Euclides - Los Elementos (Libro V: Magnitudes).

Seguimos con el libro de los elementos de Euclides, esta vez desarrollando un tema muy diferente de los cuatro libros precedentes. Entramos en las razones y proporciones dejando atrás la geometría plana que trataba sobre los rectángulos, cuadrados, circunferencias y triángulos. Por supuesto, este es el libro donde se ven aún más claros los cinco postulados de Euclides sobre las rectas y las magnitudes que inspiraron la filosofía matemática. Veamos que tenemos en esta nueva entrega de Euclides.

Otros libros de Euclides:

Libro I: Triángulos
Libro II: Cuadrados y rectángulos
Libro III: Circunferencias
Libro IV: Circunferencia inscrita y exinscrita de un triángulo

LOS ELEMENTOS

LIBRO V: MAGNITUDES

Introducción

Razones y proporciones

Para entender lo que sigue en esta parte de Los Elementos, es de mucha utilidad comprender lo que en matemáticas se denomina razones y proporciones. 

Razones:

La razón es la comparación entre dos cantidades mediante una división o formando el cuociente entre ellas. Normalmente se usan expresiones como ''A es a B'' o A/B para expresar las razones y el resultado de ellas, o el cuociente de ellas será el valor de la razón. En el caso anterior A sería el antecedente y B sería el consecuente. Tengamos un ejemplo:

Supongamos que un sujeto tiene 10 manzanas y otro tiene 16, la razón se expresaría de la siguiente forma 10 es a 16 o 10/16. 

10 Antecedente
16 Consecuente

Ahora debemos llevarlo a la expresión más simplificada, es decir, dividir 10 y 16 por separado lo que daría un resultado de 5/8

5 Antecedente
8 Consecuente

Luego, ya que tenemos las razones simplificadas, resta tener el valor de la razón por medio de la división. Su resultado sería 0,625.

5/8: Razón
0,625: Valor de la razón

Esta es la forma de calcular las razones para luego tener el valor de la razón. 

Proporciones:

Una proporción es la igualdad entre dos razones. En este caso, si con razones teníamos que A es a B, con proporciones tendríamos que dar una segunda razón que se expresaría como C es a D; por lo tanto, A es a B como C es a D.

También se debe notar que sus nombres cambian cuando se habla de proporciones. A y D serían los extremos, mientras que B y C serían los medios. 

Ahora, dado que tenemos A/B y C/D debe haber una constante  (cuociente) llamada K.

A/D: Extremo
B/C: Medio
K: Constante


Tengamos un ejemplo práctico para aclararlo aún más.

Supongamos que tenemos un plano con la razón 1/1500. Un terreno de este plano tiene un largo de 6 cm y un ancho de 3cm. La operación sigue de la siguiente manera:

Para calcular dicha proporción se usó la tabla de 3 donde se multiplican los números que están cruzados y posteriormente, el resultado de los dos se divide por el número que quedaría solo. 

Proposiciones

Proposición 1:

Si hay un número cualquiera de magnitudes respectivamente equimultiplos de cualesquiera otras magnitudes iguales en número, cuantas veces una sea múltiplo de otra, tantas veces lo serán todas de todas. 

Tengamos una magnitud AB y ΓΔ que sean equimultiplos de cualquiera de las magnitudes E o Z iguales en número. 

Euclides dice que cuantas veces sea AB múltiplo de E, tantas veces lo será AB y ΓΔ de E y Z.

Esto se debe a que AB es equimultiplo de E y ΓΔ de Z, por lo que hay muchas magnitudes iguales a E en AB y lo mismo pasa en el caso de ΓΔ con Z. 

Luego dividase AB en AH y HB iguales a E, y lo mismo hágase con ΓΔ dividiéndose como ΓΘ y ΘΔ iguales a Z.

De este modo, las magnitudes AH y HB serán iguales a las magnitudes ΓΘ y ΘΔ. Ahora, como AH es igual a E y ΓΔ a Z, entonces AH y ΓΔ son iguales a E y Z. 

De la misma forma, HB es igual a E, por lo que HB y ΘΔ es igual a E y Z. Por lo tanto, cuantas magnitudes haya en AB iguales a E, tantas habrán en AB y ΓΔ iguales a E y Z. Todas las veces que AB sea múltiplo de E, tantas veces lo serán AB y ΓΔ de E y Z. 

Proposición 2:

Si una primera magnitud es el mismo múltiplo de una segunda que una tercera de una cuarta, y una quinta es también el mismo múltiplo de la segunda que una sexta de la cuarta, la suma de la primera y la quinta será el mismo múltiplo de la segunda que la suma de la tercera y la sexta de la cuarta

Tengamos una primera magnitud AB que tendrá el mismo múltiplo de Γ, y ΔΘ el mismo múltiplo de Z. La tercera ΔE de la cuarta Z, y la quinta BH el múltiplo de la segunda Γ y la sexta EΘ de la cuarta Z. 

Euclides dice que la suma de la primera y la quinta,  AH, es el múltiplo de la segunda, Γ, que la suma de la tercera y la sexta ΔΘ de la cuarta Z. 

Esto es así a causa de que AB es el mismo múltiplo de Γ que ΔE de Z. Entonces las magnitudes que haya en AB son iguales a Γ y lo mismo pasa con ΔE y Z. 

De la misma forma, en BH se encuentra magnitudes iguales a Γ y en EΘ iguales a Z. Finalmente, tenemos que la magnitud entera AH es múltiplo de Γ tantas veces como ΔΘ es múltiplo de Z. 

Proposición 3:

Si una primera magnitud es el mismo múltiplo de una segunda que una tercera de una cuarta, y se toman equimultiplos de la primera y de la tercera, también por igualdad cada una de las dos magnitudes serán equimultiplos, respectivamente, una de la segunda, y la otra de la cuarta. 

Tengamos la primera magnitud como A, que a su vez contenga los múltiplos de B. Luego, que la tercera magnitud Γ contiene a Δ. Finalmente, tómese los equimúltiplos EZ y HΘ de A y Γ.

Euclides dice que EZ es el mismo múltiplo de B que HΘ de Δ.

Dado que EZ es múltiplo de A y por tanto, tantas magnitudes hay en EZ iguales a A, como en HΘ hay iguales a Γ.

Ahora dividamos EZ en las magnitudes EK y KZ iguale a A, mientras que HΘ tiene sus dos magnitudes (HΛ y ΛΘ) iguales a Γ. 

Puesto que A es el mismo múltiplo de B que Γ de Δ, mientras que EK es igual a A y HΛ igual a Γ, entonces EK es el mismo múltiplo de B que HΛ de Δ. 

Por lo mismo, KZ es el múltiplo de B que ΛΘ de Δ. Así pues, dado que EK es el múltiplo de la segunda, B, que la tercera, HΛ, de la cuarta, Δ, y la quinta, KZ, también es el mismo múltiplo de la segunda, B, que la sexta ΛΘ, de la cuarta Δ; entonces la suma de la primera y la quinta, EZ, es también el mismo múltiplo de la segunda, B, que la suma de la tercera y la sexta, HΘ, de la cuarta Δ. 

De esta forma, las magnitudes tomadas serán equimúltiplos, respectivamente, una de la segunda y la otra de la cuarta.

Proposición 4:

Si una primera magnitud guarda la misma razón con una segunda que una tercera con una cuarta, cualesquiera equimúltiplos de la primera y la tercera guardarán la misma razón con cualesquiera equimúltiplos de la segunda y la cuarta respectivamente, tomados en el orden correspondiente

Tengamos la primera magnitud A, la misma razón con la segunda B, que la tercera Γ, con la cuarta Δ, y tomense los equimúltiplos E y Z de A y Γ, y otros equimúltiplos al azar H y Θ de B y Δ.

Euclides dice que E es a H, así Z es a Θ

Tómense los equimúltiplos K y Λ de E y Z, y otros equimúltiplos tomados al azar M y N de H y Θ. 

Dado que E es múltiplo de A que Z de Γ, y se han tomado los equimúltiplos K y Λ de E y Z, entonces K es el mismo múltiplo de A que Λ de  Γ. 

Por lo tanto, M es el múltiplo de B que N de Δ. Como A es a B como Γ es a Δ, y se han tomado los equimúltiplos K y Λ de A y Γ y otros equimúltiplos tomados al azar M y N de B y Δ, entonces, si K excede a M y Λ también excede a N, y si es igual, es igual, y si es menor, menor.

Ahora, como K y Λ son equimúltplos de E, Z y M, N otros equimúltiplos al azar de H y Θ; por tanto, E es a H, tanto como Z es a Θ. 

Proposición 5:

Si una magnitud es el mismo múltiplo de otra que una magnitud quitada a la primera lo es de otra quitada a la segunda, la magnitud restante de la primera será también el mismo múltiplo de la magnitud restante de la segunda que la magnitud entera de la magnitud entera.

Tengamos una magnitud AB que tenga el mismo múltiplo de la magnitud ΓΔ que la magnitud quitada AE de la magnitud quitada ΓZ.

Euclides dice que la magnitud EB será también el mismo múltiplo de la magnitud restante ZΔ que la magnitud entera AB de la magnitud  ΓΔ. 

Dado que AE es el múltiplo de ΓZ que EB que HΓ, entonces AE es el mismo múltiplo de ΓZ que AB de HZ.

Sin embargo, se ha asumido que AE sea múltiplo de ΓZ que AB de ΓΔ. Por lo tanto, AB es el mismo múltiplo de cada una de las dos magnitudes HZ y ΓΔ. Luego HZ es igual a  ΓΔ.

Quítese de ambas (HZ y  ΓΔ) ΓZ entonces la restante HΓ es igual a la restante ZΔ, y puesto que AE es el mismo múltiplo de ΓZ que EB de HΓ y también es igual a ΓZ. 

