Seguimos con el libro de los elementos de Euclides, esta vez desarrollando un tema muy diferente de los cuatro libros precedentes. Entramos en las razones y proporciones dejando atrás la geometría plana que trataba sobre los rectángulos, cuadrados, circunferencias y triángulos. Por supuesto, este es el libro donde se ven aún más claros los cinco postulados de Euclides sobre las rectas y las magnitudes que inspiraron la filosofía matemática. Veamos que tenemos en esta nueva entrega de Euclides.
Otros libros de Euclides:
Libro I: Triángulos
Libro II: Cuadrados y rectángulos
Libro III: Circunferencias
Libro IV: Circunferencia inscrita y exinscrita de un triángulo
Otros libros de Euclides:
Libro I: Triángulos
Libro II: Cuadrados y rectángulos
Libro III: Circunferencias
Libro IV: Circunferencia inscrita y exinscrita de un triángulo
LOS ELEMENTOS
LIBRO V: MAGNITUDES
Introducción
Razones y proporciones
Para entender lo que sigue en esta parte de Los Elementos, es de mucha utilidad comprender lo que en matemáticas se denomina razones y proporciones.
Razones:
La razón es la comparación entre dos cantidades mediante una división o formando el cuociente entre ellas. Normalmente se usan expresiones como ''A es a B'' o A/B para expresar las razones y el resultado de ellas, o el cuociente de ellas será el valor de la razón. En el caso anterior A sería el antecedente y B sería el consecuente. Tengamos un ejemplo:
Supongamos que un sujeto tiene 10 manzanas y otro tiene 16, la razón se expresaría de la siguiente forma 10 es a 16 o 10/16.
10 Antecedente
16 Consecuente
Ahora debemos llevarlo a la expresión más simplificada, es decir, dividir 10 y 16 por separado lo que daría un resultado de 5/8
5 Antecedente
8 Consecuente
Razones:
La razón es la comparación entre dos cantidades mediante una división o formando el cuociente entre ellas. Normalmente se usan expresiones como ''A es a B'' o A/B para expresar las razones y el resultado de ellas, o el cuociente de ellas será el valor de la razón. En el caso anterior A sería el antecedente y B sería el consecuente. Tengamos un ejemplo:
Supongamos que un sujeto tiene 10 manzanas y otro tiene 16, la razón se expresaría de la siguiente forma 10 es a 16 o 10/16.
10 Antecedente
16 Consecuente
Ahora debemos llevarlo a la expresión más simplificada, es decir, dividir 10 y 16 por separado lo que daría un resultado de 5/8
5 Antecedente
8 Consecuente
Luego, ya que tenemos las razones simplificadas, resta tener el valor de la razón por medio de la división. Su resultado sería 0,625.
5/8: Razón
0,625: Valor de la razón
Esta es la forma de calcular las razones para luego tener el valor de la razón.
Proporciones:
Una proporción es la igualdad entre dos razones. En este caso, si con razones teníamos que A es a B, con proporciones tendríamos que dar una segunda razón que se expresaría como C es a D; por lo tanto, A es a B como C es a D.
También se debe notar que sus nombres cambian cuando se habla de proporciones. A y D serían los extremos, mientras que B y C serían los medios.
Ahora, dado que tenemos A/B y C/D debe haber una constante (cuociente) llamada K.
A/D: Extremo
B/C: Medio
K: Constante
Tengamos un ejemplo práctico para aclararlo aún más.
Supongamos que tenemos un plano con la razón 1/1500. Un terreno de este plano tiene un largo de 6 cm y un ancho de 3cm. La operación sigue de la siguiente manera:
Para calcular dicha proporción se usó la tabla de 3 donde se multiplican los números que están cruzados y posteriormente, el resultado de los dos se divide por el número que quedaría solo.
5/8: Razón
0,625: Valor de la razón
Esta es la forma de calcular las razones para luego tener el valor de la razón.
Proporciones:
Una proporción es la igualdad entre dos razones. En este caso, si con razones teníamos que A es a B, con proporciones tendríamos que dar una segunda razón que se expresaría como C es a D; por lo tanto, A es a B como C es a D.
También se debe notar que sus nombres cambian cuando se habla de proporciones. A y D serían los extremos, mientras que B y C serían los medios.
Ahora, dado que tenemos A/B y C/D debe haber una constante (cuociente) llamada K.
A/D: Extremo
B/C: Medio
K: Constante
Tengamos un ejemplo práctico para aclararlo aún más.
Supongamos que tenemos un plano con la razón 1/1500. Un terreno de este plano tiene un largo de 6 cm y un ancho de 3cm. La operación sigue de la siguiente manera:
Para calcular dicha proporción se usó la tabla de 3 donde se multiplican los números que están cruzados y posteriormente, el resultado de los dos se divide por el número que quedaría solo.
Proposiciones
Proposición 1:
Si hay un número cualquiera de magnitudes respectivamente equimultiplos de cualesquiera otras magnitudes iguales en número, cuantas veces una sea múltiplo de otra, tantas veces lo serán todas de todas.
Tengamos una magnitud AB y ΓΔ que sean equimultiplos de cualquiera de las magnitudes E o Z iguales en número.
Euclides dice que cuantas veces sea AB múltiplo de E, tantas veces lo será AB y ΓΔ de E y Z.
Esto se debe a que AB es equimultiplo de E y ΓΔ de Z, por lo que hay muchas magnitudes iguales a E en AB y lo mismo pasa en el caso de ΓΔ con Z.
Luego dividase AB en AH y HB iguales a E, y lo mismo hágase con ΓΔ dividiéndose como ΓΘ y ΘΔ iguales a Z.
De este modo, las magnitudes AH y HB serán iguales a las magnitudes ΓΘ y ΘΔ. Ahora, como AH es igual a E y ΓΔ a Z, entonces AH y ΓΔ son iguales a E y Z.
De la misma forma, HB es igual a E, por lo que HB y ΘΔ es igual a E y Z. Por lo tanto, cuantas magnitudes haya en AB iguales a E, tantas habrán en AB y ΓΔ iguales a E y Z. Todas las veces que AB sea múltiplo de E, tantas veces lo serán AB y ΓΔ de E y Z.
Proposición 2:
Si una primera magnitud es el mismo múltiplo de una segunda que una tercera de una cuarta, y una quinta es también el mismo múltiplo de la segunda que una sexta de la cuarta, la suma de la primera y la quinta será el mismo múltiplo de la segunda que la suma de la tercera y la sexta de la cuarta
Tengamos una primera magnitud AB que tendrá el mismo múltiplo de Γ, y ΔΘ el mismo múltiplo de Z. La tercera ΔE de la cuarta Z, y la quinta BH el múltiplo de la segunda Γ y la sexta EΘ de la cuarta Z.
Euclides dice que la suma de la primera y la quinta, AH, es el múltiplo de la segunda, Γ, que la suma de la tercera y la sexta ΔΘ de la cuarta Z.
Esto es así a causa de que AB es el mismo múltiplo de Γ que ΔE de Z. Entonces las magnitudes que haya en AB son iguales a Γ y lo mismo pasa con ΔE y Z.
De la misma forma, en BH se encuentra magnitudes iguales a Γ y en EΘ iguales a Z. Finalmente, tenemos que la magnitud entera AH es múltiplo de Γ tantas veces como ΔΘ es múltiplo de Z.
Proposición 3:
Si una primera magnitud es el mismo múltiplo de una segunda que una tercera de una cuarta, y se toman equimultiplos de la primera y de la tercera, también por igualdad cada una de las dos magnitudes serán equimultiplos, respectivamente, una de la segunda, y la otra de la cuarta.
Tengamos la primera magnitud como A, que a su vez contenga los múltiplos de B. Luego, que la tercera magnitud Γ contiene a Δ. Finalmente, tómese los equimúltiplos EZ y HΘ de A y Γ.
Euclides dice que EZ es el mismo múltiplo de B que HΘ de Δ.
Dado que EZ es múltiplo de A y por tanto, tantas magnitudes hay en EZ iguales a A, como en HΘ hay iguales a Γ.
Ahora dividamos EZ en las magnitudes EK y KZ iguale a A, mientras que HΘ tiene sus dos magnitudes (HΛ y ΛΘ) iguales a Γ.
