Sexto Empírico - Contra Profesores (Libro III: Contra los geómetras)

Para los geómetras antiguos, las matemáticas representaban uno de los conocimientos más seguros y firmes que podía alcanzar la razón humana. Sus demostraciones parecían desarrollarse con una precisión absoluta, avanzando desde principios simples —como el punto, la línea o la superficie— hacia teoremas cada vez más complejos. Sin embargo, Sexto Empírico, uno de los principales representantes del escepticismo antiguo, decidió dirigir su crítica precisamente contra aquello que muchos consideraban el ejemplo más perfecto de certeza racional. En Contra los geómetras, no busca negar la utilidad práctica de la geometría, sino someter a examen sus fundamentos más básicos, preguntándose si conceptos aparentemente evidentes como el punto sin dimensiones, la línea sin anchura o la superficie sin profundidad pueden realmente ser concebidos y demostrados sin contradicción. Mediante un análisis minucioso, Sexto intenta revelar que incluso las ciencias consideradas más exactas pueden descansar sobre supuestos que rara vez son cuestionados, transformando así la geometría en un campo donde la duda filosófica pone a prueba los límites del conocimiento humano.

SEXTO EMPÍRICO 

CONTRA PROFESORES

CONTRA LOS GEÓMETRAS

Sexto nos dice que los geómetras se amparan en principios geométricos para salvar su ciencia, pero el filósofo nos dirpa que emprenderá el mismo modo para decirnos que la geometría no existe. Lo hará de la misma forma que lo hizo Timón en su obra ''Contra los físicos''.

Hipótesis

La palabra hipótesis, nos dice Sexto Empírico, se utiliza en muchos sentidos diferentes

• Argumento de una pieza de teatro (trágica o cómica)
• Investigación de los particulares en la retórica
• Comienzo de una demostración (postular una cosa con el fin de demostrar algo)

Un ejemplo de este último sería tomar las hipótesis de Asclepíades sobre la fiebre:

• Existen en nosotros ciertos poros inteligibles que difieren en tamaño unos de otros
• De todas partes se recolectan particulas de humedad y de aire, proceden de cuerpos percibidos por la razón y en perpetuo movimiento
• Se producen incesantemente ciertas exhalaciones de nuestro cuerpo al exterior, en cantidad mayor o menor según la circinstancia

Esta forma de hacer hipótesis es aquella que nos sirve porque son las que los geómetras usan para probar sus demostraciones.

Una hipótesis solo tiene dos posibilidades: o es verdadera o es falsa. Si es verdadera, no hay necesidad de mantenerla como mera suposición, porque debe aceptarse directamente como una realidad comprobada; y si es falsa, tampoco sirve como base para construir conocimiento, porque cualquier conclusión derivada de ella estará necesariamente afectada por ese error inicial.

Usa ejemplos cotidianos —como afirmar que “ahora es de día” o “estoy hablando y respirando”— para mostrar que existen verdades evidentes que no requieren ser hipotetizadas. Estas experiencias poseen una certeza inmediata que elimina la duda por sí misma. De este modo, intenta distinguir entre aquello que se conoce por evidencia directa y aquello que se formula solamente como una posibilidad teórica.

Ahora bien si se permite que cualquier afirmación hipotética sea tratada como una base confiable, entonces desaparecen los límites que distinguen el conocimiento verdadero de la imaginación o de la arbitrariedad. La investigación racional perdería su fundamento y podría terminar justificando cualquier conclusión.

Para demostrar esto, presenta un ejemplo matemático deliberadamente absurdo: 

Supongamos que tres son cuatro

Normalmente sabemos que esto es falso:

3 ≠ 4

Pero Sexto pide imaginar que, por un momento, aceptamos esa idea.

Ahora viene el siguiente paso:

Si 3 = 4, entonces multiplicamos ambos lados por 2:

• 3 × 2 = 6
• 4 × 2 = 8

Entonces:

6 = 8

La operación matemática está bien hecha. El problema no está en multiplicar. El problema es que comenzó con una afirmación falsa.

Una conclusión puede parecer lógica y seguir reglas correctas, pero si la base inicial es falsa, todo lo demás queda contaminado.

Critica a las hipotesis

Si una hipótesis es realmente confiable, ¿por qué necesita permanecer como hipótesis?

Al comienzo retoma la idea de los geómetras. Dice que ellos consideran absurdas ciertas hipótesis porque los cimientos de una demostración deben ser sólidos. Si la base es insegura, todo lo que se derive de ella también queda bajo sospecha. Por eso el escéptico afirma que no aceptará simplemente aquello que otros suponen sin haberlo demostrado antes. 

Después Sexto plantea una especie de dilema lógico. Imaginemos que alguien responde: “pero nuestras hipótesis son confiables”. Sexto entonces pregunta: si son verdaderamente confiables, ¿por qué utilizarlas únicamente como premisas y no como resultados ya demostrados? Si la hipótesis posee por sí misma fuerza suficiente para ser creída, entonces ya tiene el mismo valor que una conclusión probada. En ese caso sería innecesario el proceso demostrativo posterior.

Sin embargo, los adversarios podrìan sostener que si la conclusión obtenida a partir de una hipótesis resulta verdadera, entonces las hipótesis que la sostienen también deben ser verdaderas. Dicho de otro modo, si el resultado funciona, entonces los fundamentos deben haber sido correctos. Sexto rechaza esta idea y la considera un razonamiento defectuoso.

¿Cómo saben que una conclusión derivada es necesariamente verdadera? Según Sexto, solo existen dos posibilidades. La primera es decir que la verdad se conoce directamente a partir de la propia conclusión. La segunda es decir que se conoce a partir de las premisas de las que se deriva. Pero ambas opciones presentan problemas.

La primera posibilidad es conocer la verdad directamente desde la conclusión misma. Sexto la rechaza porque aquello que se intenta demostrar es precisamente algo no evidente. Si una conclusión fuera evidente por sí misma, no habría necesidad de demostrarla. Sería semejante a afirmar: “voy a demostrar que el fuego quema”, cuando en realidad el fuego ya muestra su efecto directamente a través de la experiencia. Pero cuando se trata de asuntos discutidos o inciertos, la conclusión no posee esa evidencia inmediata. Por ello, no puede afirmarse que se conoce simplemente por sí misma.