Entonces AE sería el múltiplo de ΓZ que AB de ΓΔ, por tanto, EB es el mismo múltiplo de ZΔ que AB de ΓΔ. Luego, la magnitud quitada EB será el mismo múltiplo de ZΔ que la magnitud entera AB de la magnitud entera ΓΔ. 

Proposición 6:

Si dos magnitudes son equimúltiplos de dos magnitudes y ciertas magnitudes quitadas de ellas son equimúltiplos de estas dos segundas, las restantes también son o iguales a las mismas o equimúltiplos de ellas. 

Tengamos la magnitud AB y ΓΔ equimúltiplos de dos magnitudes E y Z, y sean las magnitudes quitadas AH y ΓΘ equimúltiplos de las mismas E y Z.

Euclides dice que las magnitudes restantes HB y ΘΔ son también iguales a E y Z o equimúltiplos de ellas. 

Para entender esto, digamos que ΓK es igual a Z. Luego, dado que AH es el múltiplo de E que ΓΘ de Z, y que HB es igual a E y ΓK a Z, entonces AB es el mismo múltiplo de E que KΘ de Z. 

Sin embargo, se ha supuesto que AB es el múltiplo de E que ΓΔ de Z; por lo tanto, KΘ es el mismo múltiplo de Z que ΓΔ de Z. 

De esta forma, dado que cada una de las magnitudes KΘ y ΓΔ es el mismo múltiplo de Z, entonces KΘ es igual a ΓΔ. 

Quítese de ambas ΓΘ, entonces las magnitudes restantes KΓ es igual a la magnitud restante ΘΔ. Aunque Z es igual a KΓ, entonces ΘΔ es también igual a Z. 

De la misma manera, se demostraría que si HB es equimúltiplo de E, también ΘΔ será igual a Z. 

Proposición 7:

Las magnitudes iguales guardan la misma razón con una misma magnitud y la misma magnitud guarda la misma razón con las magnitudes iguales.

Tengamos las magnitudes A y B que serán iguales, mientras que Γ será una magnitud tomada al azar. 

Euclides dice que las magnitudes A y B guardan la misma razón con Γ y Γ con cada una de las magnitudes A y B. 

Para demostrar esto tómense las magnitudes Δ y E de A y B y otro equimúltiplo al azar Z de Γ. 

Dado que Δ es el mismo múltiplo de A que E de B, y A es igual a B, y así, E es igual a Δ.

La magnitud Z es tomada al azar, entonces, si Δ excede a Z, E también excede a Z, y si es igual es igual, y si es menor, menor. 

Por otro lado, Δ y E son equimultiplos de A y B, y Z otro equimúltiplo al azar de Γ. Entonces como A es a Γ, así B es a Γ.

Euclides dice que Γ también guarda la misma razón con cada una de las magnitudes A y B. 

De la misma manera podríamos decir que Δ es igual a E y Z es otra magnitud tomada al azar. Entonces si Z excede a Δ, Z también excede a E, y si es igual, igual; y si es menor, menor. 

Ahora bien, Z es múltiplo de Γ, mientras que Δ y E son otros equimútiplos tomados al azar de A y B, por tanto, Γ es a A tanto como Γ es a B. 

Porisma:

Toda esta demostración deja en claro además que cualquier magnitud que sea proporcional a otra, esa otra también será proporcional en sentido inverso. 

Proposición 8:

De magnitudes desiguales, la mayor guarda con una misma magnitud una razón mayor que a menor, y la misma guarda con la menor una razón mayor que con la menor.

Tengamos a A, B y Γ como magnitudes desiguales y sea mayor AB mientras que también tengamos una al azar que sea Δ.

Euclides dice que AB guarda con Δ una razón mayor que Γ con Δ, y Δ guarda con Γ una razón mayor que con AB.

Como AB es mayor que Γ, hágase BE igual a Γ, entonces la menor de las magnitudes AE y EB multiplicada será alguna vez mayor que  Δ.

En primer lugar, tengamos que AE es menor que EB, y multipliquese AE y sea su múltiplo ZH que es mayor que Δ, y, cuantas veces ZH es el múltiplo AE, tantas veces lo sea también de HΘ de EB y K de Γ. 

Luego tómese Λ como el doble de Δ y M como el triple de Δ y así sucesivamente hasta que el múltiplo tomado de Δ sea el primero mayor que K. Finalmente, tómese N como el cuádruplo de Δ, el primero mayor que K. 

En la escala de las magnitudes, K sería el primero menor que N, pero no es menor que M. Dado que ZH es el mismo múltiplo de AE que HΘ de EB, entonces ZH es el mismo múltiplo de AE que ZΘ de AB. 

Ahora, ZH es el múltiplo de AE que K de Γ, luego ZΘ es el múltiplo de AB que K de Γ. Por lo tanto, ZΘ y K son equimultiplos de AB y Γ. 

Luego tenemos que HΘ es múltiplo de EB que K de Γ, y EB es igual a Γ, entonces HΘ es también igual a K, pero K no es menor que M, y por tanto, HΘ tampoco es menor que M. Sin embargo,  ZH es mayor que Δ, así, la magnitud entera ZΘ es mayor que Δ y M juntas. 

Las magnitudes Δ y M juntas son iguales a N porque M es el triple de Δ, mientras que M y Δ juntas son el cuádruple de Δ; y por tanto M y Δ son iguales a N. 

Sin embargo, ZΘ es mayor que M y Δ, luego ZΘ excede a N mientras que K no excede a N. Así, ZΘ y K son equimúltiplos de AB y Γ, mientras que N es otro múltiplo tomado al azar de Δ, por consiguiente, AB guarda una razón mayor con Δ que Γ con Δ. 

Euclides dice además que Δ guarda una relación mayor con Γ que Δ con AB. 

Sea AE mayor que EB. 

Si es así, entonces la menor EB, multiplicada, será alguna vez mayor que Δ.  Sea HΘ múltiplo de EB, y mayor que Δ, y cuantas veces HΘ sea múltiplo de EB, tantas veces sea también ZH múltiplo de AE y K de Γ.

De manera semejante demostraríamos que ZΘ y K son equimúltiplos de AB y Γ. Tómese N como múltiplo de Δ y el primero mayor que Δ; entonces la magnitud entera ZΘ excede a Δ y M, en otras palabras, a N porque HΘ es mayor a Δ y ZH es mayor a M. 

Sin embargo, K no excede a N, puesto que ZH que es mayor que HΘ, lo que quiere decir que K tampoco excede a N. 

En conclusión, en las magnitudes desiguales, la mayor guarda una misma razón mayor que la menor; y la misma magnitud guarda una razón mayor con la menor que con la mayor.

Proposición 9:

Las magnitudes que guardan con una misma magnitud la misma razón son iguales entre sí; y aquellas con las que una misma magnitud guarda la misma razón, son iguales.

Tengamos dos magnitudes A y B, y que A sea mayor que B

Euclides dice que A es igual a B.

De no ser así, entonces A y B no guardaría razón con Γ  y sin embargo si la tiene, luego A es igual a B. Del mismo modo Γ no guardaría relación con A ni B, lo cual no es así y por lo tanto, A es igual a B. 

Proposición 10:

De las magnitudes que guardan razón con una misma magnitud, la que guarda una razón mayor, es mayor. Y aquella con la que la misma magnitud guarda una razón mayor, es menor. 

Tengamos las magnitudes A, B y Γ y que la razón de A con Γ sean mayores que B con Γ.

Euclides dice que A es mayor que B.

De no ser así, entonces A es igual a B o es menor lo cual visiblemente no es posible. Si fueran iguales, entonces A y B guardarían la misma razón con Γ, lo cual tampoco es cierto. Si A fuera menor, entonces A no guardaría la misma razón con Γ porque sería menor que ésta última. Luego A no es igual a B. 

Euclides dice que B es menor que A.

De no ser así, entonces B sería igual o sería mayor que A. Si fuera igual, entonces B guardaría la misma razón que A con Γ, lo cual no es posible. Si fuera mayor, entonces tendríamos que decir quela razón de Γ sería mayor que la de Γ con B, lo cual tampoco es posible. Así B es menor que A. 

Proposición 11:

Las razones que son iguales a una misma razón son iguales también entre sí

Tengamos las siguientes rectas en orden:

Euclides dice que A es a B como Γ es a Δ y E es a Z.

Tomense otros equimúltiplos como HΘK de AΓE, y los equimútiplos ΛMN de BΔZ. 

Si H excede a Λ, también Θ excede a M, y si es igual, igual, y si menor, menor.

Así, puesto que E es a Z como Γ es a Δ y se toman los equimútiplos ΘK de ΓE y otros equimútiplos tomados al azar MN de ΔZ. Entonces, si Θ excede a M también K excede a N, y si es igual es igual, y si es menor, es menor. Por lo tanto, si H excede a Λ, K excede también a N, y si es igual, es igual y si es menor, es menor.

En conclusión, H y K son múltiplos de A y E, Λ y N así como también de B y Z. Así A es a B como E a Z. 

Proposición 12:

Si un número cualquiera de magnitudes fueren proporcionales, como sea una de las antecedentes a una de las consecuentes, así serán todas las antecedentes a las consecuentes

Tengamos que Γ es a Δ y E es a Z como A es a B; y tengamos como equimútiplos a H, Θ, K de A, Γ, E y por otro lado, Λ, M, N de B, Δ, Z. 

Si H excede a Λ, entonces Θ excede a M como K excede a N, y si es igual, igual; y si es menor, menor. 

Luego tenemos que tanto H , Θ, K son equimútiplos de A, Γ, E porque si alguna magnitud es equimultiplo de otras, entonces podrá serlo de las demás. Así, Λ y Λ, M, N son equimultiplos de B y B, Δ, Z.

Por lo tanto, si un número de magnitud es proporcional como una magnitud antecedente a una consecuente, entonces así mismo serán todas las antecedentes a las consecuentes. 

