Ya habíamos visto los triángulos y cuadrados en los apuntes anteriores del libro I y II, y ahora veremos lo que se conoce como las circunferencias. Se dice que las circunferencias son lo más fácil entre las estructuras geométricas y así lo podremos ver en lo breve que son algunas proposiciones hechas aquí por Euclides. Sin embargo, no nos dejemos convencer por esta brevedad, pues algunas de ellas son muy complejas debido al lenguaje y a lo complejo que es el trabajo de traducir el griego antiguo al español. Veamos lo que nos trae Euclides esta vez.
LOS ELEMENTOS
LIBRO III: CIRCUNFERENCIAS
Conceptos básicos
Círculo: figura geométrica donde todos sus puntos equidistan del centro.
Tangente: es una recta que tocando el círculo y siendo prolongada no corta el círculo.
Representemos al círculo en el punto A mientras que la tangente será la recta BΓ.
Proposiciones
Proposición 1:
Hallar el centro de un círculo dado
Primero debemos hallar el centro del círculo ABΓ.
Únase A con B para que se forme una recta con un punto medio Δ y se debe trazar de manera perpendicular a Γ. Luego se debe prolongar ΓΔ hasta el punto E y dividase ΓE en partes iguales en el punto Z.
Luego, como AΔ es igual a ΔB y ΔH es común, los lados HΔ y ΔB son también iguales a AΔ y ΔH.
HΔ y ΔB = AΔ y ΔH
Las rectas HA y HB son iguales puesto que son radios; así, el ángulo AΔH es igual al ángulo HΔB.
Sin embargo, el ángulo HΔB sería recto, al igual que el ángulo ZΔB lo que ocasiona una contradicción. De esta forma, H no podría ser el centro del círculo. Solo podría ser Z el centro del círculo debido a que
sobre este punto pasa la recta que corta perpendicularmente
a AB.
Proposición 2:
Si se toman dos puntos al azar en la circunferencia de un círculo, la recta que une los dos puntos caerá dentro del círculo
Tengamos un círculo ABΓ
Euclides dice que la
recta AB caería dentro del círculo ABΓ.
Supongamos que esto no
fuera así; para esto, se tendrá que agregar un punto E. Luego pongamos en el
centro del círculo un punto Δ para luego formar las rectas ΔA y ΔB, y luego
debe prolongarse Δ hasta Z y de Z hasta E.
Tenemos entonces que ΔA
es igual a ΔB, así el ángulo ΔAE es igual a ΔBE.
Ahora como el ángulo ΔEB
es mayor que el ángulo ΔAE, tenemos al mismo tiempo que ΔAE es igual a ΔBE, lo
que quiere decir que ΔEB es mayor que el ángulo ΔBE.
Así, ΔB debería ser mayor que ΔE, porque al
ángulo mayor lo subtiende el lado mayor. Sin embargo, ΔB es igual a ΔZ, por lo tanto ΔZ es mayor que ΔE, lo cual
es absurdo.
Proposición 3:
Si en un círculo en una recta trazada a través del centro divide en dos partes iguales a otra recta no trazada a través del centro, la corta también formando ángulos rectos; y si la corta formando ángulos rectos, la divide también en dos partes iguales
Tengamos
ABΓ como un círculo y hagamos que Γ trace la recta AB para unir Γcon Δ y formar
la recta ΓΔ. Esta misma recta (ΓΔ) haga el centro de AB añadiendo un punto Z y
poniendo un punto E en el centro del círculo que se conecte con los puntos A y
B.
Así tenemos EA y EB son iguales.
Como vemos, AZ es igual a ZB, y ZE es su lado común. Al mismo tiempo el ángulo AZE es igual al
ángulo BZE que además estos dos son ángulos rectos. La recta que hace estos
ángulos rectos es ΓΔ.
Luego, EAZ es igual al ángulo EBZ, pero el ángulo recto AZE es igual al otro
ángulo recto BZE. Por lo tanto, EAZ y EBZ son dos ángulos que tienen sus lados
iguales, teniendo en común la recta EZ que subtiende a
uno de los ángulos iguales, lo que quiere decir es que AZ es igual a
ZB.