La segunda posibilidad consiste en decir que la certeza de la conclusión proviene de las premisas. Sin embargo, Sexto responde que precisamente la controversia está centrada en esas premisas. Si las premisas todavía no han sido verificadas, tampoco puede considerarse segura la conclusión obtenida a partir de ellas. Aquí aparece nuevamente la imagen de los cimientos: una casa construida sobre un terreno inestable puede parecer firme por un tiempo, pero su estabilidad es ilusoria porque la base sigue siendo insegura.

Un ejemplo cotidiano puede aclararlo mejor. Imaginemos que alguien afirma:

• “Todos los estudiantes que usan lentes son genios.”
• “Pedro usa lentes.”
• “Por lo tanto, Pedro es un genio.”

La conclusión puede sonar ordenada y lógicamente construida, pero el problema está en la primera premisa. No se ha demostrado que todos los estudiantes con lentes sean genios. Mientras esa base permanezca sin probar, la conclusión tampoco adquiere verdadera certeza.

Normalmente pensamos que de una verdad se sigue una verdad y de una falsedad una falsedad. Sin embargo, afirma que existe otra posibilidad: de una afirmación falsa puede derivarse algo verdadero. Por ello, descubrir que una conclusión es correcta no garantiza automáticamente que el punto de partida también lo sea.

Para mostrar esto utiliza un ejemplo deliberadamente extraño: “la tierra vuela”. Esta afirmación es claramente falsa. Sin embargo, de ella podría extraerse otra afirmación: “la tierra existe”, y esta sí es verdadera. El razonamiento sería algo así:

• Supongamos: “La tierra vuela.” 
• Si algo vuela, debe existir. 
• Luego: “La tierra existe.” 

La conclusión termina siendo correcta, pero el punto inicial era falso.

Ya con esto, Sexto Empírico considera que ya ha demostrado suficientemente un punto central de su crítica: los matemáticos y geómetras se equivocan cuando comienzan sus demostraciones suponiendo principios hipotéticos. Está pensando en expresiones típicas como «Sea una línea», «Sea un punto», «Sea un triángulo», fórmulas habituales en la geometría antigua. Aunque estas expresiones parezcan simples herramientas metodológicas, Sexto cree que contienen un problema más profundo: introducen supuestos que todavía no han sido justificados.

Los matemáticos creen que una vez admitidos ciertos principios, las demostraciones posteriores se siguen correctamente. Sexto, sin embargo, pregunta algo más radical: ¿por qué aceptar esos principios desde el comienzo? El escéptico considera que si los fundamentos permanecen sin prueba, todo el edificio construido sobre ellos queda bajo sospecha.

Demostraciones geometricas

El cuerpo posee tres dimensiones fundamentales, longitud, anchura y profundidad, y de ellas derivan las distintas direcciones espaciales: arriba y abajo, derecha e izquierda, delante y detrás. Sexto presenta estas definiciones primero de forma descriptiva porque luego pretende cuestionar su supuesta certeza.

Posteriormente expone la manera en que los geómetras explicaban el origen de las figuras: el punto al desplazarse produce una línea; la línea al desplazarse produce una superficie; y la superficie al desplazarse produce un cuerpo sólido. A primera vista parece intuitivo. Uno podría imaginar un punto moviéndose y dejando un rastro; ese rastro sería la línea. Después imaginar esa línea extendiéndose hasta formar una superficie, y luego una superficie ampliándose hasta producir un volumen tridimensional.

Sin embargo, Sexto empieza a insinuar una dificultad importante. Los matemáticos definen el punto como algo sin partes ni dimensiones. Aquí aparece el problema central: si un punto no tiene longitud, anchura ni profundidad, surge una pregunta inevitable: ¿cómo algo sin dimensión alguna puede generar una línea que sí tiene longitud?

El problema puede entenderse mediante un ejemplo sencillo. Imaginemos que alguien tiene cero monedas y dice: “si sumo muchos ceros obtendré cien monedas”. Sexto preguntaría: ¿cómo puede una cantidad que no posee nada producir algo que sí posee una magnitud determinada? Del mismo modo, si un punto carece completamente de extensión, parece extraño que de su movimiento pueda surgir una línea extensa.

La misma dificultad continúa en los siguientes niveles. La línea es definida como una longitud sin anchura; la superficie como una anchura sin profundidad. Cada concepto parece depender de algo que, por definición, carece de aquello mismo que produce. Surge así una tensión lógica: el origen parece contener menos realidad que el resultado.

El punto

Sexto Empírico inicia directamente el ataque al primer elemento básico de la geometría: el punto. Había señalado antes que si el punto, la línea, la superficie y el cuerpo quedan destruidos conceptualmente, toda la geometría perdería sus fundamentos. Ahora comienza por el elemento más pequeño y aparentemente más simple. Los geómetras definían el punto como un signo sin dimensiones, algo que no posee longitud, anchura ni profundidad. Pero Sexto encuentra aquí una dificultad inmediata: ¿qué clase de cosa puede ser un punto?

Su primera pregunta es si el punto debe considerarse corporal o incorpóreo. Si fuera un cuerpo, surgiría un problema, porque un cuerpo necesariamente posee dimensiones; ocupa espacio y tiene extensión. Pero el punto, por definición, carece de toda dimensión. Por ello no podría ser un cuerpo. Queda entonces la segunda opción: considerarlo algo incorpóreo.

Sin embargo, Sexto tampoco acepta fácilmente esa alternativa. Según la forma habitual de pensar, lo incorpóreo es algo que no puede actuar físicamente ni producir algo material o extenso. Pero los geómetras afirman precisamente que el punto produce una línea mediante su desplazamiento. Aquí aparece la contradicción que Sexto quiere señalar: si el punto es incorpóreo y no posee extensión, ¿cómo puede convertirse en el origen de algo que sí posee extensión?

La dificultad puede comprenderse con un ejemplo cotidiano. Imagina una persona que afirma:

• “Tengo una caja vacía absolutamente sin contenido.”
• Luego agrega:
• “De esa caja vacía sacaré cien libros.”

La pregunta inmediata sería: ¿cómo algo que no contiene nada puede generar algo que sí tiene contenido? Sexto está razonando de manera parecida. El punto no tiene longitud, anchura ni profundidad; entonces parece extraño que pueda producir una línea que sí posee longitud.

Luego Sexto cambia el enfoque y dirige la discusión hacia la experiencia sensible. Señala que nunca percibimos algo completamente carente de dimensiones. Todo aquello que captamos con los sentidos posee alguna magnitud, aunque sea mínima. Incluso aquello que parece un punto —por ejemplo una pequeña marca hecha con una pluma— posee anchura y extensión cuando se examina con más detalle.