Proposición 13:

Si una primera magnitud guarda con una segunda la misma razón que era una tercera con una cuarta, y la tercera guarda con la cuarta una razón mayor que una quinta con una sexta, la primera guardará también con la segunda una razón mayor que la quinta con la sexta

Tengamos una magnitud A que guardaría la misma razón con la  magnitud B que a su vez guarda la misma razón con Γ, y que Γ guarde la misma razón con Δ. Luego que Γ y Δ guarde razón mayor con la magnitud E y Z.

Euclides dice que A guardará relación también con la segunda B, una razón mayor que la quinta E con la sexta Z. 

Tomense y sean H y Θ equimúltiplos de Γ y E, y K y Λ ademas de otros equimúltiplos tomados al azar de Δ y Z de modo que H exceda a K pero Θ no exceda a Λ; y cuantas veces H sea múltiplo de Γ, tantas veces también lo sea de M y A. También debe considerarse cuantas veces sea múltiplo K de Δ, tantas veces sea N de B también.

Puesto que Γ es a Δ como A es a B y se han tomado los equimútiplos M y H de A y Γ  y otros equimúltiplos tomados al azar como por ejemplo: N y K de A y B. 

Entonces si M excede a N, también H excede a K, y si es igual, igual; y si es menor, menor. Sin embargo, si H excede a K, M excede a N, pero Θ no excede a Λ. Θ y M son equimúltiplos de A y E mientras que N y Λ son otros equimúltiplos, tomados al azar de B y Z. 

Por lo tanto, si dos magnitudes guardan razón con otras dos magnitudes, y a su vez estas dos tienen razón mayor que una tercera, entonces la primera guardará una razón mayor que la tercera. 

Proposición 14:

Si una primera magnitud guarda con una segunda la misma razón que una tercera con una cuarta y la primera es mayor que la tercera, la segunda también será mayor que la cuarta, y si es igual, será igual, y si menor, menor

Tengamos una magnitud A que guarde relación con la magnitud B, y que Γ guarde la misma relación con la magnitud Δ. También tengamos que A sea más grande que Γ. 

Euclides dice que B también es mayor que Δ.

Como A es mayor que Γ, entonces A guarda mayor relación con B que Γ con B. Sin embargo, como dijimos que A guarda relación con B y Γ con Δ, y por esto Γ guarda mayor relación con Δ que con B.

Ahora como B guarda una razón menor con A que es más grande, Δ sería menor que B y al mismo tiempo, B es mayor que Δ. Así, si A fuera igual que Γ, entonces B sería igual a Δ, y si es menor, menor.

Por lo tanto, si una primera magnitud guarda la misma razón con una segunda y la primera es mayor que la tercera, entonces la segunda será mayor que la cuarta, y si es menor, menor; y si es igual, igual. 

Proposición 15:

Las partes guardan la misma razón entre sí que sus mismos múltiplos tomados en el orden correspondiente

Tengamos una magnitud AB que tenga el mismo múltiplo de la magnitud Γ, mientras que una magnitud ΔE tenga el mismo múltiplo de Δ.

Euclides dice que Γ es a Z, como AB es a ΔE.

Cuantas magnitudes Γ estén en AB, otras tantas Z habrán en ΔE. 

Dividamos la magnitud AB en las siguientes magnitudes:

AH
HΘ
ΘB

Y luego dividamos la magnitud ΔE en las siguientes magnitudes:

ΔK
KΛ
ΛE

Todas estas magnitudes que se dividen tanto en AB como en ΔE se complementan entre si.

AH - ΔK
HΘ - KΛ
ΘB - ΛE

De este modo, si AH es a ΔK, entonces podríamos decir que AB es a ΔE.

Por lo tanto, las partes guardan la misma razón entre sí que sus mismos múltiplos tomados en la forma correspondiente. 

Proposición 16:

Si cuatro magnitudes son proporcionales, también por alternancia serán proporcionales

Tengamos a A, B, Γ, Δ como cuatro magnitudes proporcionales, así como A es a B y Γ es a Δ. 

Euclides dice que también serán proporcionales por alternancia, es decir, A es a Γ como B es a Δ.

Para eso, tomemos los equimúltiplos E y Z de A y B, mientras que de H y Θ equimúltiplos de Γ y Δ.  De este modo, E es a Z como H es a Θ.

Ahora, si tenemos que las cuatro magnitudes son proporcionales y la primera es mayor que la tercera, la segunda será mayor que la cuarta, y si es igual, igual; y si es menor, menor. 

Así, si E excede a H, entonces también Z excede a Θ; y si es igual, igual; y si es menor, menor. Ahora bien, E y Z son equimultiplos de A y B, mientras que H y Θ equimúltiplos de Γ y Δ. Finalmente, como A es a Γ, así B a Δ. 

Proposición 17:

Si unas magnitudes son proporcionales por composición, también por separadas serán proporcionales 

Tengamos a AB, BE, ΓΔ, ΔZ como magnitudes proporcionales por composición de modo que AB es a BE, tanto como ΓΔ es a ΔZ.

Euclides dice que también por separación serán proporcionales, de modo que, como AB sea BE, así ΓZ será ΔZ.

Tenemos que HΘ es el múltiplo de AE y ΘK es el múltiplo de EB; por lo que podemos decir que HK es equimúltiplo de AB. 

Lo mismo pasará con ΛM que es el equimúltplo de ΓZ; MN que sería el equimútiplo de ZΔ; para que finalmente se diga que ΛN es equimúltiplo de ΓΔ. 

De esta forma, tenemos que HK y ΛN son equimútiplos de AB y ΓΔ. Como ΘK es a su vez múltiplo de EB que MN de ZΔ, y KΞ es también el mismo múltiplo de EB que NΠ de ZΔ, la suma ΘΞ es también el mismo múltiplo de EB que MΠ de ZΔ.

Entonces, si HK excede a ΘΞ, ΛN excede también a MΠ; y si es igual, igual; y si es menor, menor. Exceda HK a ΘΞ; entonces, si se quita la magnitud común ΘK, también HΘ excede a KΞ.

Pero si HK excede a ΘΞ, ΛN excede también a MΠ, y si se quita la magnitud MN, ΛM también excede a NΠ, de modo que, si HΘ excede a KΞ, ΛM excede también a NΠ.

De la misma forma, si HΘ es igual a KΞ, ΛM será igual a NΠ; y si es menor, será menor. Ahora, HΘ y ΛM son equimúltiplos de AE y ΓZ, pero KΞ y NΠ son otros equimúltiplos tomados al azar de EB y ZΔ; por lo tanto, como AE es a EB, así ΓZ a ZΔ.

Proposición 18:

Si unas magnitudes son proporcionales por separación, también por composición será proporcionales

Tengamos AE, EB, ΓZ, ZΔ como magnitudes proporcionales por separación, de modo que AE es a EB como ΓZ es a ZΔ.

Euclides dice que por composición será proporcionales de modo que AB es a BE, así como ΓΔ será a ΔZ.

Porque, si ΓΔ no es a ΔZ como AB es a BE, entonces como AB es a BE, así ΓΔ será una magnitud menor que ΔZ o una mayor. 

Supongamos en primer lugar que ΔH sa menor que ΔZ.

Si AE es a EB entonces, ΓΔ es a ΔH. Luego como ΓH es a HΔ así ΓZ a ZΔ.

Sin embargo, como ΓH es mayor que la tercera ΓZ; entonces la segunda HΔ es mayor que la cuarta ZΔ, pero también es menor lo que es imposible. 

Por lo tanto, ΓΔ no es a una magnitud menor que ZΔ, como AB es a EB. De la misma forma, también se demuestra que no es proporcional a una mayor, sino que más bien es proporcional a ZΔ. 

Proposición 19:

Si como un todo es a otro todo, así es una parte quitada de uno a una parte quitada de otro, la parte restante será también a la parte restante como el todo es al todo

Tengamos como el todo a AB que es al todo ΓΔ, para que luego la parte quitada AE tenga la misma razón con ΓZ.

Euclides dice que la parte restante EB será también a la parte restante ZΔ como el todo AB es al todo ΓΔ.

Como BA es a AE, así ΔΓ es a ΓZ, y puesto que son magnitudes proporcionales por composición, también serán proporcionales por separación. 

Así, como BE es a EA, así ΔZ es a ΓZ, y por alternancia, como BE es a ΔZ, así EA es a ZΓ. 

Sin embargo, como AE es a ΓZ, de la misma manera se ha supuesto que el todo AB es al todo ΓΔ. Luego, la parte restante EB será a la parte restante ZΔ como el todo AB es al todo ΓΔ. 

Por lo tanto, como un todo es a otro todo, una parte quitada del todo será a otra parte quitada del otro todo.

Proposición 20:

Si hay tres magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, y si, por igualdad, la primera es mayor que la tercera, también la cuarta será mayor que la sexta; y si es igual, igual; y si es menor, menor.

Tengamos A, B y Γ como tres magnitudes y otras tres magnitudes que sean Δ, E y Z. Estas magnitudes tendrán la misma razón de dos en dos, lo que quiere decir que A es a B como Δ es a E; mientras que B es a Γ tanto como E es a Z.

Euclides dice que Δ será mayor que Z, y si es igual, igual; y si es menor, menor. 

Dado que A es mayor que Γ y B es otra magnitud cualquiera, la mayor guarda con una misma magnitud una razón mayor que la menor. De este modo, A guarda una razón mayor con B, que Γ con B. 

Sin embargo, como A es a B, así Δ es a E, y por inversión, como Γ es a B, así Z es a E. Ahora Δ también guarda una razón mayor con E que Z con E. 

Así, Δ es mayor que Z lo que significa que si A es igual a Γ, también Δ será igual a Z, y si es menor, menor.

Proposición 21:

Si hay tres magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón y su proporción es perturbada, y si, por igualdad, la primera es mayor que la tercera, también al cuarta será mayor que la sexta; y si es igual, igual; y si es menor, menor.