Proposición 4:
Si en un círculo se cortan entre sí dos rectas que no pasan por el centro, no se divide entre sí en dos partes iguales
Tengamos el círculo ABΓΔ, mientras que sus rectas AΓ y BΔ deben cortarse
por el punto E.
Euclides dice que las rectas que no pasan por el centro no pueden dividirse en partes iguales. En otras palabras, la proposición dice que AΓ
dividida por E no está dividida en partes iguales,
Sin embargo , si E fuera el centro de ambas rectas (AΓ y BΔ), también tenemos que el Z es el centro del círculo, por lo tanto trazamos ZE
Así tenemos la recta ZE.
Esta recta hace que el ángulo ZEA sea un ángulo recto, así como también el
ángulo ZEB sería recto (a causa de la proposición 3), lo que hace a estos dos
ángulos iguales.
Sin embargo, esto es imposible pues ZEA es un ángulo menor al ángulo ZEB.
Por lo tanto, ni AΓ ni BΔ se dividen en partes iguales por E porque éste no es
su centro.
Proposición 5:
Si dos círculos se cortan entre sí, su centro no será el mismo
Tengamos dos círculos: ABΓ y ΓΔH, y cortense en los puntos B y Γ.
Euclides dice que los centros de sus círculos no serán los mismos.
Ahora, si esto fuera posible, entonces tengamos E y tracese con Γ y también
con H.
E sería el centro del círculo ABΓ, lo que haría que EΓ sea igual a EZ.
Ahora, E también es el centro del círculo ΓH, lo que haría que EΓ sea igual a
EH, pero al mismo tiempo EZ es igual a EH, lo cual es absurdo pues, EH es mucho
mayor que EZ.
Por lo tanto,si dos círculos se cortan entre sí, su centro no es el mismo.
Proposición 6:
Si dos círculos se tocan uno a otro, su centro no será el mismo
Tengamos dos círculos: ABΓ, ΓΔE uno dentro del otro,
tocándose los dos en el punto Γ.
Euclides dice que si los círculos se tocan, su centro
no sería el mismo.
Ahora si fuese así,tómese un punto Z como el centro de
ambos círculos.
De esta forma, ZΓ sería igual a BZ, y ademá Z sería el
centro de ΓZE, lo que hace que ZΓ sea igual a ZE.
Así, tendríamos que decir que ZΓ es igual a BZ y
también a ZE, lo cual es imposible.
Por lo tanto, tendríamos que decir que como dos
círculos se encuentran en un mismo punto, su centro no será el mismo.
Proposición 7:
Si se toma un punto en el diámetro de un círculo que no sea el centro del círculo y desde él hasta el círculo caen algunas rectas, será la mayor aquella en la que está el centro, y la menor la restante y de las demás la más cercana a la que pasa por el centro es siempre mayor que la más lejana, y sólo caerán dos iguales del punto al círculo a uno y otro lado de la más pequeña
Tengamos un crículo ABΓΔ, siendo su diametro la recta
AΔ y tomese sobre ésta un punto Z. Luego añádase E como el centro del círculo.
También añádase una H para formar rectas como ZB, ZΓ y
ZH.
Euclides dice que ZA es la mayor, ZΔ la menor, y ZB
sería la mayor que ZΓ, y ZΓ mayor que ZH.
ZA > ZΔ
ZB > ZΓ
ZΓ > ZH
Con las rectas trazadas BE, ΓE y HE y trazadas puede
deducirse que EB y EZ son mayores que BZ. Luego como se vio en las proposiciones
anteriores, dos lados son mayores que el
lado restante por lo tanto EB y EZ son mayores que BZ.
EB y EZ > BZ
Como BE es es igual que ΓE, y ZE es común, los lados
BE y EZ son iguales a los dos lados ΓE y EZ.
BE = ΓE
BE y EZ = ΓE y EZ
Ahora, el ángulo BEZ es
mayor a que el ángulo ΓEZ, y así la base BZ es mayor que la base ΓZ, y por lo
mismo ΓZ es también mayor que HZ.