Su razonamiento avanza así:

• Todo signo perceptible tiene alguna magnitud.
• Todo extremo o límite que observamos posee alguna extensión.
• El punto es definido como signo o límite.
• Entonces el punto también debería poseer magnitud.

Pero esto contradice nuevamente la definición geométrica del punto como algo sin dimensiones.

Existe una diferencia entre los objetos matemáticos ideales y los objetos que encontramos en la experiencia real. Los matemáticos hablan de puntos perfectos sin extensión; pero Sexto pregunta si realmente encontramos algo semejante en la realidad o si simplemente usamos una construcción mental útil para el razonamiento.

Los geómetras sostenían que una línea recta que gira alrededor de un centro puede describir una circunferencia sobre una superficie plana. También afirmaban que una esfera toca una superficie plana en un único punto y que, al rodar, ese punto va produciendo una línea continua. Sexto toma precisamente estas ideas para intentar mostrar sus dificultades.

Su argumento es el siguiente: si el extremo de una línea o el punto de contacto de una esfera contribuyen a formar una circunferencia o una línea, entonces aquello que participa en completar algo extenso debe poseer también alguna extensión. El problema es que los geómetras sostienen que el punto no posee dimensión alguna. Aquí Sexto ve una contradicción: si el punto ayuda a construir algo que tiene magnitud, parece extraño que él mismo carezca completamente de magnitud.

Puede verse con un ejemplo cotidiano. Imaginemos que alguien afirma:

• “Una sola gota de pintura sin tamaño alguno puede dibujar una línea completa sobre una pared.”

La dificultad sería inmediata: si la gota realmente no tiene tamaño, parecería imposible que deje un rastro visible. Para producir una línea debe existir algún tipo de extensión o cantidad. Sexto piensa algo parecido respecto al punto geométrico.

Luego menciona a Eratóstenes, quien había intentado responder a esta dificultad diciendo que el punto no ocupa espacio ni mide ninguna parte de la línea; simplemente la produce mediante su desplazamiento. Pero Sexto tampoco acepta esta explicación. Su objeción es muy sutil: el acto de deslizarse o desplazarse implica moverse de un lugar a otro. Y moverse de un lugar a otro parece requerir cierta extensión.

La comparación implícita es con el agua que fluye: el agua avanza ocupando distintos espacios y extendiéndose. Sexto pregunta entonces: si el punto se mueve de una posición a otra, ¿cómo puede seguir siendo algo absolutamente carente de partes? El movimiento parece exigir que aquello que se mueve tenga alguna realidad espacial.

Su razonamiento podría representarse así:

• El punto no tiene partes ni dimensiones.
• El punto se mueve y produce una línea.
• Moverse significa extenderse de un lugar a otro.
• Lo que se extiende parece tener partes.
• Por tanto, el punto ya no sería algo sin partes.

La crítica de Sexto intenta mostrar que los matemáticos parecen atribuir al punto propiedades incompatibles entre sí. Lo presentan como algo absolutamente indivisible y sin extensión, pero al mismo tiempo le asignan la capacidad de producir líneas y recorrer espacios.

Linea

Los geómetras sostenían que la línea podía entenderse como el resultado del desplazamiento de un punto o signo. Sexto analiza entonces las posibilidades. Si la línea es un único signo extendido, ese signo tendría que estar o bien quieto en un lugar o bien desplazándose. Si permanece en un único lugar, no hay línea alguna, porque la línea requiere extensión; existiría solamente un punto inmóvil. Es como apoyar la punta de un lápiz sobre una hoja sin moverla: solo aparece un punto, no una línea.

La segunda posibilidad es que el signo se desplace de un lugar a otro. Sin embargo, Sexto encuentra nuevamente una dificultad. Si el signo abandona una posición y ocupa otra, en cada momento sigue siendo únicamente un punto situado en un lugar distinto. En otras palabras, desplazarse no lo convierte automáticamente en línea; solo lo hace aparecer sucesivamente en lugares diferentes. Es como imaginar una luciérnaga en una habitación oscura: verla primero en una esquina y luego en otra no significa que la luciérnaga se haya transformado en una línea.

Luego Sexto examina otra alternativa: que el signo permanezca unido a un lugar mientras se extiende hacia otro espacio. Pero entonces surge una nueva pregunta: ¿sobre qué tipo de espacio se extiende? Si el espacio es indivisible, la línea vuelve a reducirse a un punto, porque algo indivisible no tiene partes. Y si el espacio es divisible, aquello que se extiende sobre él también debería poseer partes y dimensiones. Pero algo con partes deja de ser un punto y comienza a parecer un cuerpo. Así la definición inicial vuelve a entrar en conflicto consigo misma.

Después Sexto analiza la idea de que la línea pueda estar formada por muchos puntos colocados uno junto a otro. A primera vista parece razonable: muchas pequeñas unidades juntas formarían una longitud. Pero él intenta mostrar que esto tampoco funciona. Si los puntos están separados entre sí, habrá espacios vacíos entre ellos, y por tanto no formarán una línea continua. Si se tocan entre sí, entonces surge otro problema: para tocarse deberían poseer partes o superficies de contacto. Pero un punto, por definición, no posee partes.

Puede aclararse mediante un ejemplo moderno. Imaginemos una fila de canicas:

• Si las canicas quedan separadas, aparecen huecos entre ellas.
• Si se presionan unas contra otras, cada una necesita una superficie de contacto.

Sexto piensa que algo parecido ocurre con los puntos. Si están separados, no forman continuidad; si se unen, parecen necesitar dimensiones.

Si la línea no puede ser un único punto extendido ni tampoco un conjunto de puntos reunidos, entonces la línea pierde la base conceptual sobre la que había sido construida. Como la noción de línea dependía previamente de la noción de punto, y el punto ya había sido puesto en duda, toda la estructura comienza a tambalearse.

Afirmaban que la línea es una “longitud sin anchura”, es decir, una extensión que posee largo pero absolutamente ninguna amplitud. Sexto considera que esta definición, aunque parece clara al comienzo, se vuelve problemática cuando se examina con atención.

Su primer argumento es empírico. Señala que no encontramos en ninguna parte algo semejante a una longitud completamente desprovista de anchura. Todo aquello que percibimos mediante los sentidos posee alguna amplitud, por mínima que sea. Si dibujamos una línea con una pluma, un lápiz o un pincel, siempre tendrá cierto grosor. Incluso la línea aparentemente más fina observada a simple vista posee anchura cuando se la examina con mayor detalle.

