CONTRA ARITMÉTICOS
Todo está compuesto de números
Los aritméticos tenían una frase:
''Todas las cosas se ajustan al número''
Para los pitagóricos, los números constituían la estructura misma de la realidad: la armonía musical, los movimientos celestes y el orden del cosmos obedecían a principios matemáticos.
Sexto también menciona el juramento pitagórico referido a Pitágoras y a la tetractis.
“No, por aquel que transmitió a nuestra alma la tetractis, fuente y raíz de la naturaleza eterna.”
La tetractis era una figura sagrada formada por los cuatro primeros números: uno, dos, tres y cuatro; su suma produce diez. Los pitagóricos consideraban que el diez era el número perfecto porque parecía cerrar un ciclo y reiniciar la serie numérica. Además lo llamaban “la fuente o manantial que contiene las raíces de la naturaleza eterna”, pues creían que dentro de esta estructura se encontraba el principio organizador de todas las cosas.
Demostración pitagórica
Los pitagóricos intentaban demostrar que los números no eran simples instrumentos para contar, sino la estructura misma de la realidad física.
La unidad (1) aparece como el principio de todos los demás números. Así como en geometría el punto es el origen de las figuras, la unidad sería el origen del número. De la unidad surge la díada (2), y Sexto explica la analogía pitagórica: la unidad ocupa el lugar del punto y la díada el lugar de la línea. La idea es que cuando el pensamiento pasa de un punto a otro se produce una distancia, y esa distancia es longitud.
Luego aparece la tríada (3). Si a la longitud se le añade anchura, surge una superficie. El pensamiento ya no se mueve solo en una dirección, sino en otra adicional; por eso el tres comienza a representar una realidad más compleja.
Finalmente surge el cuaternario (4). Cuando a la longitud y la anchura se agrega una tercera dimensión, la profundidad, aparece el cuerpo sólido. Sexto menciona la pirámide como ejemplo porque posee las tres dimensiones fundamentales: largo, ancho y profundidad.
El esquema podría visualizarse así:
Por eso para los pitagóricos el cuatro tenía un valor especial: en él parecían encontrarse las dimensiones necesarias para construir el mundo físico. Y como 1+2+3+4=10, el diez se convertía nuevamente en el número perfecto y en la famosa tetractis.
El alma y la armonía
Para los pitagóricos el cosmos no era una máquina caótica; era una especie de composición musical gigantesca. Si el universo está gobernado por armonía, entonces el alma humana, como parte del universo, también debía obedecer relaciones matemáticas.
La explicación surge desde la música. Los pitagóricos habían observado que ciertos sonidos resultaban agradables y armónicos cuando sus proporciones numéricas eran simples. Sexto menciona tres intervalos fundamentales:
- Diapasón (octava): proporción 2:1
- Diapente (quinta): proporción 3:2
- Diatesarón (cuarta): proporción 4:3
Por ejemplo, una octava surge cuando una cuerda vibra al doble de otra; una quinta cuando existe la proporción tres a dos; y una cuarta con cuatro a tres. Los pitagóricos pensaban que esto revelaba una verdad extraordinaria: la belleza y la armonía podían expresarse matemáticamente.
Luego intentan trasladar estas relaciones al alma misma. Los cuatro primeros números —uno, dos, tres y cuatro— contienen estas proporciones armónicas:
- El 4 es doble del 2 → 2:1 → octava.
- El 3 contiene al 2 más su mitad → 3:2 → quinta.
- El 4 contiene al 3 más su tercera parte → 4:3 → cuarta.
De este modo, la tetractis deja de ser una simple suma. Se transforma en una especie de modelo del universo: contiene la geometría, la música, el alma y el orden cósmico. Por eso los pitagóricos la llamaban “manantial que contiene las raíces de la naturaleza eterna”.
Sexto introduce una idea cercana a Platón: el Uno no sería simplemente el número uno que usamos para contar, sino una realidad más fundamental, algo gracias a lo cual las cosas pueden ser llamadas “una”. Por ejemplo, una planta, un animal o una piedra son llamados “uno”, pero ninguno de ellos sería el Uno en sí mismo; participan del Uno sin ser idénticos a él. Del mismo modo, muchos objetos forman una multiplicidad, pero la multiplicidad tampoco sería idéntica a las cosas múltiples particulares.
Lo que Sexto está preparando es una dificultad enorme. Si el Uno existe separado de las cosas concretas, surge una pregunta: ¿dónde está ese Uno? Porque nunca vemos el Uno por sí mismo; solamente vemos animales, plantas, piedras y objetos particulares. Pero si el Uno existe únicamente en las cosas particulares, deja de ser un principio universal y se transforma simplemente en un atributo de los objetos.