Puesto que A es el mismo múltiplo de B que Γ de Δ, mientras que EK es igual a A y HΛ igual a Γ, entonces EK es el mismo múltiplo de B que HΛ de Δ.
Por lo mismo, KZ es el múltiplo de B que ΛΘ de Δ. Así pues, dado que EK es el múltiplo de la segunda, B, que la tercera, HΛ, de la cuarta, Δ, y la quinta, KZ, también es el mismo múltiplo de la segunda, B, que la sexta ΛΘ, de la cuarta Δ; entonces la suma de la primera y la quinta, EZ, es también el mismo múltiplo de la segunda, B, que la suma de la tercera y la sexta, HΘ, de la cuarta Δ.
Las magnitudes Δ y M juntas son iguales a N porque M es el triple de Δ, mientras que M y Δ juntas son el cuádruple de Δ; y por tanto M y Δ son iguales a N.
Sin embargo, ZΘ es mayor que M y Δ, luego ZΘ excede a N mientras que K no excede a N. Así, ZΘ y K son equimúltiplos de AB y Γ, mientras que N es otro múltiplo tomado al azar de Δ, por consiguiente, AB guarda una razón mayor con Δ que Γ con Δ.
Euclides dice además que Δ guarda una relación mayor con Γ que Δ con AB.
Sea AE mayor que EB.
Dado que EZ es múltiplo de A y por tanto, tantas magnitudes hay en EZ iguales a A, como en HΘ hay iguales a Γ.
Ahora dividamos EZ en las magnitudes EK y KZ iguale a A, mientras que HΘ tiene sus dos magnitudes (HΛ y ΛΘ) iguales a Γ.
Puesto que A es el mismo múltiplo de B que Γ de Δ, mientras que EK es igual a A y HΛ igual a Γ, entonces EK es el mismo múltiplo de B que HΛ de Δ.
Por lo mismo, KZ es el múltiplo de B que ΛΘ de Δ. Así pues, dado que EK es el múltiplo de la segunda, B, que la tercera, HΛ, de la cuarta, Δ, y la quinta, KZ, también es el mismo múltiplo de la segunda, B, que la sexta ΛΘ, de la cuarta Δ; entonces la suma de la primera y la quinta, EZ, es también el mismo múltiplo de la segunda, B, que la suma de la tercera y la sexta, HΘ, de la cuarta Δ.
De esta forma, las magnitudes tomadas serán equimúltiplos, respectivamente, una de la segunda y la otra de la cuarta.
Proposición 4:
Si una primera magnitud guarda la misma razón con una segunda que una tercera con una cuarta, cualesquiera equimúltiplos de la primera y la tercera guardarán la misma razón con cualesquiera equimúltiplos de la segunda y la cuarta respectivamente, tomados en el orden correspondiente
Tengamos la primera magnitud A, la misma razón con la segunda B, que la tercera Γ, con la cuarta Δ, y tomense los equimúltiplos E y Z de A y Γ, y otros equimúltiplos al azar H y Θ de B y Δ.
Euclides dice que E es a H, así Z es a Θ
Tómense los equimúltiplos K y Λ de E y Z, y otros equimúltiplos tomados al azar M y N de H y Θ.
Dado que E es múltiplo de A que Z de Γ, y se han tomado los equimúltiplos K y Λ de E y Z, entonces K es el mismo múltiplo de A que Λ de Γ.
Por lo tanto, M es el múltiplo de B que N de Δ. Como A es a B como Γ es a Δ, y se han tomado los equimúltiplos K y Λ de A y Γ y otros equimúltiplos tomados al azar M y N de B y Δ, entonces, si K excede a M y Λ también excede a N, y si es igual, es igual, y si es menor, menor.
Ahora, como K y Λ son equimúltplos de E, Z y M, N otros equimúltiplos al azar de H y Θ; por tanto, E es a H, tanto como Z es a Θ.
Euclides dice que E es a H, así Z es a Θ
Tómense los equimúltiplos K y Λ de E y Z, y otros equimúltiplos tomados al azar M y N de H y Θ.
Dado que E es múltiplo de A que Z de Γ, y se han tomado los equimúltiplos K y Λ de E y Z, entonces K es el mismo múltiplo de A que Λ de Γ.
Por lo tanto, M es el múltiplo de B que N de Δ. Como A es a B como Γ es a Δ, y se han tomado los equimúltiplos K y Λ de A y Γ y otros equimúltiplos tomados al azar M y N de B y Δ, entonces, si K excede a M y Λ también excede a N, y si es igual, es igual, y si es menor, menor.
Ahora, como K y Λ son equimúltplos de E, Z y M, N otros equimúltiplos al azar de H y Θ; por tanto, E es a H, tanto como Z es a Θ.
Proposición 5:
Si una magnitud es el mismo múltiplo de otra que una magnitud quitada a la primera lo es de otra quitada a la segunda, la magnitud restante de la primera será también el mismo múltiplo de la magnitud restante de la segunda que la magnitud entera de la magnitud entera.
Tengamos una magnitud AB que tenga el mismo múltiplo de la magnitud ΓΔ que la magnitud quitada AE de la magnitud quitada ΓZ.
Euclides dice que la magnitud EB será también el mismo múltiplo de la magnitud restante ZΔ que la magnitud entera AB de la magnitud ΓΔ.
Dado que AE es el múltiplo de ΓZ que EB que HΓ, entonces AE es el mismo múltiplo de ΓZ que AB de HZ.
Sin embargo, se ha asumido que AE sea múltiplo de ΓZ que AB de ΓΔ. Por lo tanto, AB es el mismo múltiplo de cada una de las dos magnitudes HZ y ΓΔ. Luego HZ es igual a ΓΔ.
Quítese de ambas (HZ y ΓΔ) ΓZ entonces la restante HΓ es igual a la restante ZΔ, y puesto que AE es el mismo múltiplo de ΓZ que EB de HΓ y también es igual a ΓZ.
Entonces AE sería el múltiplo de ΓZ que AB de ΓΔ, por tanto, EB es el mismo múltiplo de ZΔ que AB de ΓΔ. Luego, la magnitud quitada EB será el mismo múltiplo de ZΔ que la magnitud entera AB de la magnitud entera ΓΔ.
Proposición 6:
Si dos magnitudes son equimúltiplos de dos magnitudes y ciertas magnitudes quitadas de ellas son equimúltiplos de estas dos segundas, las restantes también son o iguales a las mismas o equimúltiplos de ellas.
Tengamos la magnitud AB y ΓΔ equimúltiplos de dos magnitudes E y Z, y sean las magnitudes quitadas AH y ΓΘ equimúltiplos de las mismas E y Z.
Euclides dice que las magnitudes restantes HB y ΘΔ son también iguales a E y Z o equimúltiplos de ellas.
Para entender esto, digamos que ΓK es igual a Z. Luego, dado que AH es el múltiplo de E que ΓΘ de Z, y que HB es igual a E y ΓK a Z, entonces AB es el mismo múltiplo de E que KΘ de Z.
Sin embargo, se ha supuesto que AB es el múltiplo de E que ΓΔ de Z; por lo tanto, KΘ es el mismo múltiplo de Z que ΓΔ de Z.
De esta forma, dado que cada una de las magnitudes KΘ y ΓΔ es el mismo múltiplo de Z, entonces KΘ es igual a ΓΔ.
Quítese de ambas ΓΘ, entonces las magnitudes restantes KΓ es igual a la magnitud restante ΘΔ. Aunque Z es igual a KΓ, entonces ΘΔ es también igual a Z.
De la misma manera, se demostraría que si HB es equimúltiplo de E, también ΘΔ será igual a Z.
Proposición 7:
Las magnitudes iguales guardan la misma razón con una misma magnitud y la misma magnitud guarda la misma razón con las magnitudes iguales.
Tengamos las magnitudes A y B que serán iguales, mientras que Γ será una magnitud tomada al azar.
Euclides dice que las magnitudes A y B guardan la misma razón con Γ y Γ con cada una de las magnitudes A y B.
Para demostrar esto tómense las magnitudes Δ y E de A y B y otro equimúltiplo al azar Z de Γ.