Luego Sexto se desplaza desde el mundo sensible al mundo de las ideas. Podría responderse que los geómetras no hablan de objetos físicos sino de entidades inteligibles o mentales. Entonces Sexto pregunta: ¿podemos imaginar realmente una longitud totalmente separada de toda anchura? Para responderlo realiza una especie de experimento mental.

Su razonamiento es el siguiente:

• Imaginemos una línea con cierta anchura.
• Ahora reduzcamos esa anchura poco a poco.
• Podemos representarla cada vez más delgada.
• Pero llega un momento en que eliminamos completamente la anchura.

Y aquí aparece la dificultad: cuando la anchura desaparece totalmente, ya no parece permanecer tampoco la longitud.

Un ejemplo puede hacerlo más claro. Imagina una cinta de papel:

• Primero es ancha.
• Luego la recortas haciéndola más delgada.
• Después la vuelves todavía más fina.
• Sigues recortando hasta quitar toda la anchura.

Sexto preguntaría: ¿qué queda al final?

Intuitivamente uno podría responder: “queda una línea”. Pero Sexto diría que, al eliminar absolutamente toda anchura, ya no queda algo visible o imaginable; desaparece el objeto mismo. La longitud parece necesitar alguna amplitud mínima para poder ser concebida.

Lo que está atacando aquí es una diferencia entre la abstracción matemática y la capacidad real de representación. Los matemáticos abstraen ciertas propiedades y consideran solo el largo, ignorando la anchura. Sexto sospecha que este proceso de abstracción termina vaciando completamente el objeto hasta hacerlo inconcebible.

Concepciòn de las cosas

Existen dos formas fundamentales de conocimiento: por percepción directa o por transferencia desde cosas conocidas. La percepción directa ocurre cuando captamos algo inmediatamente, como los colores, sabores o sonidos. Vemos el blanco, el negro o sentimos lo dulce y lo amargo sin necesidad de construirlos mentalmente.

La segunda forma consiste en formar ideas nuevas a partir de otras conocidas, y Sexto dice que esto ocurre de tres maneras: por similitud, por composición y por analogía. La similitud consiste en imaginar algo a partir de algo semejante. Por ejemplo, si vemos un retrato de Sócrates podemos imaginarnos a Sócrates mismo. La composición consiste en unir elementos conocidos para producir algo nuevo; así menciona el ejemplo del hipocentauro, criatura formada por la unión del hombre y el caballo. Finalmente la analogía funciona aumentando o disminuyendo algo conocido. El ejemplo que usa es muy interesante: a partir de un hombre común imaginamos al Cíclope aumentando sus dimensiones o al pigmeo reduciéndolas.

Después de establecer estos modos de concebir, Sexto aplica el esquema a la línea sin anchura. Su pregunta es: ¿por cuál de estos medios concebimos una longitud sin anchura?

Primero elimina la percepción directa. Nunca vemos ni tocamos una longitud totalmente carente de anchura; todo lo percibido posee alguna amplitud.

Entonces queda la posibilidad de concebirla mediante transferencia. Pero Sexto intenta mostrar que ninguna de las tres modalidades funciona:

Por similitud, no puede ser concebida porque nunca hemos conocido algo semejante a una longitud sin anchura. Solo podemos comparar algo con algo ya conocido.

Por composición, tampoco parece posible. En el hipocentauro mezclamos caballo y hombre porque conocemos ambas cosas. Pero Sexto pregunta: ¿qué elementos conocidos deberíamos combinar para fabricar mentalmente una longitud sin anchura? No parece existir respuesta.

Por analogía, tampoco funciona. Aumentar o disminuir una cosa conocida no elimina completamente sus propiedades. Si reducimos una línea cada vez más, solo obtenemos líneas cada vez más delgadas, pero nunca una longitud absolutamente privada de anchura.

Podemos imaginarlo con un ejemplo moderno:

Supongamos una hoja de papel.

• Primero tiene cierto grosor.
• La hacemos cada vez más delgada.
• Continuamos reduciéndola indefinidamente.

Sexto diría que siempre seguiremos pensando en algo que conserva una mínima anchura. Nunca llegamos mentalmente a una longitud completamente desprovista de ella.

Ahora bien, los geòmetras pueden decir que la longitud sin anchura puede ser concebida mediante un proceso de intensión o reducción progresiva.

La idea geométrica es relativamente sencilla. Se parte de una línea que posee cierta anchura y luego se imagina que esa anchura se va reduciendo cada vez más. Se estrecha continuamente hasta alcanzar un límite extremo. Los geómetras afirman que al final de este proceso obtenemos una longitud absolutamente privada de anchura.

Pero Sexto considera que esta solución tampoco funciona. Señala que disminuir algo progresivamente no cambia la naturaleza de aquello que estamos imaginando. Mientras seguimos reduciendo la anchura, seguimos representándonos una anchura, aunque sea muy pequeña. Lo único que cambia es la cantidad, no la esencia del objeto.

Podemos entenderlo mediante un ejemplo sencillo. Imaginemos una cuerda:

• Primero tiene un grosor grande.
• Después la imaginamos más delgada.
• Luego aún más delgada.
• Continuamos reduciendo su espesor.

Sexto diría que en cada paso seguimos pensando en una cuerda con algún grosor. Puede ser enorme o microscópico, pero todavía existe anchura. Nunca llegamos realmente a una situación donde la anchura desaparezca por completo y solo permanezca el largo.

Aquí aparece el núcleo de su crítica: si eliminamos totalmente la anchura, ya no conservamos la longitud; eliminamos el objeto entero. No existe un punto intermedio mágico donde la anchura desaparezca y la longitud continúe intacta.

Luego Sexto utiliza una reducción al absurdo. Dice que si aceptamos el razonamiento de los geómetras, entonces podrían surgir consecuencias absurdas. Por ejemplo:

• Si de una carne vulnerable eliminamos la vulnerabilidad, podríamos imaginar una carne invulnerable.
• Si de un cuerpo sólido eliminamos la solidez, podríamos imaginar un cuerpo que siga siendo cuerpo pero que no sea sólido.

Sexto considera esto absurdo porque ciertas propiedades parecen estar ligadas esencialmente a las cosas mismas. Una carne concebida sin vulnerabilidad dejaría de ser la carne tal como la entendemos; y un cuerpo sin solidez dejaría de corresponder a la idea habitual de cuerpo.