Tengamos A, B y Γ como tres magnitudes y otras tres magnitudes que sean Δ, Z y E. Estas magnitudes tendrán la misma razón de dos en dos, y sea su proporción perturbada, lo que quiere decir que A es a B como Δ es a E; mientras que B es a Γ tanto como Δ es a E, y por igualdad A sea mayor que Γ.

Euclides dice que Δ será mayor que Z, y si es igual, igual; y si es menor, menor. 

En este sentido, A guarda mayor relación con B que Γ con B, pero como A es a B, así E a Z, y por inversión, como Γ es a B, así E es a Δ. 

Por lo tanto, E guarda una razón mayor con Z que E con Δ. Sin embargo, de acuerdo con la proposición 10, una misma magnitud guarda razón otras dos magnitudes.

Luego, Z es menor que Δ, por tanto Δ es mayor que Z; de la misma manera, si A es igual a Γ, Δ será igual a Z; y si es menor, menor. 

Proporción 22:

Si hay un número cualquiera de magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, por igualdad guardarán también la misma razón.

Tengamos a A, B y Γ como un número cualquiera de magnitudes y Δ, E y Z otras magnitudes iguales que, tomadas de dos en dos, guarden la misma razón, es decir, como A es a B, así E es a Z, y como B es a Γ, así E es a Z. 

Euclides dice que por igualdad guardarán también la misma razón, es decir, A es a B como Δ es a Z.

Tomense entonces los equimultiplos H y Θ de A y Δ, y otros equimultiplos tomados al azar: K y Λ de B y E, y además otros equimultiplos al azar M y N de Γ y Z. 

Como A es a B, así Δ es a E, y se han tomado los equimultiplos H y Θ de A y Δ, y otros equimultiplos tomados al azar K y Λ de B y E. 

Entonces como H es a K, así Θ es a Λ; por lo tanto, como K es a M, así Λ es a N. Así, como H, K y M son tres magnitudes y Θ, Λ y N otras magnitudes iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón por igualdad. 

Si H excede a M y Θ, entonces también excede a N; y si es igual, igual; y si es menor, menor. Ahora bien, H y Θ son equimultiplos de A, Δ y M, N otros equimultiplos tomados al azar de Γ y Z. 

Entonces como A es a Γ, así Δ es a Z. 

Proposición 23:

Si hay tres magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón y su proporción es perturbada, por igualdad también guardarán la misma razón.

Tengamos a A, B y Γ tres magnitudes y Δ, E y Z otras magnitudes iguales que, tomadas de dos en dos, guarden la misma razón, y sea su proporción perturbada, es decir, como A es a B, así E es a Z, y como B es a Γ, así Δ es a E. 

Euclides dice que A es a Γ, como Δ es a Z. 

Tómense los equimultiplos H, Θ y K de A, B, Δ y otros equimultiplos tomados al azar como Λ, M, y N de Γ, E y Z.

Dado que H y Θ son equimúltiplos de A y B, las partes guardan la misma razón que sus mismos múltiplos, entonces como A es a B, así H es a Θ.

Por lo mismo., como E es a Z, de la misma forma M es a N. Ahora como A es a B, así E a Z, y así H es a Θ, como M a N. Luego como B es a Δ, así Γ es a E.

Puesto que Θ y K son equimultiplos de B y Δ, y las partes guardan la misma razón que sus equimultiplos, entonces como B es a Δ, así lo es Θ a K. 

Como B es a Δ, así Γ es a E; luego también como Θ es a K también Γ es a E. Al mismo tiempo, Λ y M son equimultiplos de Γ y E, entonces, como Γ es a E, así lo es Θ a K, lo que quiere decir también que Θ a K es igual que Λ a M; y por alternancia, como Θ es a Λ, así K es a M. Pero se demostró que H es a Θ como M a N. 

Como conclusión, dado que H, Θ y Λ son tres magnitudes y K, M y N otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, y su proporción es perturbada, entonces, por igualdad, si H excede a Λ, K también excede a N; y si es igual, igual; y si es menor, menor. Pero H y K son equimultiplos de A y Δ y Λ y N de Γ y Z. Por tanto, como A es a Γ, así Δ es a Z. 

Proposición 24:

Si una primera magnitud guarda con una segunda la misma razón que una tercera con una cuarta, y una quinta guarda con la segunda la misma razón que la sexta con la cuarta, la primera y la quinta, tomadas juntas, guardarán también la misma razón con la segunda que la tercera y la sexta con la cuarta.

Tengamos una magnitud AB con una segunda magnitud Γ que guarde la misma razón que una tercera magnitud ΔE con una cuarta magnitud Z. Luego, guarde una magnitud BH con la segunda Γ, la misma razón que la sexta EΘ con la cuarta Z.

Euclides dice que tomadas juntas la primera y la quinta, AH guardará la misma razón con con la segunda Γ, que la tercera y la sexta ΔΘ con la cuarta Z.

Como BH es a Γ como EΘ es a Z, entonces, por inversión, como Γ es a BH, así Z es a EΘ. Puesto que AB es a Γ como ΔE es a Z, y, como Γ es a BH, así Z es a EΘ, entonces por igualdad, como AB es a BH, así ΔE es a EΘ.

Puesto que la proposición 10 nos dice que las magnitudes son proporcionales por separación, también serán proporcionales por composición. 

De ser así, AH es a HB, así ΔΘ es a ΘE. Pero como BH es a Γ, así EΘ es a Z, y, por igualdad, como AH es a Γ, así ΔΘ esa Z. 

Proposición 25:

Si cuatro magnitudes son proporcionales, la mayor y la menor juntas son mayores que las dos restantes.

Tengamos cuatro magnitudes proporcionales que sean AB, ΓΔ, E y Z, es decir, como AB es a ΓΔ, así E es a Z, y sea la mayor e ellas AB y la menor Z. 

Euclides dice que AB y Z son mayores que ΓΔ y E.

Para probarlo, hagamos a AH igual a E y ΓΘ igual a Z. 

Como AB es a ΓΔ, así E es a Z, y E es igual a AH, mientras que Z es igual a ΓΘ, entonces como AB es a ΓΔ, así AH es a ΓΘ. 

Ya que el todo AB es al todo ΓΔ como la parte quitada AH es a la parte quitada ΓΘ, entonces la parte restante HB será a la parte restante ΘΔ como el todo AB es al todo ΓΔ.    

Pero AB es mayor que ΓΔ, luego HB también será mayor que ΘΔ, y siendo menor que HB. AH es igual a E y ΓΘ es igual a Z y luego se añaden AH, Z a HB y se añaden ΓΘ, E a ΘΔ, se sigue que AB y Z son mayores que ΓΔ y E.

Conclusión

Esta ya es una nueva sección entre las obras de Euclides, pues es primera vez que vemos razones y proporciones dentro de las magnitudes conmensurables e inconmensurables. La diferencia de esta parte de Los Elementos es considerable en comparación a los libros anteriores, que fueron mucho más geométricos que los vistos en esta parte. Por lo que podemos ver en los siguientes textos, Euclides vuelve a retomar la geometría de los libros precedentes, aunque de una manera más compleja. 

Este apunte ha sido logrado gracias a Leila Reyes, quien corrigió y sugirió las modificaciones necesarias en este apunte. 

Al-Farabi - La Ciudad Ideal

¿No es esto lo que todo ciudadano quiere? ¿vivir en una ciudad ideal? Al-Farabi propone en estas líneas la ciudad ideal en que debiéramos vivir. Un tratado que se escribió hace muchos años (siglo X), pero que aún en nuestro tiempo nos hace sentido. Podría parecernos extraño que desde un principio se hable del alma y otros temas metafísicos, pues lo que hace Al-Farabi es describir la constitución humana hecha de materia y forma para luego concluir, que la ciudad tiene una constitución muy parecida a la armonía presente en el ser humano con respecto al cuerpo y el alma. Veamos el tratado de Al-Farabi. 

Referencias:

(1) Esta es justamente la idea que Aristóteles expresa en el Libro XIV de su Metafísica. 

(2) Sin embargo, podemos definirlo diciendo que es Unidad, indivisible, simple, etc. 

(3) En este sentido, Al-Farabi considera la matemática mucho más perfecta que la física.
(4) Para Aristóteles esto no representaba ningún problema, pues el alma no existe sin el cuerpo.
(5) Aunque podríamos decir que es la potencia de la cogitativa, pero Al-Farabi no lo menciona. 
(6) Este libro es Ciencia Política.
(7) Puede recordarnos al libro de Platón llamado ''La República'' (el Libro I específicamente) donde Trasímaco postula que la justicia es lo que conviene al más fuerte.


Definiciones:

(1) Hílico: compuesto de materia.

La ciudad ideal

PARTE I: EL SER PRIMERO

Capítulo I: Sobre el Ser Primero

Características

Todos los seres le deben la existencia a este Ser Primero, mientras que el Ser Primero no le debe la existencia a nada. El Ser Primero es perfecto, mientras que todos los demás sería imperfectos. No tiene ninguna imperfección y por lo tanto tampoco tiene privación de lo que es. 

El Ser Primero es infinito y su existencia no se debe a ningún otro ser, pues tiene suficiencia para existir por sí mismo, además de ser infinito por sí mismo. En términos aristotélicos, el Ser Primero no tiene las cuatro causas del ser:

• Causa eficiente
• Causa formal
• Causa material
• Causa final

Como dice Al-Farabi, el Ser Primero no tiene forma porque si tuviera tendría que ser necesariamente materia. 

Capítulo II: El Ser Primero no tiene otro ser idéntico a él

Ningún otro ser puede ser semejante o idéntico al Ser Primero por lo que todo lo que tiene le pertenece exclusivamente a él. 

Sin embargo, supongamos que esto no fuera así y que el Ser Primero sí tiene otro ser. En ese caso, digamos que el Ser Primero es A y el otro ser es B. 

Si B se distingue de A, pero A no se distingue de B, entonces podríamos decir que A tiene una entidad propia y exclusiva. Por lo tanto, A abarcaría a B sin que B abarcará a A. No obstante, B también tiene algo de común con A, pues por eso A puede abarcar a B. 