Dado que Δ es el mismo múltiplo de A que E de B, y A es igual a B, y así, E es igual a Δ.
La magnitud Z es tomada al azar, entonces, si Δ excede a Z, E también excede a Z, y si es igual es igual, y si es menor, menor.
Por otro lado, Δ y E son equimultiplos de A y B, y Z otro equimúltiplo al azar de Γ. Entonces como A es a Γ, así B es a Γ.
Euclides dice que Γ también guarda la misma razón con cada una de las magnitudes A y B.
De la misma manera podríamos decir que Δ es igual a E y Z es otra magnitud tomada al azar. Entonces si Z excede a Δ, Z también excede a E, y si es igual, igual; y si es menor, menor.
Ahora bien, Z es múltiplo de Γ, mientras que Δ y E son otros equimútiplos tomados al azar de A y B, por tanto, Γ es a A tanto como Γ es a B.
Porisma:
Toda esta demostración deja en claro además que cualquier magnitud que sea proporcional a otra, esa otra también será proporcional en sentido inverso.
Proposición 8:
De magnitudes desiguales, la mayor guarda con una misma magnitud una razón mayor que a menor, y la misma guarda con la menor una razón mayor que con la menor.
Tengamos a A, B y Γ como magnitudes desiguales y sea mayor AB mientras que también tengamos una al azar que sea Δ.
Euclides dice que AB guarda con Δ una razón mayor que Γ con Δ, y Δ guarda con Γ una razón mayor que con AB.
Como AB es mayor que Γ, hágase BE igual a Γ, entonces la menor de las magnitudes AE y EB multiplicada será alguna vez mayor que Δ.
En primer lugar, tengamos que AE es menor que EB, y multipliquese AE y sea su múltiplo ZH que es mayor que Δ, y, cuantas veces ZH es el múltiplo AE, tantas veces lo sea también de HΘ de EB y K de Γ.
Luego tómese Λ como el doble de Δ y M como el triple de Δ y así sucesivamente hasta que el múltiplo tomado de Δ sea el primero mayor que K. Finalmente, tómese N como el cuádruplo de Δ, el primero mayor que K.
En la escala de las magnitudes, K sería el primero menor que N, pero no es menor que M. Dado que ZH es el mismo múltiplo de AE que HΘ de EB, entonces ZH es el mismo múltiplo de AE que ZΘ de AB.
Ahora, ZH es el múltiplo de AE que K de Γ, luego ZΘ es el múltiplo de AB que K de Γ. Por lo tanto, ZΘ y K son equimultiplos de AB y Γ.
Luego tenemos que HΘ es múltiplo de EB que K de Γ, y EB es igual a Γ, entonces HΘ es también igual a K, pero K no es menor que M, y por tanto, HΘ tampoco es menor que M. Sin embargo, ZH es mayor que Δ, así, la magnitud entera ZΘ es mayor que Δ y M juntas.
Si una magnitud es el mismo múltiplo de otra que una magnitud quitada a la primera lo es de otra quitada a la segunda, la magnitud restante de la primera será también el mismo múltiplo de la magnitud restante de la segunda que la magnitud entera de la magnitud entera.
Tengamos una magnitud AB que tenga el mismo múltiplo de la magnitud ΓΔ que la magnitud quitada AE de la magnitud quitada ΓZ.
Euclides dice que la magnitud EB será también el mismo múltiplo de la magnitud restante ZΔ que la magnitud entera AB de la magnitud ΓΔ.
Dado que AE es el múltiplo de ΓZ que EB que HΓ, entonces AE es el mismo múltiplo de ΓZ que AB de HZ.
Sin embargo, se ha asumido que AE sea múltiplo de ΓZ que AB de ΓΔ. Por lo tanto, AB es el mismo múltiplo de cada una de las dos magnitudes HZ y ΓΔ. Luego HZ es igual a ΓΔ.
Quítese de ambas (HZ y ΓΔ) ΓZ entonces la restante HΓ es igual a la restante ZΔ, y puesto que AE es el mismo múltiplo de ΓZ que EB de HΓ y también es igual a ΓZ.
Entonces AE sería el múltiplo de ΓZ que AB de ΓΔ, por tanto, EB es el mismo múltiplo de ZΔ que AB de ΓΔ. Luego, la magnitud quitada EB será el mismo múltiplo de ZΔ que la magnitud entera AB de la magnitud entera ΓΔ.
Proposición 6:
Si dos magnitudes son equimúltiplos de dos magnitudes y ciertas magnitudes quitadas de ellas son equimúltiplos de estas dos segundas, las restantes también son o iguales a las mismas o equimúltiplos de ellas.
Tengamos la magnitud AB y ΓΔ equimúltiplos de dos magnitudes E y Z, y sean las magnitudes quitadas AH y ΓΘ equimúltiplos de las mismas E y Z.
Euclides dice que las magnitudes restantes HB y ΘΔ son también iguales a E y Z o equimúltiplos de ellas.
Para entender esto, digamos que ΓK es igual a Z. Luego, dado que AH es el múltiplo de E que ΓΘ de Z, y que HB es igual a E y ΓK a Z, entonces AB es el mismo múltiplo de E que KΘ de Z.
Sin embargo, se ha supuesto que AB es el múltiplo de E que ΓΔ de Z; por lo tanto, KΘ es el mismo múltiplo de Z que ΓΔ de Z.
De esta forma, dado que cada una de las magnitudes KΘ y ΓΔ es el mismo múltiplo de Z, entonces KΘ es igual a ΓΔ.
Quítese de ambas ΓΘ, entonces las magnitudes restantes KΓ es igual a la magnitud restante ΘΔ. Aunque Z es igual a KΓ, entonces ΘΔ es también igual a Z.
De la misma manera, se demostraría que si HB es equimúltiplo de E, también ΘΔ será igual a Z.
Proposición 7:
Las magnitudes iguales guardan la misma razón con una misma magnitud y la misma magnitud guarda la misma razón con las magnitudes iguales.
Tengamos las magnitudes A y B que serán iguales, mientras que Γ será una magnitud tomada al azar.
Euclides dice que las magnitudes A y B guardan la misma razón con Γ y Γ con cada una de las magnitudes A y B.
Para demostrar esto tómense las magnitudes Δ y E de A y B y otro equimúltiplo al azar Z de Γ.
Dado que Δ es el mismo múltiplo de A que E de B, y A es igual a B, y así, E es igual a Δ.
La magnitud Z es tomada al azar, entonces, si Δ excede a Z, E también excede a Z, y si es igual es igual, y si es menor, menor.
Por otro lado, Δ y E son equimultiplos de A y B, y Z otro equimúltiplo al azar de Γ. Entonces como A es a Γ, así B es a Γ.
Euclides dice que Γ también guarda la misma razón con cada una de las magnitudes A y B.
De la misma manera podríamos decir que Δ es igual a E y Z es otra magnitud tomada al azar. Entonces si Z excede a Δ, Z también excede a E, y si es igual, igual; y si es menor, menor.
Ahora bien, Z es múltiplo de Γ, mientras que Δ y E son otros equimútiplos tomados al azar de A y B, por tanto, Γ es a A tanto como Γ es a B.
Porisma:
Toda esta demostración deja en claro además que cualquier magnitud que sea proporcional a otra, esa otra también será proporcional en sentido inverso.
Proposición 8:
De magnitudes desiguales, la mayor guarda con una misma magnitud una razón mayor que a menor, y la misma guarda con la menor una razón mayor que con la menor.
Tengamos a A, B y Γ como magnitudes desiguales y sea mayor AB mientras que también tengamos una al azar que sea Δ.
Euclides dice que AB guarda con Δ una razón mayor que Γ con Δ, y Δ guarda con Γ una razón mayor que con AB.
Como AB es mayor que Γ, hágase BE igual a Γ, entonces la menor de las magnitudes AE y EB multiplicada será alguna vez mayor que Δ.
En primer lugar, tengamos que AE es menor que EB, y multipliquese AE y sea su múltiplo ZH que es mayor que Δ, y, cuantas veces ZH es el múltiplo AE, tantas veces lo sea también de HΘ de EB y K de Γ.