Aristòteles

Sexto Empírico introduce un nuevo interlocutor en la discusión: Aristóteles. Hasta ahora había dirigido sus críticas principalmente contra los geómetras, pero ahora señala que Aristóteles intenta defenderlos. Según Sexto, después de todas las dificultades planteadas acerca de la línea y de la longitud sin anchura, Aristóteles sostiene que esta noción sí puede ser concebida por la mente sin mayores problemas.

El argumento aristotélico se basa en un ejemplo muy concreto. Aristóteles dice que cuando observamos un muro, somos capaces de dirigir nuestra atención únicamente hacia su longitud y dejar de lado mentalmente su anchura. Al hacer esto parecería que estamos captando una longitud sin anchura. En otras palabras, aunque el muro posee anchura real, nuestra mente puede abstraerla y concentrarse solamente en el largo.

A primera vista el argumento parece convincente. Imaginemos una pared larga:

• Tiene longitud.
• Tiene anchura.
• Podemos dejar de prestar atención a la anchura.
• Conservamos en la mente solo la longitud.

Los geómetras dirían entonces que esa es precisamente la línea geométrica: una longitud considerada por sí sola.

Sin embargo, Sexto responde que Aristóteles está confundiendo dos cosas distintas. Según él, cuando pensamos únicamente en la longitud del muro, no estamos eliminando completamente toda anchura; simplemente estamos dejando de considerar la anchura particular de ese muro concreto.

La diferencia es muy importante:

• Eliminar una anchura específica → ignorar cierto grosor determinado. 
• Eliminar absolutamente toda anchura → que no exista ninguna anchura en absoluto. 

Para Sexto estas no son la misma cosa.

Un ejemplo cotidiano puede ayudar:

Imagina una carretera muy ancha. Al verla desde un avión podrías concentrarte únicamente en su recorrido y dejar de fijarte en su ancho. Pero aunque ignores mentalmente ese ancho, la carretera continúa teniéndolo. Tu atención cambió, pero el objeto no perdió su extensión lateral.

Sexto sostiene que eso mismo ocurre con el muro de Aristóteles. Podemos pensar:

"No me interesa el grosor exacto de este muro."

Pero seguimos imaginando algo que posee cierta amplitud, aunque no la especifiquemos. Nunca llegamos a una longitud absolutamente vacía de anchura.

Aristóteles cree que la mente puede separar ciertas propiedades de un objeto y tratarlas de manera independiente. Sexto sospecha que esta separación es solo parcial. La mente puede ignorar características particulares, pero no puede vaciar completamente un objeto de aquello que pertenece a su naturaleza.

Linea como limite

Sexto Empírico abandona la discusión puramente abstracta sobre la línea y comienza a atacar otra definición geométrica: la idea de que la línea es el límite del plano, así como el plano es el límite del cuerpo sólido. Su estrategia sigue siendo la misma: aceptar provisionalmente las definiciones de los geómetras para mostrar que conducen a consecuencias que considera absurdas.

El razonamiento comienza imaginando dos planos colocados uno junto al otro. Si la línea constituye realmente el límite de cada plano, entonces las líneas extremas de ambos planos deberían tocarse cuando estos se juntan. Los geómetras podrían decir que esas líneas o bien permanecen paralelas o bien se convierten en una sola línea. Sexto analiza ambas posibilidades.

La primera alternativa es que las dos líneas se conviertan en una sola. Pero aquí surge un problema. Si las líneas son límites de los planos, entonces al unirse las líneas también deberían unirse los planos. Y si los planos son límites de los cuerpos, la unión de los planos implicaría la unión de los cuerpos mismos. El resultado sería que dos cuerpos distintos terminarían convirtiéndose en uno solo.

Sexto considera problemática esta consecuencia porque la experiencia cotidiana parece mostrar otra cosa. Utiliza ejemplos concretos: si acercamos dos piedras, dos barras de hierro o dos objetos sólidos, estos no dejan de ser dos cuerpos distintos ni se transforman mágicamente en uno. Continúan conservando sus límites propios.

Podemos imaginar un ejemplo simple:

• Colocas dos libros uno junto al otro.
• Los bordes se tocan.
• Pero los libros no se transforman en un único libro gigante.

Para Sexto, si las líneas-límite realmente desaparecieran en una sola línea común, tendría que ocurrir una verdadera unificación de los objetos. Sin embargo, eso no sucede.

Luego examina la segunda posibilidad: que las líneas permanezcan paralelas aun cuando los cuerpos estén juntos. Pero aquí encuentra otro problema. Si permanecen dos líneas distintas, el resultado total sería mayor que una sola línea. Esto implicaría que una línea podría tener una dimensión adicional o una especie de anchura producida por la suma de ambas líneas.

Y aquí aparece nuevamente el conflicto central: los geómetras definen la línea como longitud sin anchura. Pero si la unión o yuxtaposición de líneas produce algo mayor que una sola línea, parece que las líneas terminan generando una amplitud o espesor.

El cìrculo

Incluso aceptando las hipótesis de los propios geómetras, estas terminarían conduciendo a contradicciones. El objetivo es demostrar que el problema no proviene solo de la mirada escéptica, sino que surge desde las mismas premisas matemáticas.

Los geómetras sostenían que una línea recta que gira alrededor de un punto central describe una serie de círculos. Imaginemos una vara girando desde un centro fijo: cada punto de la vara recorre una trayectoria circular. Cuanto más lejos esté un punto del centro, mayor será el círculo que describa. Sexto acepta provisionalmente esta explicación y pregunta qué ocurre con esos círculos producidos por todas las partes de la línea.

Según él, existen únicamente dos posibilidades: los círculos producidos por cada punto de la línea serán separados unos de otros o serán continuos y se tocarán.

Primero examina la posibilidad de que los círculos estén separados. Si existe separación entre un círculo y otro, entonces habrá espacios vacíos entre ellos. Pero esto genera una dificultad: si una parte de la línea atraviesa ese espacio vacío y no produce un círculo, entonces existiría una parte de la línea incapaz de generar la trayectoria circular que los geómetras atribuyen a todas las partes de la línea. Esto contradice la doctrina geométrica según la cual cada punto o signo de la línea participa en el movimiento.

Luego examina la segunda alternativa: que todos los círculos sean continuos y estén unidos entre sí. Aquí Sexto encuentra otra dificultad. Si los círculos ocupan exactamente el mismo lugar, entonces el círculo más grande y el más pequeño terminarían coincidiendo en un único espacio. Pero esto resulta absurdo, porque un círculo mayor debería ocupar una extensión distinta de uno menor.