De esto se sigue que A tiene una entidad indivisible o simple (porque puede ser A y B) mientras que B es una entidad compuesta, es decir, tiene relación con A pero no es A. ¿Qué relación tiene B con A? simplemente que A le dio la existencia a B. 

Capítulo III: El Ser Primero no tiene contrarios

Naturaleza de los contrarios

No todo lo que no es parecido es contrario, pero si es contrario aquello que aniquila y corrompe la existencia del otro ser. Principalmente, los seres son contrarios a partir de sus accidentes, pero ¿existirá un ser que es contrario en esencia?

Si el Ser Primero tuviese un contrario, en esta sustancia participarían ambos: él y su contrario. Sin embargo, de esto se seguiría que el Ser Primero tiene una parte corruptible y que podría ser aniquilado por su contrario, aún tratándose de su misma sustancia (pues es corruptible). 

Un ser contrario al Ser Primero (que es incorruptible, perfecto y que su existencia no depende de nada más que de él mismo) no puede existir por sí mismo debido a que no es eterno, necesita de alguien que lo haga existir; por ejemplo, el hombre. 

Existencia suficiente e independiente: Ser Primero.

Existencia insuficiente y dependiente: Hombre. 

¿De quien depende la existencia del hombre? del Ser Primero pues este es el que le da la existencia a todos. Puede sonar raro que el Hombre y el Ser Supremo no sean contrarios, pero debe ponerse atención a que los contrarios sólo se dan en los accidentes y no en las sustancias(1)(18). 

Capítulo IV: El Ser Primero es indefinible

El Ser primero es indivisible aún cuando se le defina porque es un ser simple y los seres simples no pueden componerse de partes (porque de ser así serían divisibles). No tiene cuerpo, no tiene magnitud, sólo es pura unidad y la unidad es indivisible. 

Por lo tanto, como no tiene ningún accidente no puede definirse debido a que es absoluta unidad e indivisibilidad(2). 

Capítulo V: Su unicidad es su propia esencia: además es cognoscente, sabia, viva y vida

La distinción más clara del Ser Primero es su unidad; unidad que todos los seres carecen al ser pluralidades. Este ser podría perfectamente llevar el nombre de ''Uno'' que abarca a todos los seres que existen. 

El Ser Primero está siempre en acto y no en potencia como los demás seres, no es materia sino esencia, está en sí mismo y no en otros. Si un ser no necesitara materia para vivir (como nosotros), entonces ese ser es un ser in actu (en acto). De ser así, el Ser Primero también es inteligible y por lo tanto no tiene materia ya que la materia es el obstáculo de la intelección. 

¿El hombre no es inteligible? el hombre tiene la intelección pero eso inteligible que tiene no es en acto, sino que más bien es potencia inteligible. 

¿Qué pasa con el movimiento, el tiempo, lo infinito, la privación y otras cosas abstractas? De acuerdo con Al-Farabi, estas cosas también son inteligibles pero imperfectas. Sin embargo, las matemáticas, los números, la geometría sí serían cosas perfectas e inteligibles porque tienen en su modo de sí perfección(3). 

En base a esto, deberíamos decir que el Ser Supremo sólo se puede entender logrando entender los más sumos altos grados de entendimiento como son las matemáticas; y sin embargo, esto no es necesariamente así. El Ser Primero se deja fácilmente intuir porque realmente es la perfección total. No obstante, no podemos observarlo con perfecta nitidez debido a nuestros sentidos y nuestra materia en general; recordemos que es la materia lo que nos impide siempre ver lo que es más inteligible. 

Podríamos decir que el Ser Primero es como el sol que no podemos ver directamente por sus intensos rayos, pero sabemos que está ahí y que existe. Nuestros ojos son demasiado débiles para aguantar los rayos del sol, pero eso no quiere decir que no podamos aceptar la existencia de dicho ser. 

Como nuestra materia nos impide ver lo inteligible, entender al Ser Primero será enormemente difícil. Sin embargo, mientras más acerquemos nuestra sustancia a las cosas que son inteligibles, más estaremos cerca del Ser Primero que es pura intelección. Esa es la tarea del hombre si quiere alcanzar la perfección de su esencia. 

Capítulo VI: De la grandeza, gracia y majestad del Ser Primero

Todo lo que pertenece al Ser Primero no sólo es excelente sino que también es perenne, es decir, que dura para siempre, ¿Por qué dura para siempre? porque está en acto y no en potencia. Como nosotros estamos en potencia, nuestra grandeza sólo podremos verla en los atributos accidentales, y en cuanto a que estos se acerquen a la sustancia.

Sin embargo, el Ser Primero no tiene accidentes puesto que él mismo es la belleza y la inteligencia. Por lo tanto, el Ser Primero se quiere a sí mismo, se ama a sí mismo. 

Capítulo VII: De como todos los seres provienen del Ser Primero

La existencia del Ser Primero es la causa de que todos los demás seres existan. El único fin y principio que tiene el Ser Primero es sujetar la existencia de los demás seres que dio.   

Podría pensarse que el Ser Primero tiene dos características: una para ser perfecto y otra para producir a otros seres; pero esto sería una contradicción porque estas dos características lo harían un ser compuesto. Como no lo es, su propia esencia es la que produce a los demás seres compuestos. 

Capítulo VIII: Gradación de los seres realizados, o existentes

La sustancia del Ser Primero hace que emanen todas las otras sustancias sean perfectas o imperfectas. De esta forma, todos los seres realizados poseen algo de la sustancia del Ser Primero. 

La gradación de los seres va de la siguiente forma:

• Ser Primero: creador
• Ser perfecto: creado por el Ser Primero
• Ser menos perfecto: creado por el ser perfecto
• Ser imperfecto: ser creado por el menos perfecto que es totalmente dependiente. 

Si algo se le quita a este último ser, puede ser que su existencia se acabe. 

Luego, de aquellos seres imperfectos nacen los engarces y los trabazones. ¿Qué son estos conceptos? son los que unen a unos seres con otros; por ejemplo, el amor y la amistad hace que los seres se unan para formar una comunidad. 

Capítulo IX: De los nombres con que conviene llamar al Ser Primero

Para Al-Farabi, los nombres con los que se debe designar al ser primero son por ejemplo:

1. Uno
2. Vivo
3. Ente (existente ''wujud'')

Sin embargo, estos nombres no ofrecen ni abarcan la totalidad esencial del Ser Primero, pero sirven para que el hombre tenga una noción, una idea de qué es el Ser Primero. 

Capítulo X: De los seres del segundo grado y como se produce la multiplicidad

Tenemos que del Ser Primero emana el ser del segundo grado llamado por Al-Farabi: ''wuyud''. 

Ser Primero, segundo y tercero

Existe un ser segundo que es incorpóreo e inmaterial  que se encuentra con el Ser Primero forman un ser tercero que conoce también al Ser Primero además de ser también inmaterial e incorpóreo como el segundo. Luego, el ser tercero forma con el Ser Primero el cielo y luego juntos forman el cuarto ser que sería justamente el wuyud. 

Ser cuarto, quinto y sexto

El ser tercero son las estrellas fijas y el cuarto daría lugar a los planetas como Saturno. Cuando el ser cuarto se encuentra con el Ser Primero forman el ser quinto que forma al planeta Júpiter. Luego el quinto se encuentra con el primero para formar un ser sexto que da forma al planeta Marte. 

Ser Séptimo, octavo y noveno

Luego el ser sexto se encuentra con el Ser Primero para dar lugar a el ser séptimo que da lugar al orbe del sol. Después el séptimo ser se encuentra con el Ser Primero para formar un ser octavo que da lugar al orbe de Venus. Posteriormente el ser octavo se encuentra con el Ser Supremo para formar al ser noveno que dará lugar al orbe de Mercurio.

Ser décimo y undécimo

Luego, el ser noveno conoce al Ser Primero para formar el ser décimo que dará lugar al orbe de la Luna. Cuando el ser décimo se encuentra con el Ser Primero dan forma al ser undécimo pero ya aquí terminan todos los seres que no necesitan materia ni sujeto. 

Debemos entender que los seres están separados de los planetas, es decir, los planetas y demás cuerpos celestes deben su existencia a los seres: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10.

Capítulo XI: De los seres y de los cuerpos de la tierra

Todos los demás seres que siguen al undécimo ser son imperfectos. Todos ellos se distinguen por medio de sus accidentes y se necesitan temporalmente, o permanentemente unos a otros. 

Estos seres son dos: 

• Seres naturales: tierra, fuego, aire y agua
• Seres voluntarios: hombres

Al-Farabi dice que lo natural precede a lo voluntario, y, en palabras suyas, esto repugna. 

PARTE II: LA MATERIA Y LOS CUERPOS

Capítulo XII: Sobre la materia y la forma

Para distinguir entre materia y forma, Al-Farabi utiliza el ejemplo aristotélico de la cama.

Cama:

Materia: madera.

Forma: configuración de la cama (lo que hacer que sea una cama).

La materia sería un sustrato que sustenta la forma de la cama, la cama no sería cama sin la madera, ni tampoco la madera podría ser cama sin la forma. Vuelve a decir Al-Farabi, que repugna que sin la materia las cosas no puedan tener existencia, siendo que la forma es lo más importante. ¿Por qué? por lo siguiente.

Extrapolamos la imagen del hombre a esta idea aristotélica:

Hombre:

Materia: cuerpo

Forma: alma

Deberíamos decir según este argumento que el cuerpo sustenta al alma, tal como la madera sustenta la forma y le da existencia(4). 

En todo caso, la existencia de la forma no es para darle vida a la materia, sino que más bien para que la sustancia corpórea (potencial) sea sustancia en acto. Si la materia existe por sí sola, entonces se existe en potencia, pero si la materia consigue forma entonces está en acto. 