Luego tómese Λ como el doble de Δ y M como el triple de Δ y así sucesivamente hasta que el múltiplo tomado de Δ sea el primero mayor que K. Finalmente, tómese N como el cuádruplo de Δ, el primero mayor que K.
En la escala de las magnitudes, K sería el primero menor que N, pero no es menor que M. Dado que ZH es el mismo múltiplo de AE que HΘ de EB, entonces ZH es el mismo múltiplo de AE que ZΘ de AB.
Ahora, ZH es el múltiplo de AE que K de Γ, luego ZΘ es el múltiplo de AB que K de Γ. Por lo tanto, ZΘ y K son equimultiplos de AB y Γ.
Luego tenemos que HΘ es múltiplo de EB que K de Γ, y EB es igual a Γ, entonces HΘ es también igual a K, pero K no es menor que M, y por tanto, HΘ tampoco es menor que M. Sin embargo, ZH es mayor que Δ, así, la magnitud entera ZΘ es mayor que Δ y M juntas.
Sin embargo, ZΘ es mayor que M y Δ, luego ZΘ excede a N mientras que K no excede a N. Así, ZΘ y K son equimúltiplos de AB y Γ, mientras que N es otro múltiplo tomado al azar de Δ, por consiguiente, AB guarda una razón mayor con Δ que Γ con Δ.
Euclides dice además que Δ guarda una relación mayor con Γ que Δ con AB.
Sea AE mayor que EB.
Si es así, entonces la menor EB, multiplicada, será alguna vez mayor que Δ. Sea HΘ múltiplo de EB, y mayor que Δ, y cuantas veces HΘ sea múltiplo de EB, tantas veces sea también ZH múltiplo de AE y K de Γ.
De manera semejante demostraríamos que ZΘ y K son equimúltiplos de AB y Γ. Tómese N como múltiplo de Δ y el primero mayor que Δ; entonces la magnitud entera ZΘ excede a Δ y M, en otras palabras, a N porque HΘ es mayor a Δ y ZH es mayor a M.
Sin embargo, K no excede a N, puesto que ZH que es mayor que HΘ, lo que quiere decir que K tampoco excede a N.
Sin embargo, K no excede a N, puesto que ZH que es mayor que HΘ, lo que quiere decir que K tampoco excede a N.
En conclusión, en las magnitudes desiguales, la mayor guarda una misma razón mayor que la menor; y la misma magnitud guarda una razón mayor con la menor que con la mayor.
Proposición 9:
Las magnitudes que guardan con una misma magnitud la misma razón son iguales entre sí; y aquellas con las que una misma magnitud guarda la misma razón, son iguales.
Tengamos dos magnitudes A y B, y que A sea mayor que B
Euclides dice que A es igual a B.
De no ser así, entonces A y B no guardaría razón con Γ y sin embargo si la tiene, luego A es igual a B. Del mismo modo Γ no guardaría relación con A ni B, lo cual no es así y por lo tanto, A es igual a B.
Proposición 10:
De las magnitudes que guardan razón con una misma magnitud, la que guarda una razón mayor, es mayor. Y aquella con la que la misma magnitud guarda una razón mayor, es menor.
Tengamos las magnitudes A, B y Γ y que la razón de A con Γ sean mayores que B con Γ.
Euclides dice que A es mayor que B.
De no ser así, entonces A es igual a B o es menor lo cual visiblemente no es posible. Si fueran iguales, entonces A y B guardarían la misma razón con Γ, lo cual tampoco es cierto. Si A fuera menor, entonces A no guardaría la misma razón con Γ porque sería menor que ésta última. Luego A no es igual a B.
Euclides dice que B es menor que A.
De no ser así, entonces B sería igual o sería mayor que A. Si fuera igual, entonces B guardaría la misma razón que A con Γ, lo cual no es posible. Si fuera mayor, entonces tendríamos que decir quela razón de Γ sería mayor que la de Γ con B, lo cual tampoco es posible. Así B es menor que A.
Proposición 11:
Las razones que son iguales a una misma razón son iguales también entre sí
Tengamos las siguientes rectas en orden:
Euclides dice que A es a B como Γ es a Δ y E es a Z.
Tomense otros equimúltiplos como HΘK de AΓE, y los equimútiplos ΛMN de BΔZ.
Si H excede a Λ, también Θ excede a M, y si es igual, igual, y si menor, menor.
Así, puesto que E es a Z como Γ es a Δ y se toman los equimútiplos ΘK de ΓE y otros equimútiplos tomados al azar MN de ΔZ. Entonces, si Θ excede a M también K excede a N, y si es igual es igual, y si es menor, es menor. Por lo tanto, si H excede a Λ, K excede también a N, y si es igual, es igual y si es menor, es menor.
En conclusión, H y K son múltiplos de A y E, Λ y N así como también de B y Z. Así A es a B como E a Z.
Proposición 12:
Si un número cualquiera de magnitudes fueren proporcionales, como sea una de las antecedentes a una de las consecuentes, así serán todas las antecedentes a las consecuentes
Tengamos que Γ es a Δ y E es a Z como A es a B; y tengamos como equimútiplos a H, Θ, K de A, Γ, E y por otro lado, Λ, M, N de B, Δ, Z.
Si H excede a Λ, entonces Θ excede a M como K excede a N, y si es igual, igual; y si es menor, menor.
Luego tenemos que tanto H , Θ, K son equimútiplos de A, Γ, E porque si alguna magnitud es equimultiplo de otras, entonces podrá serlo de las demás. Así, Λ y Λ, M, N son equimultiplos de B y B, Δ, Z.
Por lo tanto, si un número de magnitud es proporcional como una magnitud antecedente a una consecuente, entonces así mismo serán todas las antecedentes a las consecuentes.
Proposición 13:
Si una primera magnitud guarda con una segunda la misma razón que era una tercera con una cuarta, y la tercera guarda con la cuarta una razón mayor que una quinta con una sexta, la primera guardará también con la segunda una razón mayor que la quinta con la sexta
Tengamos una magnitud A que guardaría la misma razón con la magnitud B que a su vez guarda la misma razón con Γ, y que Γ guarde la misma razón con Δ. Luego que Γ y Δ guarde razón mayor con la magnitud E y Z.
Euclides dice que A guardará relación también con la segunda B, una razón mayor que la quinta E con la sexta Z.
Tomense y sean H y Θ equimúltiplos de Γ y E, y K y Λ ademas de otros equimúltiplos tomados al azar de Δ y Z de modo que H exceda a K pero Θ no exceda a Λ; y cuantas veces H sea múltiplo de Γ, tantas veces también lo sea de M y A. También debe considerarse cuantas veces sea múltiplo K de Δ, tantas veces sea N de B también.
Puesto que Γ es a Δ como A es a B y se han tomado los equimútiplos M y H de A y Γ y otros equimúltiplos tomados al azar como por ejemplo: N y K de A y B.
Entonces si M excede a N, también H excede a K, y si es igual, igual; y si es menor, menor. Sin embargo, si H excede a K, M excede a N, pero Θ no excede a Λ. Θ y M son equimúltiplos de A y E mientras que N y Λ son otros equimúltiplos, tomados al azar de B y Z.
Por lo tanto, si dos magnitudes guardan razón con otras dos magnitudes, y a su vez estas dos tienen razón mayor que una tercera, entonces la primera guardará una razón mayor que la tercera.
Proposición 14:
Si una primera magnitud guarda con una segunda la misma razón que una tercera con una cuarta y la primera es mayor que la tercera, la segunda también será mayor que la cuarta, y si es igual, será igual, y si menor, menor
Tengamos una magnitud A que guarde relación con la magnitud B, y que Γ guarde la misma relación con la magnitud Δ. También tengamos que A sea más grande que Γ.
Euclides dice que B también es mayor que Δ.
Como A es mayor que Γ, entonces A guarda mayor relación con B que Γ con B. Sin embargo, como dijimos que A guarda relación con B y Γ con Δ, y por esto Γ guarda mayor relación con Δ que con B.
Ahora como B guarda una razón menor con A que es más grande, Δ sería menor que B y al mismo tiempo, B es mayor que Δ. Así, si A fuera igual que Γ, entonces B sería igual a Δ, y si es menor, menor.