Puede representarse así:

• Círculo pequeño → distancia corta desde el centro.
• Círculo grande → distancia mayor desde el centro.
• Si ambos ocupan el mismo espacio → grande = pequeño. 

Sexto considera que esto es claramente inaceptable.

Entonces introduce una tercera consecuencia: si los círculos no ocupan el mismo lugar, sino que llenan todo el espacio comprendido entre el centro y la circunferencia exterior, terminarán ocupando una cierta anchura.

Y aquí vuelve a aparecer el núcleo de toda su crítica:

• Los círculos son líneas.
• Los círculos llenan un espacio con anchura.
• Entonces las líneas poseen anchura.
• Pero los geómetras dicen que la línea es longitud sin anchura.

Surge nuevamente una contradicción interna.

Lo que Sexto intenta mostrar es que las propias operaciones geométricas parecen introducir aquello que la definición de línea excluía desde el principio. Los geómetras querían una línea pura, desprovista de espesor; pero al hacerla actuar, moverse y producir figuras, parecen otorgarle precisamente una dimensión adicional.

Los geómetras definen la línea como longitud sin anchura, pero luego le atribuyen funciones que parecen exigir precisamente aquello que niegan.

Sexto comienza examinando la afirmación según la cual una línea recta girando alrededor de un centro describe un círculo. Los geómetras dicen que la línea genera por sí misma la figura circular. Pero Sexto pregunta: ¿cómo ocurre exactamente esto? Si la línea recorre todas las partes comprendidas entre el centro y la circunferencia exterior, entonces está determinando una extensión completa, es decir, una amplitud o anchura espacial. Sin embargo, aquello que establece una medida de anchura parece necesitar poseer anchura también.

El razonamiento puede expresarse paso a paso:

• La línea recta gira.
• Su movimiento determina el espacio entre el centro y la circunferencia.
• Ese espacio tiene una amplitud determinada.
• Lo que determina una amplitud debería poseer amplitud.
• Entonces la línea tendría anchura.

Y si posee anchura, ya no puede seguir siendo definida como una simple longitud sin anchura.

Puede imaginarse con un ejemplo sencillo. Supongamos que una persona toma un rodillo de pintura y lo hace girar formando un círculo sobre el suelo. Sexto preguntaría: ¿cómo puede un instrumento absolutamente carente de grosor llenar o determinar una extensión? El acto mismo de establecer una superficie parece exigir alguna dimensión real.

Luego introduce otro ejemplo tomado de la geometría de cuadriláteros. Los geómetras enseñaban que un lado oblicuo trazado entre dos líneas paralelas determina el tamaño del plano comprendido entre ellas. Sexto aprovecha esto para repetir el mismo razonamiento: si el lado oblicuo es una línea sin anchura, entonces no debería ser capaz de establecer la medida de un plano, porque el plano posee amplitud.

Puede representarse así:

• La línea oblicua determina un espacio entre paralelas.
• Ese espacio tiene anchura.
• Lo que mide o determina anchura debería tener anchura.
• Entonces la línea también la tendría.

El argumento vuelve a cerrar sobre la misma dificultad central.

Los matemáticos definen la línea como algo idealmente carente de espesor, pero luego la hacen trabajar: la mueven, la hacen girar, producir círculos y determinar superficies. Sexto sospecha que, cuando la línea entra en acción, comienza a adquirir propiedades incompatibles con su definición inicial.

Cilindro

Si el punto y la línea son problemáticos, aquello que depende de ellos también lo será.

Comienza utilizando un ejemplo de los propios geómetras: el cilindro que rueda sobre un plano. Ellos afirmaban que el cilindro toca el plano a través de una línea recta y que, al desplazarse, una línea sucede a otra hasta formar la extensión completa del plano. Sexto toma esta explicación y encuentra una dificultad: si el plano posee anchura y está siendo generado por líneas, entonces parece razonable pensar que aquello que produce anchura también debe poseer anchura. Pero esto entra en conflicto con la definición geométrica de la línea como una longitud carente de anchura. El problema vuelve a aparecer: la línea parece adquirir propiedades que originalmente le habían sido negadas.

Luego Sexto se mueve hacia un problema todavía más complejo. Los geómetras enseñaban que la superficie es el límite del cuerpo. A partir de esto plantea una pregunta aparentemente sencilla: cuando dos cuerpos se colocan uno junto a otro, ¿qué es exactamente lo que se toca? Para explicar la dificultad utiliza el ejemplo de dos ánforas llenas de vino colocadas lado a lado.

Si se dice que solamente los límites se tocan, entonces los cuerpos mismos quedarían separados, lo que parece extraño porque observamos que los objetos efectivamente entran en contacto. Si se afirma que son los cuerpos los que se tocan, entonces los límites parecerían quedar fuera de aquello que delimitan. Y si ambos —límites y cuerpos— se tocan al mismo tiempo, las dificultades no desaparecen, sino que aumentan.

A continuación Sexto introduce otra pregunta: ¿los límites son corporales o incorpóreos? Si son corporales, entonces deben tener profundidad, porque todo cuerpo la posee. Pero esto contradice la definición geométrica de superficie, que precisamente carece de profundidad. Además, si el límite es un cuerpo, necesitará a su vez otro límite que lo delimite, y ese nuevo límite otro más, produciendo una cadena infinita.

La otra posibilidad tampoco resuelve el problema. Si los límites son incorpóreos, entonces no pueden tocar ni ser tocados, porque aquello que no posee cuerpo parece incapaz de establecer contacto. Pero si los límites no pueden tocarse, tampoco parece posible explicar adecuadamente el contacto entre los cuerpos que dependen de ellos.

El cuerpo y sus dimensiones

Sexto quiere verificar si lo que los geómetras dicen respecto de los cuerpos es tal, esto es, que tiene longitud, anchura y profunidad. O bien, puede ser algo separado de ellas. 

Sin embargo, Sexto nos dice que no es posible que el cuerpo carezca de estas proporciones, pues de esa forma no existiría. Pero también hay que considerar que las proporciones son incorpóreos. ¿Cómo es posible que cosas incorpóreas puedan formar cosas corpóreas?

Sería otro problema que dijeramos que la longitud, la anchuta y la profundidad sean cuerpos en sí mismos antes de formar el cuerpo completo. ¿Será que una vez estas cosas confluyen que se forma el cuerpo? Pero de ser así el problema persistiría, pues si son incorpóreas, no pueden formar un cuerpo y si son corpóreas sería inútil que formen un cuerpo. 