Materia en potencia: madera

Materia en acto: la cama misma

La materia en potencia siempre busca su forma para estar en acto; ese es, digamos, la naturalidad de la materia: buscar ser en acto.

Capítulo XIII: De la división entre los diversos grados: cuerpos hílicos(1) y seres divinos

Cuando se dividen los seres, lo primero que se debe pensar son los primeros que son la materia misma. Luego de la materia están los seres divinos y perfectos que ya carecen de materia. 

Existen dos órdenes de seres según Al-Farabi:

Seres de materia → forma (gradación)

1. Materia prima (o fuego, o agua, o tierra o aire)
2. Materia de cuatro elementos (fuego, agua, tierra y aire)
3. Minerales
4. Plantas
5. Animales irracionales
6. Animales racionales

Seres de forma → materia (gradación)

1. Ser Primero
2. Desde el ser segundo hasta el undécimo

Cada ser de forma → materia tiene su propia esencia, propia y exclusiva. Por ejemplo, el sol tiene sustancia que es muy distinta a todos los demás seres incluyendo al Ser Primero entre los contrarios. Sin embargo, a Al-Farabi le repugna que el sol sea contrario al Ser Primero, siendo que el Ser Primero no tiene contrarios y encima el Sol proviene de él. No obstante, los seres de segundo grado (seres 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 y 11) tienen en común la existencia por el Ser Primero y por lo tanto en esencia no podría ser contrarios a él, porque es imposible que algo que no tenga accidentes pueda tener contrarios. 

Capítulo XIV: De las cosas comunes a los cuerpos celestes

Los cuerpos celestes constituyen nueve conjuntos en nueve grados:

Cielo

Estrellas fijas

Saturno

Marte 

Sol

Venus

Mercurio

Luna

Cada conjunto comprende un cuerpo esférico que adentro contiene otras partes que lo hacen moverse:

Cuerpo 1: movimiento giratorio veloz.

Cuerpo 2: cuerpos con movimientos comunes.

Cuerpo 3: más con cuerpos con otros movimientos comunes.

Los cuerpos celestes parecieran tener materia y forma tal como los seres de la tierra (animales, plantas y seres humanos), sin embargo, estos seres no tiene contrarios los unos con los otros a pesar de tener su propia esencia. Eso sí, los cuerpos celestes participan de la materia así como el hombre participa de aquella, pero los cuerpos celestes son los más excelentes entre todos los seres que tienen materia.

Capítulo V: En dónde, de dónde y por qué se mueven los cuerpos celestes

De acuerdo con Al-Farabi, el movimiento es uno de los niveles más bajos entre los accidentes de cada ser. ¿Por qué? porque cuando el ser necesita movimiento necesita de una especie de contenedor para moverse. Si un cuerpo debe moverse a un lado, este debe pasar de un lugar a otro, por lo que ese movimiento lo hace totalmente dependiente de una trayectoria. El lugar siempre tiene partes y así los cuerpos tienen partes.

Los cuerpos celestes tienen un movimiento circular que es el más excelente de los movimientos, y esto es lo que hace que el cuerpo celeste siempre regrese por donde empezó su movimiento. El lugar, por tanto, será aquello que el cuerpo necesite para moverse.  

Capítulo XVI: De las modalidades de los movimientos giratorios y de la naturaleza común a todos

El movimiento de los astros no se debe a seres distintos de ellos; sus movimientos dependen de sí mismos, de su esencia. Muchos planetas tienen movimientos distintos unos de otros; por ejemplo, Saturno se mueve más rápido que la Luna. Otros planetas tienen movimientos retrógrados y otros no, pueden diferir mucho del otro, pero eso no quiere decir que sean contrarios. 

Capítulo XVII: De las causas que dan origen a la forma primera y a la materia primera

Como todos los cuerpos celestes tienen una naturaleza en común, se sigue que todos los seres debajo de los cuerpos celestes tienen una materia en común.

¿Cómo se distinguen los distintos tipos de seres en la tierra? como lo habíamos dicho, a través de los múltiples accidentes que tienen. De aquí que todos los seres son diferentes unos de otros, con formas diferentes pero con una misma materia. 

Capítulo XVIII: De los grados de los cuerpos materiales en su misma producción

La primera materia que existió fueron los elementos y, con la conjunción de los elementos posteriormente se formaron los cuerpos compuestos y que son contrarios (por tener accidentes). Luego de esta combinación surgen unos segundos cuerpos con formas mucho más contrarias.

Todos estos cuerpos que son finitos y en potencia son movidos por seres superiores hasta llegar al ser que mueve a todos sin ser movido. 

Los minerales son los que están más cerca de los cuatro elementos principales, luego le siguen las plantas que son un poco más complejos, posteriormente los animales irracionales y finalmente el ser humano que procede de una combinación de elementos más elevada. 

Capítulo XIX: De cómo las formas se suceden en la materia

La materia al tener contrarios cambia constantemente y de hecho, ese es su modo de preservarse. La materia está compuesta de cosas contrarias todo el tiempo, unas veces se eliminan y luego reaparecen constantemente sin que la una sea inútil con respecto a la otra. Todos los contrarios son necesarios en la materia. 

Unas materias tienen una duración permanente; por ejemplo, los elementos, mientras que otras son solamente temporales como podrían ser los animales (racionales e irracionales) y las plantas.

Todos los seres con materia y forma tiene una facultad nutritiva que les permite conservarse. La alimentación es el ejemplo más práctico de que los seres humanos no pueden vivir sin contrarios, pues siempre necesitan alimentos diferentes para sobrevivir. También pasa con los mismos seres humanos, pues hay quienes son más viejos o más jóvenes que otros, que deben ayudarse porque los jóvenes pueden ayudar a los más viejos y los viejos pueden aconsejar a los más jóvenes: la mayor prueba de que los contrarios preservan la vida. 

¿Qué tienen en común los seres humanos? la materia es la entidad que los hace comunes sin importar cómo sea su forma. 

Capítulo XX: De las partes del alma humana y sus potencias

Cuando el hombre nace van apareciendo una a una las potencias que puede desarrollar. Veámoslas:

Nutritiva y sensitiva

La habilidad de comer es una de las primeras potencias que tiene el hombre que se da después de adquirir los cinco sentidos:

1. Tacto
2. Gusto
3. Olfato
4. Oído
5. Visión

Luego de que se desarrollan estos sentidos, el recién nacido comienza a discriminar los objetos ya sea procurándoselos o aborreciéndolos. 

La potencia nutritiva tiene dominio sobre la boca, mientras que el modo de servirse de los alimentos lo lleva a cabo con los demás miembros, pero no sólo los miembros del cuerpo sino también aquellos que están dentro de él. 

La potencia sensitiva, naturalmente, domina en los cinco sentidos, y cada uno de ellos se encarga de una sensación específica. Como todo entra por esta potencia, Al-Farabi dice que la potencia sensitiva sería como un rey que recibe todas las noticias del reino, mientras que los miembros del cuerpo son el principado.  

Imaginativa

Esta es la parte donde unos cuerpos sensibles se unen con otros, se mezclan o se separan también. Esto forma una imagen tanto verdadera como falsa según criterio de lo que se ha imaginado. También se produce un apetito a aquello que se ha imaginado. 

La potencia imaginativa no es como la sensitiva que tiene miembros repartidos por todos lados. La potencia imaginativa tiene lugar solamente en el corazón, de acuerdo con Al-Farabi. Puede funcionar incluso cuando no está siendo estimulado, porque el hombre puede seguir imaginando aún cuando no esté viendo o sintiendo. 

Racional

Esta es la potencia con la que el hombre puede conocer todo lo inteligible y en consecuencia distinguir entre lo bueno y lo malo. Además, con la racionalidad se hacen posibles las artes y las ciencias. También se desarrolla un apetito por aquello que se ha conocido a través de la intelección. 

Tampoco tiene miembros repartidos por todos lados, pero ejerce su dominio bajo la potencia imaginativa para que el hombre luego pueda discernir entre lo que es bueno y es malo.

Cogitativa

La potencia racional manda a la potencia imaginativa y la potencia imaginativa manda a la potencia nutritiva. Sin embargo, lo que decide por sobre todas ellas es la voluntad del hombre, es decir, sea la potencia imaginativa, sensitiva, nutritiva o racional, es la voluntad la que tiene la última palabra. 

Más allá de todas las potencias tenemos otra que se ocupa de la reflexión, el pensamiento, la invención y la meditación que sería la potencia cogitativa. 

Capítulo XXI: Como estas potencias y partes forman una sola alma

Los órganos y las potencias

Veamos ahora cómo todas estas potencias forma una sola alma.

La potencia nutritiva es como la materia de la potencia sensitiva principal (gusto), mientras que la potencia sensitiva es la forma de la potencia nutritiva. A su vez, la potencia sensitiva es como la materia de la potencia imaginativa, mientras que la imaginativa es la forma. 

La potencia imaginativa es la materia principal de la potencia racional, que al mismo tiempo es su forma, pero esta ya no puede ser materia de las otras potencias(5). 

Por otro lado, entre los órganos es el corazón el que manda, aunque se podría decir que es el cerebro, sin embargo, el cerebro depende del corazón para seguir funcionando. El cerebro es sólo un servidor del corazón, un órgano que procura preservar la vida del corazón. 

En cuanto a las funciones, el cerebro es el que distribuye dicho calor a los demás miembros, aunque no lo puede hacer sin la ayuda del corazón. También es el que se encarga de manejar los nervios que derivan de él, además de suministrarles calor. Al igual que Aristóteles, Al-Farabi creía que el cerebro es el órgano más frío que sólo se encarga de regular el calor del cuerpo, aunque también le atribuye actividades psíquicas. 

Al-Farabi describe el orden de los órganos que nacen en la concepción de un ser humano:

1. Corazón
2. Cerebro
3. Hígado
4. Bazo y otros
5. Genitales

En efecto, los genitales serían la última constitución en formarse de acuerdo al filósofo. 