Por lo tanto, si una primera magnitud guarda la misma razón con una segunda y la primera es mayor que la tercera, entonces la segunda será mayor que la cuarta, y si es menor, menor; y si es igual, igual.
Proposición 15:
Las partes guardan la misma razón entre sí que sus mismos múltiplos tomados en el orden correspondiente
Tengamos una magnitud AB que tenga el mismo múltiplo de la magnitud Γ, mientras que una magnitud ΔE tenga el mismo múltiplo de Δ.
Euclides dice que Γ es a Z, como AB es a ΔE.
Cuantas magnitudes Γ estén en AB, otras tantas Z habrán en ΔE.
Dividamos la magnitud AB en las siguientes magnitudes:
AH
HΘ
ΘB
Y luego dividamos la magnitud ΔE en las siguientes magnitudes:
ΔK
KΛ
ΛE
Todas estas magnitudes que se dividen tanto en AB como en ΔE se complementan entre si.
AH - ΔK
HΘ - KΛ
ΘB - ΛE
De este modo, si AH es a ΔK, entonces podríamos decir que AB es a ΔE.
Por lo tanto, las partes guardan la misma razón entre sí que sus mismos múltiplos tomados en la forma correspondiente.
Proposición 11:
Las razones que son iguales a una misma razón son iguales también entre sí
Tengamos las siguientes rectas en orden:
Tomense otros equimúltiplos como HΘK de AΓE, y los equimútiplos ΛMN de BΔZ.
Si H excede a Λ, también Θ excede a M, y si es igual, igual, y si menor, menor.
Así, puesto que E es a Z como Γ es a Δ y se toman los equimútiplos ΘK de ΓE y otros equimútiplos tomados al azar MN de ΔZ. Entonces, si Θ excede a M también K excede a N, y si es igual es igual, y si es menor, es menor. Por lo tanto, si H excede a Λ, K excede también a N, y si es igual, es igual y si es menor, es menor.
En conclusión, H y K son múltiplos de A y E, Λ y N así como también de B y Z. Así A es a B como E a Z.
Proposición 12:
Si un número cualquiera de magnitudes fueren proporcionales, como sea una de las antecedentes a una de las consecuentes, así serán todas las antecedentes a las consecuentes
Tengamos que Γ es a Δ y E es a Z como A es a B; y tengamos como equimútiplos a H, Θ, K de A, Γ, E y por otro lado, Λ, M, N de B, Δ, Z.
Si H excede a Λ, entonces Θ excede a M como K excede a N, y si es igual, igual; y si es menor, menor.
Luego tenemos que tanto H , Θ, K son equimútiplos de A, Γ, E porque si alguna magnitud es equimultiplo de otras, entonces podrá serlo de las demás. Así, Λ y Λ, M, N son equimultiplos de B y B, Δ, Z.
Por lo tanto, si un número de magnitud es proporcional como una magnitud antecedente a una consecuente, entonces así mismo serán todas las antecedentes a las consecuentes.
Proposición 13:
Si una primera magnitud guarda con una segunda la misma razón que era una tercera con una cuarta, y la tercera guarda con la cuarta una razón mayor que una quinta con una sexta, la primera guardará también con la segunda una razón mayor que la quinta con la sexta
Tengamos una magnitud A que guardaría la misma razón con la magnitud B que a su vez guarda la misma razón con Γ, y que Γ guarde la misma razón con Δ. Luego que Γ y Δ guarde razón mayor con la magnitud E y Z.
Euclides dice que A guardará relación también con la segunda B, una razón mayor que la quinta E con la sexta Z.
Tomense y sean H y Θ equimúltiplos de Γ y E, y K y Λ ademas de otros equimúltiplos tomados al azar de Δ y Z de modo que H exceda a K pero Θ no exceda a Λ; y cuantas veces H sea múltiplo de Γ, tantas veces también lo sea de M y A. También debe considerarse cuantas veces sea múltiplo K de Δ, tantas veces sea N de B también.
Puesto que Γ es a Δ como A es a B y se han tomado los equimútiplos M y H de A y Γ y otros equimúltiplos tomados al azar como por ejemplo: N y K de A y B.
Entonces si M excede a N, también H excede a K, y si es igual, igual; y si es menor, menor. Sin embargo, si H excede a K, M excede a N, pero Θ no excede a Λ. Θ y M son equimúltiplos de A y E mientras que N y Λ son otros equimúltiplos, tomados al azar de B y Z.
Por lo tanto, si dos magnitudes guardan razón con otras dos magnitudes, y a su vez estas dos tienen razón mayor que una tercera, entonces la primera guardará una razón mayor que la tercera.
Proposición 14:
Si una primera magnitud guarda con una segunda la misma razón que una tercera con una cuarta y la primera es mayor que la tercera, la segunda también será mayor que la cuarta, y si es igual, será igual, y si menor, menor
Tengamos una magnitud A que guarde relación con la magnitud B, y que Γ guarde la misma relación con la magnitud Δ. También tengamos que A sea más grande que Γ.
Euclides dice que B también es mayor que Δ.
Como A es mayor que Γ, entonces A guarda mayor relación con B que Γ con B. Sin embargo, como dijimos que A guarda relación con B y Γ con Δ, y por esto Γ guarda mayor relación con Δ que con B.
Ahora como B guarda una razón menor con A que es más grande, Δ sería menor que B y al mismo tiempo, B es mayor que Δ. Así, si A fuera igual que Γ, entonces B sería igual a Δ, y si es menor, menor.
Por lo tanto, si una primera magnitud guarda la misma razón con una segunda y la primera es mayor que la tercera, entonces la segunda será mayor que la cuarta, y si es menor, menor; y si es igual, igual.
Proposición 15:
Las partes guardan la misma razón entre sí que sus mismos múltiplos tomados en el orden correspondiente
Tengamos una magnitud AB que tenga el mismo múltiplo de la magnitud Γ, mientras que una magnitud ΔE tenga el mismo múltiplo de Δ.
Euclides dice que Γ es a Z, como AB es a ΔE.
Cuantas magnitudes Γ estén en AB, otras tantas Z habrán en ΔE.
Dividamos la magnitud AB en las siguientes magnitudes:
AH
HΘ
ΘB
Y luego dividamos la magnitud ΔE en las siguientes magnitudes:
ΔK
KΛ
ΛE
Todas estas magnitudes que se dividen tanto en AB como en ΔE se complementan entre si.
AH - ΔK
HΘ - KΛ
ΘB - ΛE
De este modo, si AH es a ΔK, entonces podríamos decir que AB es a ΔE.
Por lo tanto, las partes guardan la misma razón entre sí que sus mismos múltiplos tomados en la forma correspondiente.
Proposición 16:
Si cuatro magnitudes son proporcionales, también por alternancia serán proporcionales
Tengamos a A, B, Γ, Δ como cuatro magnitudes proporcionales, así como A es a B y Γ es a Δ.
Euclides dice que también serán proporcionales por alternancia, es decir, A es a Γ como B es a Δ.
Para eso, tomemos los equimúltiplos E y Z de A y B, mientras que de H y Θ equimúltiplos de Γ y Δ. De este modo, E es a Z como H es a Θ.
Ahora, si tenemos que las cuatro magnitudes son proporcionales y la primera es mayor que la tercera, la segunda será mayor que la cuarta, y si es igual, igual; y si es menor, menor.
Así, si E excede a H, entonces también Z excede a Θ; y si es igual, igual; y si es menor, menor. Ahora bien, E y Z son equimultiplos de A y B, mientras que H y Θ equimúltiplos de Γ y Δ. Finalmente, como A es a Γ, así B a Δ.
Proposición 17:
Si unas magnitudes son proporcionales por composición, también por separadas serán proporcionales
Tengamos a AB, BE, ΓΔ, ΔZ como magnitudes proporcionales por composición de modo que AB es a BE, tanto como ΓΔ es a ΔZ.
Euclides dice que también por separación serán proporcionales, de modo que, como AB sea BE, así ΓZ será ΔZ.
Tenemos que HΘ es el múltiplo de AE y ΘK es el múltiplo de EB; por lo que podemos decir que HK es equimúltiplo de AB.