En consecuencia, Sexto nos dice que el cuerpo no es nada. 

Definiciones geométricas

Sexto Empírico abandona momentáneamente la discusión sobre la línea en general y dirige su atención hacia una definición específica utilizada por los geómetras: la línea recta es aquella que tiene “igualmente situadas todas sus partes”. Su propósito consiste en mostrar que incluso las definiciones aparentemente más simples contienen dificultades importantes.

Primero señala algo fundamental: si la noción general de línea ya ha sido puesta en duda, tampoco puede mantenerse la existencia de una línea recta. Utiliza una comparación basada en géneros y especies: así como si no existiera el concepto general de “animal” tampoco podrían existir especies particulares como el hombre, y sin hombre tampoco Sócrates, de la misma manera si desaparece la línea en general también desaparece la línea recta. Sexto quiere mostrar que las definiciones particulares dependen de fundamentos más amplios.

Luego dirige la atención hacia la palabra “igual”, que aparece en la definición geométrica. Señala que este término tiene más de un significado. Puede referirse a cosas que poseen la misma magnitud o tamaño, como cuando decimos que un palo mide exactamente un codo y coincide con otro de la misma medida. Pero también puede significar algo cuyas partes están uniformemente dispuestas, como un suelo liso o parejo.

El problema surge porque Sexto pregunta qué significado están usando los geómetras cuando afirman que una línea recta tiene igualmente situadas todas sus partes. Si utilizan el primer sentido, la definición resulta absurda, porque carece de sentido afirmar que una línea recta tiene la misma magnitud que sus propias partes; una línea es necesariamente mayor que cualquiera de sus partes.

Si utilizan el segundo significado, Sexto considera que aparece un problema distinto y más profundo. Estarían definiendo la línea recta diciendo que sus partes están dispuestas rectamente o uniformemente. Pero esto significa introducir en la definición aquello mismo que se quiere explicar. Para entender qué significa que las partes estén alineadas rectamente, ya habría que saber previamente qué es una línea recta.

Los geómetras decían que una línea recta es aquella que “gira por igual con sus extremos” o aquella que, al girar sobre sus extremos, toca el plano con todas sus partes. Sexto considera que estas definiciones no solo heredan dificultades anteriores, sino que agregan nuevos problemas.

La primera crítica consiste en señalar que tales definiciones dependen del movimiento. Sin embargo, esto genera una dificultad inmediata: una línea puede ser recta sin necesidad de estar girando. Para reforzar este punto menciona a los epicúreos, quienes afirmaban que incluso una línea situada en el vacío sería recta. Pero el vacío, según ellos mismos, no es susceptible de movimiento. Si la rectitud dependiera esencialmente del giro o del movimiento, entonces una línea inmóvil en el vacío no podría llamarse recta, lo cual parece absurdo. Sexto intenta mostrar que la definición agrega una propiedad accidental —el movimiento— a algo que debería pertenecer a la esencia misma de la línea.

Después dirige su ataque hacia algo todavía más importante: el problema de la circularidad. Los geómetras intentan explicar qué es una línea recta diciendo que es aquella que toca un plano con todas sus partes. Pero Sexto señala que el plano también es explicado mediante la línea. Se genera así una dependencia mutua: para entender la línea necesitamos comprender el plano, y para entender el plano necesitamos comprender previamente la línea.

La dificultad puede expresarse con un ejemplo cotidiano. Sería parecido a intentar explicar dos palabras desconocidas de este modo:

• “¿Qué es un maestro?” → alguien que actúa como un profesor.
• “¿Qué es un profesor?” → alguien que hace lo que hace un maestro.

La explicación no avanza realmente, porque cada concepto depende del otro y ninguno recibe una aclaración independiente.

Sexto considera que esto constituye una falta grave en una definición. Una definición debería llevar desde algo más conocido hacia algo menos conocido. Pero aquí ocurre lo contrario: aquello que necesita explicación es utilizado para explicar otra cosa igualmente oscura.

Además agrega una observación final muy interesante. Si los geómetras sostienen que el plano está compuesto por muchas líneas rectas, entonces definir la línea mediante el plano equivale finalmente a definir la línea por medio de ella misma. La aparente explicación termina regresando al punto de partida.

La definición geométrica del ángulo

En este pasaje Sexto Empírico continúa extendiendo su crítica desde la línea hacia otra noción fundamental de la geometría: el ángulo. Su estrategia sigue siendo idéntica a la empleada anteriormente: aceptar provisionalmente las definiciones de los geómetras y mostrar que generan dificultades internas. Los geómetras definían el ángulo como “lo mínimo bajo la inclinación de dos rectas no paralelas”, o también como “el primer intervalo bajo la inclinación”. Sexto considera que ambas definiciones son problemáticas.

Comienza preguntando qué significa exactamente ese “mínimo”. Si se entiende por algo indivisible o por un punto sin dimensiones, aparece inmediatamente una contradicción. El ángulo, según los propios geómetras, puede dividirse indefinidamente; incluso se habla de ángulos mayores y menores. Pero algo realmente indivisible no puede dividirse ni compararse en tamaño con otras cosas. Resultaría extraño llamar “mínimo” a algo que admite grados y variaciones.

Luego dirige la crítica hacia la idea de un punto o signo sin dimensiones. Si aquello que constituye el ángulo carece completamente de extensión, tampoco podría existir una diferencia entre un ángulo grande y uno pequeño, porque donde no existe dimensión tampoco puede existir aumento o disminución. Además, si ese punto se encuentra entre las dos líneas que forman el ángulo, entonces al separar las líneas introduce una distancia real entre ellas y deja de ser algo sin dimensiones.

Sexto analiza también otra definición: aquella que describe el ángulo como el primer intervalo bajo la inclinación. Aquí vuelve a aparecer un problema semejante a otros vistos anteriormente. Ese intervalo o bien es divisible o bien indivisible. Si es indivisible, reaparecen las mismas dificultades anteriores: algo indivisible no puede explicar la variedad y graduación de los ángulos. Pero si es divisible, surge un problema diferente: nunca podrá hablarse realmente de un “primer” intervalo, porque siempre será posible dividirlo y encontrar otro anterior.

La dificultad puede entenderse con un ejemplo sencillo. Es parecido a afirmar que existe “el primer centímetro absoluto” en una línea infinita y luego descubrir que ese centímetro puede seguir dividiéndose en milímetros, micrómetros y partes aún menores. Lo que parecía primero deja de serlo.

