, la negación particular.

Ferio (1/4)	Relación	Frisesmo (1/9)
Ningún bueno es malo	Conversa	Algún bueno es justo
Algún justo es bueno	Conversa	Ningún bueno es malo
Algún justo no es malo	igual	Algún justo no es malo

Por lo tanto, vemos que los otros modos desde el quinto deben ser subsidiados por los anteriores. 

Resolución y generación de la segunda figura

Una vez resueltos los cinco últimos modos de la primera figura en los primeros cuatro, resolvamos los cuatro modos de la segunda figura en los cuatro primeros de la figura anterior, de los cuales tres son probados por conversión, aunque el cuarto sólo a través de la demostración por imposible.

El primer y el segundo modos de la segunda figura son resueltos en el segundo modo de la primera figura.

Celarent (2/2)	Relación	Cesare (1/1)
Ningún bueno es malo	Convertida	Ningún malo es bueno
Todo justo es bueno	Igual	Todo justo es bueno
Ningún justo es malo	Igual	Ningún justo es malo

El segundo modo de la segunda figura es resuelto en el segundo modo de la primera figura de esta forma: convirtiendo la segunda proposición y manteniendo la primera en la segunda, se llega a la conclusión universalmente convertida.

Celarent (2/2)	Relación	Camestres (2/2)
Ningún bueno es malo	Convertida	Todo justo es bueno
Todo justo es bueno	Convertida	Ningún malo es bueno
Ningún justo es malo	Convertida	Ningún malo es justo

Y el tercer modo de la segunda figura es creado a partir del cuarto de la primera figura. Pues una vez que la negación universal en la primera proposición es convertida universalmente y se mantienen las segundas proposiciones, la misma conclusión y proposición del silogismo se infieren de este modo:

Ferio (2/2)	Relación	Festino (2/2)
Ningún bueno es malo	Convertida	Ningún malo es bueno
Algún justo es bueno	Igual	Algún justo es bueno
Algún justo no es malo	Igual	Algún justo no es malo

Resolución del cuarto modo por imposible

El cuarto modo de la segunda figura solo puede ser demostrado por imposible. En realidad todos los modos de la segunda figura se resuelven por imposibilidad. Veamoslo en un ejemplo. 

Baroco 4/2:

P1: Todo bueno es virtuoso

P2: Algún justo no es virtuoso

C: Algún justo no es bueno

Como la conclusión puede resultar falsa, esta debería convertirse en ''Todo justo es bueno'', es decir, en el primer modo de la primera figura.

Barbara 1/1:

P1: Todo bueno es virtuoso

P2: Todo justo es bueno

C: Todo justo es virtuoso

Baroco (4/2)	Relación	Barbara (1/1)
Todo bueno es virtuoso	Igual	Todo bueno es virtuoso
Algún justo es bueno	Convertida	Todo justo es bueno
Algún justo no es malo	Convertida	Todo justo es virtuoso

Resolución de los otros de la segunda figura por imposible

El tercer modo de la segunda figura se reduciría al imposible de la siguiente manera

Festino (2/3)

P1: Ningún bueno es malo

P2: Algún justo es malo

C: Algún justo no es bueno

Este puede ser convertido o subsidiado por el segundo modo de la segunda figura.

Celarent (1/2)

P1: Ningún bueno es malo

P2: Todo justo es bueno

C: Ningún justo es malo

Festino (2/3)	Relación	Celarent (1/2)
Ningún bueno es malo	Igual	Ningún bueno es malo
Algún justo es bueno	Convertida	Todo justo es bueno
Algún justo no es malo	Convertida	Ningún justo es malo

El segundo modo de la segunda figura se reduciría al imposible de la siguiente manera.

Camestres (2/2)	Relación	Darii (1/3)
Todo bueno es virtuoso	Igual	Todo bueno es virtuoso
Ningún justo es virtuoso	Convertida	Algún justo es bueno
Ningún justo es bueno	Convertida	Algún justo es virtuoso

Igualmente, el primer modo de la segunda figura es resuelto en el cuarto de la primera, pues quien concede las dos proposiciones del primer modo, es necesario que conceda también la conclusión.

Resolución de los modos de la tercera figura

Lo que sigue es que reduzcamos los modos de la tercera figura a los primeros cuatro de la primera figura.

Darii (1/3)	Relación	Darapti (3/1)
Todo bueno es justo	Igual	Todo bueno es justo
Algún virtuoso es bueno	Convertida	Algún virtuoso es bueno
Algún virtuoso es justo	Igual	Algún virtuoso es justo

El segundo modo de la tercera figura es resuelto en el cuarto modo de la primera figura de la siguiente manera.

Ferio (1/4)	Relación	Felapton (3/2)
Ningún bueno es malo	Igual	Ningún bueno es malo
Algún justo es bueno	Convertida	Todo bueno es justo
Algún justo no es malo	Igual	Algún justo no es malo

El tercer modo de la tercera figura es resuelto en el tercer modo de la primera figura: si la primera proposición del tercer modo de la primera figura, permanece la misma que la segunda proposición del tercer modo de la tercera figura, pero la segunda proposición del tercer modo de la primera figura particular es convertida de manera particular y se hace la primera del tercer modo de la tercera figura, nace la conclusión convertida particularmente.

Darii (1/3)	Relación	Disamis (3/3)
Todo bueno es virtuoso	Igualdad cruzada	Algún justo es bueno
Algún justo es bueno	Igualdad cruzada	Todo bueno es justo
Algún justo es virtuoso	Igual (particularmente)	Algún virtuoso es justo

El cuarto modo de la tercera figura es resuelto en el tercer modo de la primera figura: si se mantienen las primeras proposiciones de ambos modos y las segundas proposiciones particulares son convertidas particularmente, se originan las mismas conclusiones.

Darii (1/3)	Relación	Datisi (3/4)
Todo bueno es virtuoso	Igual	Todo bueno es virtuoso
Algún justo es bueno	Convertida	Algún bueno es justo
Algún justo es virtuoso	Igual	Algún virtuoso es justo

El restante sexto silogismo de la tercera figura es generado a partir del cuarto modo de la primera figura: si sus primeras proposiciones son mantenidas, y la segunda particular se convierte de modo particular, la conclusión se mantendrá en uno y otro:

Ferio (1/4)	Relación	Festino (3/6)
Ningún bueno es malo	Igual	Ningún bueno es malo
Algún justo es bueno	Convertida	Algún bueno es justo
Algún justo no es malo	Igual	Algún justo no es malo

Conclusión

Todo este tratado es de suma importancia para la historia de la lógica, si bien Boecio no ha omitido las grandes premisas que Aristóteles construyó en su tratado, la verdad es que su aporte e introducción a estos temas es de notable relevancia. Nos olo une la obra del estagirita sino que también añade la opinión de sus discípulos como sería teofrasto y Eudemo. Si queremos tener un estudio detallado y pormenorizado de todos los pasos que se han dado en la lógica, entonces no podemos dejar de observar este tratado.