Lo mismo pasará con ΛM que es el equimúltplo de ΓZ; MN que sería el equimútiplo de ZΔ; para que finalmente se diga que ΛN es equimúltiplo de ΓΔ.
De esta forma, tenemos que HK y ΛN son equimútiplos de AB y ΓΔ. Como ΘK es a su vez múltiplo de EB que MN de ZΔ, y KΞ es también el mismo múltiplo de EB que NΠ de ZΔ, la suma ΘΞ es también el mismo múltiplo de EB que MΠ de ZΔ.
Entonces, si HK excede a ΘΞ, ΛN excede también a MΠ; y si es igual, igual; y si es menor, menor. Exceda HK a ΘΞ; entonces, si se quita la magnitud común ΘK, también HΘ excede a KΞ.
Pero si HK excede a ΘΞ, ΛN excede también a MΠ, y si se quita la magnitud MN, ΛM también excede a NΠ, de modo que, si HΘ excede a KΞ, ΛM excede también a NΠ.
De la misma forma, si HΘ es igual a KΞ, ΛM será igual a NΠ; y si es menor, será menor. Ahora, HΘ y ΛM son equimúltiplos de AE y ΓZ, pero KΞ y NΠ son otros equimúltiplos tomados al azar de EB y ZΔ; por lo tanto, como AE es a EB, así ΓZ a ZΔ.
Proposición 18:
Si unas magnitudes son proporcionales por separación, también por composición será proporcionales
Tengamos AE, EB, ΓZ, ZΔ como magnitudes proporcionales por separación, de modo que AE es a EB como ΓZ es a ZΔ.
Euclides dice que por composición será proporcionales de modo que AB es a BE, así como ΓΔ será a ΔZ.
Porque, si ΓΔ no es a ΔZ como AB es a BE, entonces como AB es a BE, así ΓΔ será una magnitud menor que ΔZ o una mayor.
Supongamos en primer lugar que ΔH sa menor que ΔZ.
Si AE es a EB entonces, ΓΔ es a ΔH. Luego como ΓH es a HΔ así ΓZ a ZΔ.
Sin embargo, como ΓH es mayor que la tercera ΓZ; entonces la segunda HΔ es mayor que la cuarta ZΔ, pero también es menor lo que es imposible.
Por lo tanto, ΓΔ no es a una magnitud menor que ZΔ, como AB es a EB. De la misma forma, también se demuestra que no es proporcional a una mayor, sino que más bien es proporcional a ZΔ.
Proposición 19:
Si como un todo es a otro todo, así es una parte quitada de uno a una parte quitada de otro, la parte restante será también a la parte restante como el todo es al todo
Tengamos como el todo a AB que es al todo ΓΔ, para que luego la parte quitada AE tenga la misma razón con ΓZ.
Euclides dice que la parte restante EB será también a la parte restante ZΔ como el todo AB es al todo ΓΔ.
Como BA es a AE, así ΔΓ es a ΓZ, y puesto que son magnitudes proporcionales por composición, también serán proporcionales por separación.
Así, como BE es a EA, así ΔZ es a ΓZ, y por alternancia, como BE es a ΔZ, así EA es a ZΓ.
Sin embargo, como AE es a ΓZ, de la misma manera se ha supuesto que el todo AB es al todo ΓΔ. Luego, la parte restante EB será a la parte restante ZΔ como el todo AB es al todo ΓΔ.
Por lo tanto, como un todo es a otro todo, una parte quitada del todo será a otra parte quitada del otro todo.
Proposición 20:
Si hay tres magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, y si, por igualdad, la primera es mayor que la tercera, también la cuarta será mayor que la sexta; y si es igual, igual; y si es menor, menor.
Tengamos A, B y Γ como tres magnitudes y otras tres magnitudes que sean Δ, E y Z. Estas magnitudes tendrán la misma razón de dos en dos, lo que quiere decir que A es a B como Δ es a E; mientras que B es a Γ tanto como E es a Z.
Euclides dice que Δ será mayor que Z, y si es igual, igual; y si es menor, menor.
Dado que A es mayor que Γ y B es otra magnitud cualquiera, la mayor guarda con una misma magnitud una razón mayor que la menor. De este modo, A guarda una razón mayor con B, que Γ con B.
Sin embargo, como A es a B, así Δ es a E, y por inversión, como Γ es a B, así Z es a E. Ahora Δ también guarda una razón mayor con E que Z con E.
Así, Δ es mayor que Z lo que significa que si A es igual a Γ, también Δ será igual a Z, y si es menor, menor.
Proposición 21:
Si hay tres magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón y su proporción es perturbada, y si, por igualdad, la primera es mayor que la tercera, también al cuarta será mayor que la sexta; y si es igual, igual; y si es menor, menor.
Tengamos A, B y Γ como tres magnitudes y otras tres magnitudes que sean Δ, Z y E. Estas magnitudes tendrán la misma razón de dos en dos, y sea su proporción perturbada, lo que quiere decir que A es a B como Δ es a E; mientras que B es a Γ tanto como Δ es a E, y por igualdad A sea mayor que Γ.
Euclides dice que Δ será mayor que Z, y si es igual, igual; y si es menor, menor.
En este sentido, A guarda mayor relación con B que Γ con B, pero como A es a B, así E a Z, y por inversión, como Γ es a B, así E es a Δ.
Por lo tanto, E guarda una razón mayor con Z que E con Δ. Sin embargo, de acuerdo con la proposición 10, una misma magnitud guarda razón otras dos magnitudes.
Luego, Z es menor que Δ, por tanto Δ es mayor que Z; de la misma manera, si A es igual a Γ, Δ será igual a Z; y si es menor, menor.
Proporción 22:
Si hay un número cualquiera de magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, por igualdad guardarán también la misma razón.
Tengamos a A, B y Γ como un número cualquiera de magnitudes y Δ, E y Z otras magnitudes iguales que, tomadas de dos en dos, guarden la misma razón, es decir, como A es a B, así E es a Z, y como B es a Γ, así E es a Z.
Euclides dice que por igualdad guardarán también la misma razón, es decir, A es a B como Δ es a Z.
Tomense entonces los equimultiplos H y Θ de A y Δ, y otros equimultiplos tomados al azar: K y Λ de B y E, y además otros equimultiplos al azar M y N de Γ y Z.
Como A es a B, así Δ es a E, y se han tomado los equimultiplos H y Θ de A y Δ, y otros equimultiplos tomados al azar K y Λ de B y E.
Entonces como H es a K, así Θ es a Λ; por lo tanto, como K es a M, así Λ es a N. Así, como H, K y M son tres magnitudes y Θ, Λ y N otras magnitudes iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón por igualdad.
Si H excede a M y Θ, entonces también excede a N; y si es igual, igual; y si es menor, menor. Ahora bien, H y Θ son equimultiplos de A, Δ y M, N otros equimultiplos tomados al azar de Γ y Z.
Entonces como A es a Γ, así Δ es a Z.
Euclides dice que A es a Γ, como Δ es a Z.
Tómense los equimultiplos H, Θ y K de A, B, Δ y otros equimultiplos tomados al azar como Λ, M, y N de Γ, E y Z.
Dado que H y Θ son equimúltiplos de A y B, las partes guardan la misma razón que sus mismos múltiplos, entonces como A es a B, así H es a Θ.
Por lo mismo., como E es a Z, de la misma forma M es a N. Ahora como A es a B, así E a Z, y así H es a Θ, como M a N. Luego como B es a Δ, así Γ es a E.
Puesto que Θ y K son equimultiplos de B y Δ, y las partes guardan la misma razón que sus equimultiplos, entonces como B es a Δ, así lo es Θ a K.
Como B es a Δ, así Γ es a E; luego también como Θ es a K también Γ es a E. Al mismo tiempo, Λ y M son equimultiplos de Γ y E, entonces, como Γ es a E, así lo es Θ a K, lo que quiere decir también que Θ a K es igual que Λ a M; y por alternancia, como Θ es a Λ, así K es a M. Pero se demostró que H es a Θ como M a N.