Los geómetras distinguen entre ángulos rectos, obtusos y agudos, y además reconocen grados mayores o menores dentro de estas categorías. Pero si el ángulo fuera simplemente un mínimo intervalo fijo, estas diferencias perderían sentido. No podría haber algo más o menos obtuso, ni más o menos agudo, porque todos terminarían reducidos a la misma unidad mínima.

Las definiciones geométricas parecen oscilar entre dos problemas: o describen el ángulo mediante algo tan pequeño que deja de explicar las diferencias reales entre los ángulos, o lo describen mediante algo divisible que destruye la idea de un mínimo inicial.

En otra definición, los geómetras describían como una figura plana rodeada por una sola línea, donde todas las rectas trazadas desde el centro hasta la circunferencia son iguales entre sí. Sin embargo, Sexto señala que esta definición depende de conceptos que ya había intentado destruir: punto, línea, recta, plano y ángulo. Su razonamiento es simple: si los elementos fundamentales han sido puestos en duda, también lo será cualquier figura construida a partir de ellos. El círculo deja de tener un fundamento estable porque descansa sobre nociones previamente problemáticas.

Después Sexto cambia de tema y pasa a una crítica dirigida a ciertos procedimientos geométricos, particularmente cuando los matemáticos dicen que una línea puede ser dividida exactamente en dos partes iguales. Lo primero que hace es distinguir entre la línea visible dibujada sobre una pizarra y la línea geométrica ideal. La línea de la pizarra tiene grosor y anchura perceptibles; por ello, estrictamente hablando, no sería la línea pura de los geómetras, ya que ellos la definían como una longitud sin anchura. Entonces, según Sexto, los matemáticos no pueden apoyarse simplemente en líneas visibles para demostrar propiedades de líneas ideales.

Luego desarrolla un ejemplo imaginario para mostrar la dificultad. Pide pensar en una línea formada por nueve puntos: cuatro a un lado, cuatro al otro y uno exactamente en el centro. Si se quiere dividir la línea en dos partes iguales, surge una pregunta: ¿por dónde pasa el corte?

Si el corte ocurre entre el punto central y uno de los grupos laterales, las dos partes ya no serán iguales: una tendrá cuatro puntos y la otra cinco. Pero si se afirma que el corte atraviesa exactamente el punto central, aparece una dificultad todavía mayor. El punto, según la propia doctrina geométrica, carece de dimensiones; no tiene longitud, anchura ni partes. Sin embargo, al dividirlo, parecería adquirir precisamente aquello que antes se le había negado: partes y divisibilidad.

Sexto intenta mostrar que los geómetras quedan atrapados entre dos posibilidades igualmente problemáticas. Si el corte evita el punto central, la igualdad desaparece; si atraviesa el punto central, el punto deja de ser indivisible.

Los geómetras sostenían que un círculo podía dividirse en partes iguales, pero Sexto intenta mostrar que esta operación genera dificultades semejantes a las ya vistas anteriormente.

Su razonamiento parte del centro del círculo. Como el centro se encuentra exactamente en medio y es concebido como un punto, cuando se divide el círculo en dos partes iguales solo existen dos posibilidades: o el centro pasa a formar parte de una de las dos secciones, o el centro mismo queda dividido en dos. La primera alternativa produce una desigualdad, porque una de las partes poseería algo que la otra no tendría. La segunda posibilidad le parece todavía más problemática, porque implicaría dividir un punto que, según la doctrina geométrica, es indivisible y carece completamente de dimensiones.

Después Sexto dirige su atención hacia la secante, es decir, la línea que atraviesa otra línea o una figura para dividirla. Pregunta entonces qué naturaleza tiene esa secante: ¿es corporal o incorpórea? Ambas respuestas le parecen problemáticas.

Si la secante fuera incorpórea, no podría tocar ni cortar nada, porque aquello que carece de cuerpo parece incapaz de entrar en contacto con algo. Pero si la secante fuera corporal, aparecería una dificultad diferente: tendría dimensiones y necesitaría a su vez límites propios. La operación que debía resolver el problema terminaría introduciendo nuevos problemas.

Sexto vuelve aquí a una dificultad que atraviesa toda su crítica: la relación entre algo divisible y algo indivisible. Si una línea está formada por puntos sin dimensiones, surge la pregunta acerca de cómo una secante puede atravesarla. Para cortar algo parece necesario atravesar alguna parte real del objeto. Pero un punto, por definición, no posee partes.

La dificultad puede imaginarse con un ejemplo sencillo. Pensemos en una fila continua de piezas perfectamente unidas entre sí, sin espacios vacíos. Si alguien quisiera introducir una cuchilla entre ellas, tendría dos posibilidades: o pasa por el medio de una pieza o pasa entre dos piezas. Pero si las piezas son absolutamente indivisibles, atravesar el medio sería imposible; y si están perfectamente unidas, tampoco parecería haber un espacio entre ellas. Sexto piensa algo parecido respecto a los puntos geométricos.

Más adelante agrega otra objeción: si la secante pasa entre dos puntos continuos, tendría que desplazar aquello que se encuentra entre medio. Pero si los elementos son inmóviles y continuos, ese desplazamiento tampoco parece posible. Así la operación geométrica del corte comienza a resultar cada vez más difícil de explicar.

Al final Sexto concluye que incluso si se concediera la posibilidad de trabajar con líneas visibles y sensibles, seguirían apareciendo dificultades respecto a la sustracción o división exacta de partes. Su intención es mostrar que los geómetras actúan como si cortar una línea fuera algo evidente, pero cuando se examina cuidadosamente el proceso, la aparente simplicidad desaparece.

Conclusión

En Contra los geómetras, Sexto Empírico no pretende destruir las matemáticas como práctica útil, sino cuestionar la seguridad absoluta que los geómetras atribuyen a sus principios. A través de un examen minucioso del punto, la línea, la superficie, el cuerpo, el ángulo y las demostraciones geométricas, intenta mostrar que aquello que parecía evidente y firme descansa sobre conceptos difíciles de justificar y definiciones que muchas veces se apoyan unas en otras. Su conclusión escéptica es que cuando los fundamentos son inciertos, también se debilita el edificio construido sobre ellos; así, la geometría deja de aparecer como una ciencia de certezas indiscutibles y se convierte en una disciplina cuyos principios deben ser examinados con la misma cautela crítica que cualquier otro conocimiento humano.