Aquí aparece la maniobra escéptica típica: los filósofos crean una entidad abstracta —el Uno— para explicar por qué las cosas son una, pero esa explicación comienza a generar problemas mayores que aquello que pretendía resolver.
El Uno
Sexto ya no se limita a plantear dudas; intenta demostrar que la idea platónica de una Unidad absoluta se destruye cualquiera sea la forma en que se la entienda.
Primero retoma el dilema anterior: el Uno o existe separado de las cosas particulares o existe junto con ellas. La primera opción fracasa porque jamás encontramos un Uno aislado de los seres concretos; nunca vemos la Unidad pura flotando separadamente de las cosas. Solo encontramos individuos particulares: árboles, piedras, animales o personas.
La segunda posibilidad tampoco funciona. Si el Uno está presente en los seres particulares, deja de ser algo universal e independiente y se convierte simplemente en un atributo más de las cosas. Sexto usa nuevamente el ejemplo del tronco: si algo es uno porque participa de una Unidad universal, el mismo razonamiento debería aplicarse a todo objeto singular. Pero eso hace que la Unidad se disperse entre infinitos seres.
Luego introduce una analogía con la definición universal de hombre. Algunos filósofos definían al hombre como “animal racional mortal”. Sin embargo, ese “hombre universal” no es Sócrates ni Platón. Si fuera Sócrates, nadie más sería hombre; si fuera Platón, ocurriría lo mismo. Pero tampoco puede existir separado de todos los hombres particulares, porque jamás aparece por sí mismo.
La comparación es muy poderosa: así como el “hombre universal” parece ser una construcción abstracta y no una realidad existente, el Uno también parece convertirse en una abstracción sin existencia propia.
El golpe final llega en la última frase:
“Del mismo modo el Uno, al no poder ser concebido ni junto con los particulares numerables ni por sí mismo, sencillamente es inconcebible.”
Ese “sencillamente es inconcebible” es brutal. Sexto está diciendo: si el principio del número no puede siquiera pensarse coherentemente, entonces el edificio entero construido sobre él pierde fundamento.
Lo mismo que ocurrió con el Uno debe aplicarse al dos, al tres y a todos los números. Si el fundamento es inestable, también lo será todo lo que se construya sobre él. Luego plantea un nuevo problema: la idea del Uno puede ser una sola o muchas.
Si hay una sola idea del Uno, surgen dificultades. Esa idea puede ser indivisible o divisible. Si es indivisible, muchos seres no podrían participar de ella simultáneamente. Sexto propone un ejemplo: si el objeto A posee completamente la idea del Uno, el objeto B ya no podría poseerla, porque algo indivisible no puede estar íntegramente en varios lugares a la vez.
Pero tampoco puede ser divisible. Si el Uno se divide para que muchos participen de él, entonces cada objeto recibiría solamente una parte del Uno y no el Uno completo. Además, los propios pitagóricos consideraban a la Unidad como algo indivisible y sin partes. Así que ambas opciones fracasan.
Entonces queda una tercera posibilidad: que existan muchas ideas del Uno, una para cada cosa singular. Pero esto tampoco resuelve el problema. Si cada unidad posee su propia idea particular, habría que preguntar si todas esas unidades participan a su vez de una unidad superior común. Si participan, reaparece el mismo problema inicial; y si no participan, entonces las cosas podrían ser llamadas una sin necesidad de ninguna idea universal.
Después Sexto dirige el golpe hacia la díada (el dos). Los pitagóricos pensaban que el dos surgía de la unión de dos unidades. Sexto pregunta: ¿cómo ocurre exactamente esa unión?
Si colocamos una unidad junto a otra, solo hay tres posibilidades:
- o se añade algo,
- o se quita algo,
- o no ocurre ninguna de las dos cosas.
Si no se añade ni se quita nada, simplemente seguimos teniendo una unidad junto a otra unidad; nunca aparece una nueva realidad llamada díada.
Si se quita algo, ambas unidades disminuyen y dejan de ser lo que eran.
Y si se añade algo, surge un problema absurdo: habría dos unidades iniciales más aquello añadido y más la díada resultante, formando cuatro elementos en vez de dos.
El resultado es devastador:
“Por tanto la díada no será nada.”
Y Sexto remata diciendo que el mismo problema afecta a todos los demás números.