Como conclusión, dado que H, Θ y Λ son tres magnitudes y K, M y N otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, y su proporción es perturbada, entonces, por igualdad, si H excede a Λ, K también excede a N; y si es igual, igual; y si es menor, menor. Pero H y K son equimultiplos de A y Δ y Λ y N de Γ y Z. Por tanto, como A es a Γ, así Δ es a Z.
Proposición 24:
Si una primera magnitud guarda con una segunda la misma razón que una tercera con una cuarta, y una quinta guarda con la segunda la misma razón que la sexta con la cuarta, la primera y la quinta, tomadas juntas, guardarán también la misma razón con la segunda que la tercera y la sexta con la cuarta.
Tengamos una magnitud AB con una segunda magnitud Γ que guarde la misma razón que una tercera magnitud ΔE con una cuarta magnitud Z. Luego, guarde una magnitud BH con la segunda Γ, la misma razón que la sexta EΘ con la cuarta Z.
Euclides dice que tomadas juntas la primera y la quinta, AH guardará la misma razón con con la segunda Γ, que la tercera y la sexta ΔΘ con la cuarta Z.
Como BH es a Γ como EΘ es a Z, entonces, por inversión, como Γ es a BH, así Z es a EΘ. Puesto que AB es a Γ como ΔE es a Z, y, como Γ es a BH, así Z es a EΘ, entonces por igualdad, como AB es a BH, así ΔE es a EΘ.
Puesto que la proposición 10 nos dice que las magnitudes son proporcionales por separación, también serán proporcionales por composición.
De ser así, AH es a HB, así ΔΘ es a ΘE. Pero como BH es a Γ, así EΘ es a Z, y, por igualdad, como AH es a Γ, así ΔΘ esa Z.
Proposición 25:
Si cuatro magnitudes son proporcionales, la mayor y la menor juntas son mayores que las dos restantes.
Tengamos cuatro magnitudes proporcionales que sean AB, ΓΔ, E y Z, es decir, como AB es a ΓΔ, así E es a Z, y sea la mayor e ellas AB y la menor Z.
Euclides dice que AB y Z son mayores que ΓΔ y E.
Para probarlo, hagamos a AH igual a E y ΓΘ igual a Z.
Como AB es a ΓΔ, así E es a Z, y E es igual a AH, mientras que Z es igual a ΓΘ, entonces como AB es a ΓΔ, así AH es a ΓΘ.
Ya que el todo AB es al todo ΓΔ como la parte quitada AH es a la parte quitada ΓΘ, entonces la parte restante HB será a la parte restante ΘΔ como el todo AB es al todo ΓΔ.
Pero AB es mayor que ΓΔ, luego HB también será mayor que ΘΔ, y siendo menor que HB. AH es igual a E y ΓΘ es igual a Z y luego se añaden AH, Z a HB y se añaden ΓΘ, E a ΘΔ, se sigue que AB y Z son mayores que ΓΔ y E.
Este apunte ha sido logrado gracias a Leila Reyes, quien corrigió y sugirió las modificaciones necesarias en este apunte.
Si cuatro magnitudes son proporcionales, también por alternancia serán proporcionales
Tengamos a A, B, Γ, Δ como cuatro magnitudes proporcionales, así como A es a B y Γ es a Δ.
Euclides dice que también serán proporcionales por alternancia, es decir, A es a Γ como B es a Δ.
Para eso, tomemos los equimúltiplos E y Z de A y B, mientras que de H y Θ equimúltiplos de Γ y Δ. De este modo, E es a Z como H es a Θ.
Ahora, si tenemos que las cuatro magnitudes son proporcionales y la primera es mayor que la tercera, la segunda será mayor que la cuarta, y si es igual, igual; y si es menor, menor.
Así, si E excede a H, entonces también Z excede a Θ; y si es igual, igual; y si es menor, menor. Ahora bien, E y Z son equimultiplos de A y B, mientras que H y Θ equimúltiplos de Γ y Δ. Finalmente, como A es a Γ, así B a Δ.
Proposición 17:
Si unas magnitudes son proporcionales por composición, también por separadas serán proporcionales
Tengamos a AB, BE, ΓΔ, ΔZ como magnitudes proporcionales por composición de modo que AB es a BE, tanto como ΓΔ es a ΔZ.
Euclides dice que también por separación serán proporcionales, de modo que, como AB sea BE, así ΓZ será ΔZ.
Tenemos que HΘ es el múltiplo de AE y ΘK es el múltiplo de EB; por lo que podemos decir que HK es equimúltiplo de AB.
Lo mismo pasará con ΛM que es el equimúltplo de ΓZ; MN que sería el equimútiplo de ZΔ; para que finalmente se diga que ΛN es equimúltiplo de ΓΔ.
De esta forma, tenemos que HK y ΛN son equimútiplos de AB y ΓΔ. Como ΘK es a su vez múltiplo de EB que MN de ZΔ, y KΞ es también el mismo múltiplo de EB que NΠ de ZΔ, la suma ΘΞ es también el mismo múltiplo de EB que MΠ de ZΔ.
Entonces, si HK excede a ΘΞ, ΛN excede también a MΠ; y si es igual, igual; y si es menor, menor. Exceda HK a ΘΞ; entonces, si se quita la magnitud común ΘK, también HΘ excede a KΞ.
Pero si HK excede a ΘΞ, ΛN excede también a MΠ, y si se quita la magnitud MN, ΛM también excede a NΠ, de modo que, si HΘ excede a KΞ, ΛM excede también a NΠ.
De la misma forma, si HΘ es igual a KΞ, ΛM será igual a NΠ; y si es menor, será menor. Ahora, HΘ y ΛM son equimúltiplos de AE y ΓZ, pero KΞ y NΠ son otros equimúltiplos tomados al azar de EB y ZΔ; por lo tanto, como AE es a EB, así ΓZ a ZΔ.
Proposición 18:
Si unas magnitudes son proporcionales por separación, también por composición será proporcionales
Tengamos AE, EB, ΓZ, ZΔ como magnitudes proporcionales por separación, de modo que AE es a EB como ΓZ es a ZΔ.
Euclides dice que por composición será proporcionales de modo que AB es a BE, así como ΓΔ será a ΔZ.
Porque, si ΓΔ no es a ΔZ como AB es a BE, entonces como AB es a BE, así ΓΔ será una magnitud menor que ΔZ o una mayor.
Supongamos en primer lugar que ΔH sa menor que ΔZ.
Si AE es a EB entonces, ΓΔ es a ΔH. Luego como ΓH es a HΔ así ΓZ a ZΔ.
Sin embargo, como ΓH es mayor que la tercera ΓZ; entonces la segunda HΔ es mayor que la cuarta ZΔ, pero también es menor lo que es imposible.
Por lo tanto, ΓΔ no es a una magnitud menor que ZΔ, como AB es a EB. De la misma forma, también se demuestra que no es proporcional a una mayor, sino que más bien es proporcional a ZΔ.
Proposición 19:
Si como un todo es a otro todo, así es una parte quitada de uno a una parte quitada de otro, la parte restante será también a la parte restante como el todo es al todo
Tengamos como el todo a AB que es al todo ΓΔ, para que luego la parte quitada AE tenga la misma razón con ΓZ.
Euclides dice que la parte restante EB será también a la parte restante ZΔ como el todo AB es al todo ΓΔ.
Como BA es a AE, así ΔΓ es a ΓZ, y puesto que son magnitudes proporcionales por composición, también serán proporcionales por separación.
Así, como BE es a EA, así ΔZ es a ΓZ, y por alternancia, como BE es a ΔZ, así EA es a ZΓ.
Sin embargo, como AE es a ΓZ, de la misma manera se ha supuesto que el todo AB es al todo ΓΔ. Luego, la parte restante EB será a la parte restante ZΔ como el todo AB es al todo ΓΔ.
Por lo tanto, como un todo es a otro todo, una parte quitada del todo será a otra parte quitada del otro todo.
Proposición 20:
Si hay tres magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, y si, por igualdad, la primera es mayor que la tercera, también la cuarta será mayor que la sexta; y si es igual, igual; y si es menor, menor.