Potencia generativa

La potencia generativa tiene que ver con la creación del nuevo ser donde se necesitarán los genitales. No obstante, su principio yace en el corazón y después en los órganos genitales. 

Lo que hace la potencia generativa es lo siguiente:

1. Prepara la materia para el nuevo ser.
2. Da forma a la materia del nuevo ser a través del movimiento. 

La materia que prepara la potencia generativa es femenina y la forma es masculina. Esto podemos decirlo en un ejemplo muy práctico: la mujer tiene el útero que sería considerado como materia, mientras el hombre tiene el semen que es lo que da forma a la materia. 

El caso de las plantas es diferente, pues las mismas plantas preparan la materia que sería la semilla. La forma la tiene la misma semilla por lo que la materia debe moverse hasta alcanzar la forma que está dentro de la semilla. 

Capítulo XXII: De cómo conoce la potencia racional y cuál es la causa de ese conocimiento

Ahora resta hablar sobre los inteligibles: unos son inteligibles por sí mismos y exentos de materia (en acto) y otros que no son inteligibles en el momento (potencia).  

Para que los inteligibles se vuelvan en acto deben ser apoyados por un ser externo a ellos que los lleve a tal condición. Este ser externo es puro entendimiento, un ser en acto que está alejado de la materia; por ejemplo, cuando no podemos ver las cosas es cuando tenemos la visión en potencia, para que la visión se convierta en acto necesitamos la luz (que sería el ser externo) para que nos posibilite observar las cosas en acto. 

Por lo tanto, tenemos dos clases de entendimiento: el entendimiento formal que Al-Farabi llama entendimiento inmaterial, que es aquel por donde provienen todos los seres (siendo el Ser Primero el génesis de los demás), mientras que tenemos el entendimiento hílico que necesita del agente para estar en acto. Desde aquí que la potencia imaginativa se estimula con todo lo que ve por el entendimiento agente.

Luego de la potencia imaginativa se desarrolla la racional que forma los primeros inteligibles en el hombre:

1. Principios de geometría
2. Discernimiento entre lo honesto y deshonesto
3. Las maneras de ser; por ejemplo, la utilidad y principio de los seres.

Estas son las cosas que hacen que el ser humano pueda conocer mediante los conceptos de materia y forma. 

PARTE III: ACTITUDES Y FENÓMENOS EN LOS SERES HUMANOS

Capítulo XXIII: De la diferencia entre voluntad y el libre albedrío, y sobre la felicidad

Cuando el hombre conoce todo lo inteligible hablado anteriormente, inmediatamente se procura unos y otros los rechaza según sea su conveniencia. ¿Qué es lo que lo lleva a procurar o rechazar? simplemente es la voluntad que proviene de la potencia imaginativa que también está presente en los animales irracionales. Al-Farabi la llama irāda, mientras que por otro lado tenemos la elección que es llamada ijtiyār. En otras palabras, la voluntad pertenece a la parte imaginativa del alma, y el libre albedrío a la parte cogitativa del alma

Los primeros inteligibles no serán suficientes para alcanzar la felicidad, por lo que se tendrá que seguir perfeccionando. En otras palabras, como lo dijimos en otros apuntes de Al-Farabi, la adquisición del conocimiento es la adquisición de la felicidad(6). ¿Dónde está la felicidad? ¿en la materia o en la forma? naturalmente que la felicidad está en la forma, puesto que el conocimiento es inteligible; algo que no necesita de la materia. 

Todo esto se lleva acabo a través de la voluntad; sin embargo, la voluntad también puede obstaculizar la felicidad. Por ejemplo, cuando usamos la felicidad para obtener otra felicidad, entonces no estamos buscando la felicidad puesto que esta es un bien en sí mismo. Si la imposibilidad de encontrar la felicidad son estas voluntades de buscar una felicidad supuestamente superior, entonces esta búsqueda es una búsqueda de cosas deshonestas. Cuando se busca algo distinto de la felicidad, entonces sólo se está buscando el vicio. 

Capítulo XXIV: De la causa de los sueños

La facultad imaginativa está en medio de la facultad racional y sensitiva. La imaginación está más cerca de los sentidos, pero también ayuda a la potencia racional. Cuando la potencia racional y la sensitiva alcanzan el acto a través de agentes externos, la potencia imaginativa queda sola y de lo único que puede servirse son de las impresiones. Es aquí cuando se producen los sueños. 

Las impresiones quedaron luego de haber utilizado la potencia sensitiva, pues todo lo que pasa por los sentidos queda ''guardado'' en la imaginación. Todos estos registros sensoriales los tiene la potencia imaginativa que tiende a imitar todos los sentidos que el hombre ha acumulado. La imitación puede ir desde la potencia sensitiva hasta una de las más perfectas que es la racional. 

Tanto lo irracional como lo racional pueden tomar lugar en los sueños, puesto que la potencia imaginativa tiene el dominio al poder mezclar, juntar, separar todo lo que la sensación tiene registrado. Sin embargo, las cosas que están en los sueños, raramente pueden suceder en la realidad, pero la mayoría de las cosas fuera de la realidad están en los sueños. 

Capítulo XXV: De la inspiración

Cuando la potencia imaginativa va por sobre la racional y se sirve de la sensitiva, entonces en ese momento surge la inspiración. Esta puede surgir tanto en el momento de vigilia como en el sueño. El efecto que produce esto, es que la potencia imaginativa logra tener una impresión de las cosas inteligibles por medio de los sentidos. 

De la inspiración provienen todos los simbolismos, parábolas, alegorías, enigmas que el hombre pronuncia en el estado de vigilia por medio de los inteligibles. No obstante, también puede pasar que la potencia imaginativa lo traicione y le muestre cosas que no existen, además de caer en posesiones. 

PARTE IV: EL HOMBRE, LA SOCIEDAD Y LA CIUDAD

Capítulo XXVI: A los hombres les es necesaria la sociedad y mutua asistencia de unos a otros

El hombre no puede ocuparse de todas las cosas de la naturaleza o de una ciudad él sólo. Por eso, este debe reunirse con otros hombres para fundar una ciudad y ponerla en funcionamiento. Todo lo que hacen los hombres en conjunto no sólo va para el bien de una sociedad, sino que también para el bien individual de cada uno.

Existen tres tipos de sociedades descritas por Al-Farabi. Unas son perfectas y otras imperfectas:

Perfectas:

1. Mayores: la reunión universal de todos los hombres en la tierra.
2. Intermedias: la consagración de un pueblo o de una nación en una parte de la tierra.
3. Menores: formadas por la gente de una ciudad de una nación.

Imperfectas:

1. Aldea: puesta al servicio de una ciudad.
2. Barrio: partes integrales de una ciudad.
3. Calle: partes integrales del barrio.
4. Una sola casa: partes integrales de la calle.

El mejor de los bienes, es decir, la felicidad, se obtiene en la ciudad y no en sociedades menores y más imperfectas como las mencionadas anteriormente. 

El pueblo modelo, o ciudad virtuosa, o ciudad ideal para Al-Farabi es aquella donde las personas se ayudan mutuamente a alcanzar sus fines. Recordemos que el hombre por sí sólo no es autosuficiente (idea aristotélica) por lo tanto, la única manera que tiene de darse felicidad es en comunidad. 

La ciudad feliz es como el cuerpo del ser humano. Cuando el cuerpo está en armonía es porque todos sus órganos funcionan; cuando hay un órgano en mal estado, este puede afectar a los demás lo que hace sentir al hombre con malestar. La ciudad es lo mismo, si un órgano está mal, el malestar puede apagarse con una buena gestión o propagarse por una mala gestión. 

Todas las disposiciones de la ciudad son voluntarias, tales como las artes y otras expresiones. La voluntad mueve la ciudad para lograr la armonía. 

Capítulo XXVII: Del miembro principal del Estado Modelo

Así como el corazón es el más excelente de los órganos que tiene el ser humano porque permite la vida, el jefe de Estado es el más excelente de los miembros de la ciudad por lo que, si es un buen jefe, entonces sus ciudadanos serán los mejores.  

El jefe de Estado no puede ser cualquier persona. La jefatura de una ciudad comprende dos cosas:

1. Debe tener aptitud de carácter y naturaleza
2. Debe tener disposición y hábitos voluntarios adquiridos  

El jefe de Estado debe ser perfecto, y ninguno puede mandarlo a él sino que él manda a todos por tener su intelección en acto. 

Existen tres clases de entendimiento:

1. Entendimiento agente (en acto)
2. Entendimiento adquirido
3. Entendimiento pasivo (en potencia)

Por supuesto, el jefe de Estado debe tener consigo el entendimiento en acto, pero para conseguirlo primero debe pasar por el entendimiento pasivo y el adquirido. ¿Cuándo recibe el entendimiento agente? cuando el entendimiento especulativo, práctico y racional se unen para recibir la revelación del primer agente que en este caso sería Allah.

Luego que Allah comunique al entendimiento agente, de este emanará lo mismo sobre el entendimiento pasivo, entonces ahí es cuando tenemos al filósofo: el perfecto intelecto. Podríamos decir que ese hombre será un profeta que podrá predecir los hechos futuros a través de la imaginación.

Capítulo XXVIII: De las cualidades del jefe del Estado Modelo

El jefe al que Al-Farabi se refiere no es sólo el hombre jefe de una ciudad, sino que más bien de toda la tierra. Es lo que los musulmanes llaman ''Imam'', el maestro espiritual de la humanidad. 

Las cualidades del Imam son las siguientes:

1. Todos sus miembros deben estar en orden y en acto, lo que obviamente quiere decir que antes, al estar en potencia, se conviertan en acto.
2. Debe tener buena inteligencia y comprensión.
3. Debe tener buena memoria.
4. Debe tener mucha perspicacia y sagacidad.
5. Debe expresarse de clara y buena manera. 
6. Debe ser amante de la enseñanza e instrucción.
7. Debe ser mesurado al comer y el beber, además de alejarse de todos los juegos de azar entre otros.
8. Debe amar la sinceridad y la verdad, y aborrecer la mentira. 
9. Debe ser magnánimo y amante del honor. 
10. Debe despreciar las cosas mundanas y superficiales.
11. Debe amar la justicia y a los que la buscan, y por otro lado, aborrecer la injusticia. 
12. Debe ser recto, dócil, sin tener problemas cuando lo corrigen. 