Adición y sustracción
Antes había intentado mostrar que la unidad y la díada eran problemáticas; ahora intenta destruir el propio mecanismo mediante el cual nacen los números: la adición y la sustracción. Si el número surge agregando o quitando unidades, y esas operaciones son imposibles, entonces el número entero desaparece.
Sexto comienza con la sustracción y utiliza el ejemplo de una década, es decir, el número diez. La pregunta parece simple: cuando quitamos una unidad al diez y obtenemos nueve, ¿de dónde exactamente se quitó esa unidad?
Según Sexto solo hay dos opciones:
- la unidad se sustrajo de la totalidad del diez;
- o se sustrajo del nueve que queda.
Primero examina la idea de sustraerla del diez entero. Si el diez no es algo distinto de las diez unidades particulares que lo componen, sino simplemente la reunión de esas unidades, entonces quitar una unidad del diez equivale a quitar algo de la totalidad misma. Pero aquí aparece el problema: si las unidades constituyen el diez y el diez es idéntico a ellas, tocar una parte afecta la totalidad. Así, la sustracción de una sola unidad terminaría afectando a toda la década.
En otras palabras, Sexto está insinuando algo parecido a esto:
10 = 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1
Si el diez es únicamente la suma de esas unidades, no existe un “diez” separado del conjunto. Por ello quitar una unidad equivale a alterar la totalidad de aquello que constituye el diez.
Luego examina la otra posibilidad: que la unidad se sustraiga del nueve restante. Pero esto parece todavía más extraño. ¿Cómo podría existir el nueve antes de haberse realizado la sustracción? Porque el nueve es precisamente el resultado que aparece después de quitar una unidad. Parecería que el nueve ya tendría que existir previamente para poder perder algo.
Así Sexto concluye:
- la unidad no puede quitarse del diez entero;
- tampoco puede quitarse del nueve resultante;
- por lo tanto, la sustracción misma es problemática.
Y si la sustracción fracasa, también fracasa una de las operaciones fundamentales del número.
Supongamos que una unidad se sustrae del nueve restante. Sexto pregunta: ¿de dónde exactamente se quitó? Solo existen dos posibilidades: o se sustrajo de la totalidad del nueve o de la última unidad que lo compone.
Si se sustrae de la totalidad del nueve, el problema es semejante al anterior: el nueve es precisamente el conjunto completo de sus unidades. Tocar cada una de esas unidades equivale a afectar al nueve entero. Así, la operación deja de ser una simple resta de una unidad y amenaza con destruir toda la estructura del número.
La otra posibilidad parece aún más extraña: sustraer la unidad de la última unidad. Pero la unidad era concebida por pitagóricos y platónicos como algo indivisible, una realidad sin partes. Si se le puede quitar algo, entonces la unidad deja de ser indivisible y aparece una contradicción.
Después Sexto formula una aporía todavía más abstracta. La unidad que se sustrae de la década se quita o de una década que existe o de una que no existe.
Si la década existe, mientras siga siendo una década nada puede serle quitado; porque al quitarle algo deja inmediatamente de ser década.
Si no existe, tampoco puede quitarse nada, ya que nadie puede sustraer algo de aquello que no existe.
Y fuera del ser y el no-ser no queda ninguna tercera posibilidad.
Con ello Sexto concluye que la sustracción es imposible.
Pero ahora dirige exactamente la misma arma hacia la adición.
Si añadimos una unidad al diez, esa unidad solo puede agregarse:
- a toda la década;
- o a una parte de ella.
Si se agrega a toda la década, como la década es el conjunto de todas las unidades particulares, la adición afectaría simultáneamente a cada una de ellas. Sexto exagera deliberadamente la consecuencia: la década terminaría convirtiéndose en veinte en lugar de once.
Si se agrega solo a una parte, tampoco se resuelve el problema, porque aumentar una parte no implica necesariamente aumentar el conjunto entero.
Luego vuelve a su esquema del ser y del no-ser:
- o la unidad se añade a una década que permanece siendo década;
- o a una década que deja de permanecer.
Si permanece idéntica, nada habría cambiado realmente.
Si deja de permanecer, ya no existe aquello a lo cual añadir algo.
Conclusión
Sexto Empírico no intenta destruir las matemáticas en su uso cotidiano; su objetivo es más profundo. Busca mostrar que incluso aquello que parece más cierto puede contener presupuestos ocultos y dificultades conceptuales. Su crítica recuerda que la confianza absoluta en cualquier sistema de conocimiento puede ser cuestionada, incluso cuando hablamos de algo tan aparentemente indiscutible como el número
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