Tengamos A, B y Γ como tres magnitudes y otras tres magnitudes que sean Δ, E y Z. Estas magnitudes tendrán la misma razón de dos en dos, lo que quiere decir que A es a B como Δ es a E; mientras que B es a Γ tanto como E es a Z.
Euclides dice que Δ será mayor que Z, y si es igual, igual; y si es menor, menor.
Dado que A es mayor que Γ y B es otra magnitud cualquiera, la mayor guarda con una misma magnitud una razón mayor que la menor. De este modo, A guarda una razón mayor con B, que Γ con B.
Sin embargo, como A es a B, así Δ es a E, y por inversión, como Γ es a B, así Z es a E. Ahora Δ también guarda una razón mayor con E que Z con E.
Así, Δ es mayor que Z lo que significa que si A es igual a Γ, también Δ será igual a Z, y si es menor, menor.
Proposición 21:
Si hay tres magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón y su proporción es perturbada, y si, por igualdad, la primera es mayor que la tercera, también al cuarta será mayor que la sexta; y si es igual, igual; y si es menor, menor.
Tengamos A, B y Γ como tres magnitudes y otras tres magnitudes que sean Δ, Z y E. Estas magnitudes tendrán la misma razón de dos en dos, y sea su proporción perturbada, lo que quiere decir que A es a B como Δ es a E; mientras que B es a Γ tanto como Δ es a E, y por igualdad A sea mayor que Γ.
En este sentido, A guarda mayor relación con B que Γ con B, pero como A es a B, así E a Z, y por inversión, como Γ es a B, así E es a Δ.
Por lo tanto, E guarda una razón mayor con Z que E con Δ. Sin embargo, de acuerdo con la proposición 10, una misma magnitud guarda razón otras dos magnitudes.
Luego, Z es menor que Δ, por tanto Δ es mayor que Z; de la misma manera, si A es igual a Γ, Δ será igual a Z; y si es menor, menor.
Proporción 22:
Si hay un número cualquiera de magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, por igualdad guardarán también la misma razón.
Tengamos a A, B y Γ como un número cualquiera de magnitudes y Δ, E y Z otras magnitudes iguales que, tomadas de dos en dos, guarden la misma razón, es decir, como A es a B, así E es a Z, y como B es a Γ, así E es a Z.
Euclides dice que por igualdad guardarán también la misma razón, es decir, A es a B como Δ es a Z.
Tomense entonces los equimultiplos H y Θ de A y Δ, y otros equimultiplos tomados al azar: K y Λ de B y E, y además otros equimultiplos al azar M y N de Γ y Z.
Como A es a B, así Δ es a E, y se han tomado los equimultiplos H y Θ de A y Δ, y otros equimultiplos tomados al azar K y Λ de B y E.
Entonces como H es a K, así Θ es a Λ; por lo tanto, como K es a M, así Λ es a N. Así, como H, K y M son tres magnitudes y Θ, Λ y N otras magnitudes iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón por igualdad.
Si H excede a M y Θ, entonces también excede a N; y si es igual, igual; y si es menor, menor. Ahora bien, H y Θ son equimultiplos de A, Δ y M, N otros equimultiplos tomados al azar de Γ y Z.
Entonces como A es a Γ, así Δ es a Z.
Proposición 23:
Si hay tres magnitudes y otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón y su proporción es perturbada, por igualdad también guardarán la misma razón.
Tengamos a A, B y Γ tres magnitudes y Δ, E y Z otras magnitudes iguales que, tomadas de dos en dos, guarden la misma razón, y sea su proporción perturbada, es decir, como A es a B, así E es a Z, y como B es a Γ, así Δ es a E.
Euclides dice que A es a Γ, como Δ es a Z.
Tómense los equimultiplos H, Θ y K de A, B, Δ y otros equimultiplos tomados al azar como Λ, M, y N de Γ, E y Z.
Dado que H y Θ son equimúltiplos de A y B, las partes guardan la misma razón que sus mismos múltiplos, entonces como A es a B, así H es a Θ.
Por lo mismo., como E es a Z, de la misma forma M es a N. Ahora como A es a B, así E a Z, y así H es a Θ, como M a N. Luego como B es a Δ, así Γ es a E.
Puesto que Θ y K son equimultiplos de B y Δ, y las partes guardan la misma razón que sus equimultiplos, entonces como B es a Δ, así lo es Θ a K.
Como B es a Δ, así Γ es a E; luego también como Θ es a K también Γ es a E. Al mismo tiempo, Λ y M son equimultiplos de Γ y E, entonces, como Γ es a E, así lo es Θ a K, lo que quiere decir también que Θ a K es igual que Λ a M; y por alternancia, como Θ es a Λ, así K es a M. Pero se demostró que H es a Θ como M a N.
Como conclusión, dado que H, Θ y Λ son tres magnitudes y K, M y N otras iguales a ellas en número que, tomadas de dos en dos, guardan la misma razón, y su proporción es perturbada, entonces, por igualdad, si H excede a Λ, K también excede a N; y si es igual, igual; y si es menor, menor. Pero H y K son equimultiplos de A y Δ y Λ y N de Γ y Z. Por tanto, como A es a Γ, así Δ es a Z.
Proposición 24:
Si una primera magnitud guarda con una segunda la misma razón que una tercera con una cuarta, y una quinta guarda con la segunda la misma razón que la sexta con la cuarta, la primera y la quinta, tomadas juntas, guardarán también la misma razón con la segunda que la tercera y la sexta con la cuarta.
Tengamos una magnitud AB con una segunda magnitud Γ que guarde la misma razón que una tercera magnitud ΔE con una cuarta magnitud Z. Luego, guarde una magnitud BH con la segunda Γ, la misma razón que la sexta EΘ con la cuarta Z.
Euclides dice que tomadas juntas la primera y la quinta, AH guardará la misma razón con con la segunda Γ, que la tercera y la sexta ΔΘ con la cuarta Z.
Como BH es a Γ como EΘ es a Z, entonces, por inversión, como Γ es a BH, así Z es a EΘ. Puesto que AB es a Γ como ΔE es a Z, y, como Γ es a BH, así Z es a EΘ, entonces por igualdad, como AB es a BH, así ΔE es a EΘ.
Puesto que la proposición 10 nos dice que las magnitudes son proporcionales por separación, también serán proporcionales por composición.
De ser así, AH es a HB, así ΔΘ es a ΘE. Pero como BH es a Γ, así EΘ es a Z, y, por igualdad, como AH es a Γ, así ΔΘ esa Z.
Proposición 25:
Si cuatro magnitudes son proporcionales, la mayor y la menor juntas son mayores que las dos restantes.
Tengamos cuatro magnitudes proporcionales que sean AB, ΓΔ, E y Z, es decir, como AB es a ΓΔ, así E es a Z, y sea la mayor e ellas AB y la menor Z.
Euclides dice que AB y Z son mayores que ΓΔ y E.
Para probarlo, hagamos a AH igual a E y ΓΘ igual a Z.
Como AB es a ΓΔ, así E es a Z, y E es igual a AH, mientras que Z es igual a ΓΘ, entonces como AB es a ΓΔ, así AH es a ΓΘ.
Ya que el todo AB es al todo ΓΔ como la parte quitada AH es a la parte quitada ΓΘ, entonces la parte restante HB será a la parte restante ΘΔ como el todo AB es al todo ΓΔ.
Pero AB es mayor que ΓΔ, luego HB también será mayor que ΘΔ, y siendo menor que HB. AH es igual a E y ΓΘ es igual a Z y luego se añaden AH, Z a HB y se añaden ΓΘ, E a ΘΔ, se sigue que AB y Z son mayores que ΓΔ y E.
Conclusión
Esta ya es una nueva sección entre las obras de Euclides, pues es primera vez que vemos razones y proporciones dentro de las magnitudes conmensurables e inconmensurables. La diferencia de esta parte de Los Elementos es considerable en comparación a los libros anteriores, que fueron mucho más geométricos que los vistos en esta parte. Por lo que podemos ver en los siguientes textos, Euclides vuelve a retomar la geometría de los libros precedentes, aunque de una manera más compleja.
Este apunte ha sido logrado gracias a Leila Reyes, quien corrigió y sugirió las modificaciones necesarias en este apunte.