Por supuesto, estas cualidades no se van a encontrar entre la gente común, pues es muy difícil que todas estas características se reúnan en un sólo ser. Por lo tanto, cuando haya un hombre que cumpla con cuatro, con cinco o con seis de las características frente a otros que no, entonces ese será el jefe de Estado. 

También existe un segundo jefe de Estado que debe reunir seis condiciones:

1. Debe ser sabio
2. Debe saber y conocer las leyes de memoria
3. Debe ser consciente de que todas las cosas de los antepasados se están aplicando en el gobierno actual.
4. Debe sobresalir en pensamiento y reflexión.
5. Debe ser discreto al hablar de las leyes.
6. Debe gozar de salud corpórea. 

Si ninguno cumple con exactamente todas las características nombradas, si hay dos por lo menos que juntos las cumplen, entonces serán los mejores bajo el mandato. Sin embargo, nadie puede ser jefe de Estado si no tiene la sabiduría. 

Capítulo XXIX: Estados opuestos al Estado modelo

El Estado ignorante lo tiene aquella ciudad donde los ciudadanos no conocen la felicidad (verdadera) y tampoco están interesados en obtenerla porque no tienen fe en ella. 

Solamente se conocen las cosas superficiales y básicas que aparentan una felicidad: los honores, los placeres, las pasiones y la grandeza. Las carencias de los ciudadanos de este Estado ignorante (o las preocupaciones principales) son las siguientes:

1. La falta de salud corporal 
2. La pobreza
3. La carencia de los placeres
4. Falta de estima o reputación

Además, los Estados ignorantes tienen algunas divisiones a considerar. 

1. Estado de lo preciso o indispensable: se limitan a lo necesario para alimentar al pueblo; bebidas, comidas, relaciones sexuales, vestidos y habitación. 
2. Estado del intercambio: donde todos se ayudan mutuamente para alcanzar fines superfluos, tomando las riquezas como fin de vida. 
3. Estado vil y despreciable: se buscan sólo los placeres de los sentidos. Se prefiere el juego y los deleites de manera absoluta. 
4. Estado de los honores: se buscan sólo las gratificaciones que tienen que ver con los honores. 
5. Estado del poder: se centran en la posesión de otros territorios para sojuzgarlos y resistir ser sojuzgados por otros pueblos.
6. Estado general: se busca hacer lo que cada ciudadano quiere sin restricciones. 
7. Estado corrompido: conocen todas las acciones buenas incluyendo el entendimiento agente y la palabra de Allah; sin embargo, en la práctica son nefastos. 
8. Estado alterado o versátil: basado en la opinión más que en lo inteligible, donde los ciudadanos se ven corrompidos por las opiniones y costumbres de los otros pueblos.
9. Estado extraviado: es un Estado que se deja llevar por los engaños. En primera instancia creen en la verdadera felicidad, pero luego se dejaron seducir por falsos profetas.

Los jefes del Estado ignorante son muy parecidos a sus propios ciudadanos. Tanto el jefe como sus ciudadanos están volcados a los honores y los placeres. 

Capítulo XXX: De la unión de las almas entre sí

Las almas se unen una vez que dejan el cuerpo mortal. Luego, las almas se encuentran unas a otras en otro plano, y todas se contentan de verse. Su felicidad aumenta en el modo que se van encontrando con gente del pasado o gente del futuro cuando los esperan. Mientras que se ve encontrando con más almas, mayor es su felicidad. 

Capítulo XXXI: De las artes y de los modos de la felicidad

De acuerdo con Al-Farabi, la felicidad se presenta de tres modos:

1. Según la especie
2. Según la cantidad
3. Según la calidad

Obviamente las artes se diferencian mucho unas con otras, por ejemplo, el arte de tejer, de la perfumería, de la caza, de la danza, etc. Cada una de ellas presume del conocimiento de otras artes, y ahí encontramos la cantidad de cosas en un sólo arte. Por ejemplo, en el arte culinario se encuentra la química, la estética, la cocción, etc. Encontramos la calidad de las ciencias cuando un hombre se dedica por entero a un arte, mientras que otro dedica a otro. En cierto sentido, Al-Farabi dice que la calidad del arte sólo se verá en aquellos que están completamente dedicados a un arte y no a varios. Sin embargo, si el hombre del arte culinario es malo en aquello, entonces también será malo en las artes que se derivan de este. 

La felicidad se da de un modo parecido, si los hombres son buenos en virtud, serán igual de buenos en todo arte al cual se dediquen; por supuesto, si son malos todas sus artes serán malas. 

Capítulo XXXII: De los moradores de Estados modelo

Los ciudadanos de los Estados ignorantes sólo se enfocan en la materia. Cuando la materia desaparece, eso representa la infelicidad de los ciudadanos de dichos Estados ya que no pueden comprender lo inteligible por estar ligados a la materia. 

La melancolía

Cuando la razón está al servicio de la materia o a los sentidos, entonces el ser humano se vuelve corrupto. Sus sentidos sólo se preocupan de las estimulaciones exteriores, pero ¿Qué pasa cuando la estimulación de los sentidos cesa de existir? la razón queda a solas y el ser humano comprenderá lo malo que fue estar al servicio de los sentidos: de ahí que se forme lo que conocemos como ''melancólico''. Al-Farabi dice que la melancolía puede durar toda la vida si es que no se sale de ella. 

Esta puede ser una de las consecuencias más terribles de un Estado ignorante. 

Capítulo XXXIII: De las cosas comunes a todos los Estados moradores del Estado modelo

¿Qué es lo que deben conocer los ciudadanos del Estado modelo? De acuerdo con Al-Farabi las siguientes cosas:

1. El conocimiento de las causas primeras.
2. El conocimiento de los seres inmateriales.
3. El conocimiento de los cuerpos naturales.
4. El conocimiento del modo de ser del hombre.
5. El conocimiento de los jefes del Estado primero.
6. El conocimiento de la ciudad ideal. 

Sin embargo, cada Estado puede ser feliz aún diferenciándose mucho de otros Estados que son felices pero con otras ideas. Por ejemplo, un Estado que difiera en religión de otro Estado. Por lo tanto, lo que es común a todos los Estados es la felicidad, aunque difieran de sus ideas. 

Las personas del Estado ignorante negarán toda felicidad que tengan aquellos del Estado moderno, y viceversa. ¿Quién tiene la verdad? los sabios tiene la verdad porque, claro, entre los Estados modelos sólo pueden existir los sabios. 

Capítulo XXXIV: De las opiniones de los ciudadanos de los Estados ignorantes y de los Estados extraviados

Los Estados ignorantes son corrompidos porque se apoyan en opiniones anticuadas y creencias erradas. Estos ciudadanos buscan la destrucción unos a otros porque los que no son como ellos son los contrarios, y por lo tanto, como los contrarios son privaciones, entonces deben defenderse de la privación que tal contrario les ocasione. 

De alguna manera, los ciudadanos se ven envueltos en una situación de supervivencia con respecto a cualquiera que sea su contrario.  Estos ciudadanos se rebajan a la condición animal quienes se matan el uno a otro o por supervivencia o por odio. ¿Quién sería el más feliz en esta sociedad? simplemente sería el más fuerte, y todos los ciudadanos seguirían a este ser más fuerte. 

Capítulo XXXV: De la justicia

La justicia corresponde a quien tiene la victoria en una batalla, por ejemplo, que el vencedor someta al vencido es justicia, así como el vencido se someta al vencedor(7). Quien participó en la guerra y tuvo más méritos en ella, será justo que se le de más, y al que hizo menos se le de menos. Otro tipo de justicia se establece en la compra y venta de productos donde la equidad y correcta distribución representaría la justicia en términos mucho más abstractos.

Capítulo XXXVI: De la humildad

La humildad consiste en confesar que Allah es el que gobierna el mundo y que los espíritus moderan y protegen toda sus acciones. Las muestras de alabanza son a la vez muestras de humildad en los ciudadanos de la ciudad ideal. 

Sin embargo, la humildad de los ciudadanos puede recaer en personas viles que solamente se quiere aprovechar. Estos supuestos profetas (o jefes de Estado) aparentan tener la verdad de todas las cosas, además de ser carismáticos. Hay otros jefes que reciben iguales alabanzas porque tienen el poder del dinero, y por lo tanto, el poder de someter a otros. Es ahí cuando los ciudadanos los alaban temiendo a que pueda hacer algo contra ellos. 

Capítulo XXXVII: De los Estados ignorantes

Hay Estados ignorantes que son agresivos y pacíficos; por supuesto, los agresivos recurrirán a la fuerza para someter a sus enemigos y a sus ciudadanos, mientras que el Estado pacífico se defenderá por medio de mentiras y falsificaciones. 

Esto se debe a las distintas interpretaciones que hay de la filosofía, de la religión y otras cosas. Es verdad que se deben seguir los preceptos de los antiguos, pero debe tenerse cuidado con aquellos que estaban equivocados porque ellos producen el malentendido en las generaciones futuras. 

Conclusión

Sin duda que este es un tratado basado mayoritariamente en la filosofía aristotélica siguiendo las directrices de Física, Metafísica y Ética a Nicómaco. Avicena, considerado el tercer maestro después de Al-Farabi, no entendía a Aristóteles sobre todo sus textos de Metafísica, pero fue gracias a Al-Farabi que logró comprenderlos ¡y vaya que sí! El resumen y las explicaciones que ofrece el filósofo musulmán fueron tremendamente útiles para entender al estagirita. No debemos tampoco dejar de lado la influencia musulmán que Al-Farabi deja en estas páginas.