También podríamos decir que los lados HZ y ZE son
mayores que EH, y EH es igual a EΔ, y EΔ es igual a EZ y ZΔ. Ahora si se
quitará de ambas partes EZ, entonces el restante HZ es mayor que el restante
ZΔ.
Por lo tanto, ZA es mayor y ZΔ la menor, ZB mayor que
ZΓ y ZΓ que ZH. Que es lo que Euclides decía en un comienzo.
Adicionalmente, Euclides dice que sólo caerán dos
rectas iguales del punto Z al círculo ABΓΔ a uno y otro lado de la recta más
pequeña que es ZΔ.
Para probar esto, fórmese sobre la recta EZ el ángulo
ZEΘ
De esta forma, ZEΘ será igual al ángulo HEZ.
Así, HE es igual a EΘ mientras que EZ es común a los
dos. Los lados HE y EZ son iguales a los lados ΘE y EZ, y el ángulo HEZ es
igual al ángulo ΘEZ y así, la base ZH es igual a la base ZΘ.
Se dijo que sólo podrían caer dos rectas iguales a una
y otro lado de la recta más pequeña que es ZΔ, y así se hizo pues, ZΘ es igual
a ZH, y EΘ es igual a HE.
Si pudiera darse una tercera, entonces tracese en HZ
una recta que caiga a un punto K y que luego se una con E.
Supongamos que ZH es igual a ZK, así como también ZΘ
es igual a ZH. Si es así, entonces ZK es igual a ZΘ lo cual es absurdo, pues -a
simple vista ZK es mucho mayor que ZΘ y además ZK por estar más cercana al
centro de la circunferencia será mayor a ZT, la cual está más lejos.
Así, una recta que caiga al por abajo del diámetro del
círculo, no podrá ser igual que la recta que va por arriba del diámetro.
Proposición 8:
Si se toma un punto exterior a un círculo y del punto al círculo se trazan algunas rectas, una de las cuales pasa por el centro y las demás al azar, de las rectas que caen por la parte cóncava de la circunferencia, la mayor es la que pasa por el centro, y de la demás siempre de la más cercana a la que pasa por el centro es mayor a la más lejana; pero de las que caen en la parte convexa de la circunferencia la menor es la que está entre el punto y el diámetro, y de las demás la más cercana a la más pequeña es siempre menor que la más lejana, y sólo caeran dos iguales del punto al círculo a uno y otro lado de la más pequeña
Tengamos un círculo ABΓ y tómese un punto exterior que
sea Δ al círculo ABΓ. También agreguemos un punto Z al lado izquierda del
círculo, junto con un punto E debajo de este, y que Δ una el resto de los
puntos de la siguiente manera:
ΔA ( que pasará por el centro formando el diámetro de
la
circunferencia )
ΔE
ΔZ
ΔΓ
La parte cóncava de la circunferencia es la parte AEZΓ
tiene las siguientes rectas:
La recta mayor es AΔ y pasa por el centro.
ΔE es mayor que ΔZ
ΔZ es mayor que ΔΓ
La parte convexa de la circunferencia es la parte ΘΛKH
tiene las siguientes rectas:
La recta menor es ΔH que está entre el punto y el
diámetro AH.
AH es mayor que ΔH
ΔH es menor que ΔK
ΔK es menor que ΔΛ
ΔΛ es menor que ΔΘ
Ahora pongamos el punto M en el centro del círculo
ABΓ.
En consecuencia deberíamos formar la siguientes
rectas:
ME
MZ
MΓ
MK
MΛ
MΘ
Bajo este respecto, AM es igual a EM, ahora añadamos
a ambas MΔ
.
De esta forma, AΔ es igual a AM y MΔ, y como AM es
igual a EM, entonces AΔ es mayor que EΔ.
ME es igual a MZ, mientras que MΔ es común entre
ellos. Por otro lado podríamos decir que EM y MΔ son iguales a ZM y MΔ. El
ángulo EMΔ es mayor que el ángulo ZMΔ, dando a entender que la base EΔ es mayor
que la base ZΔ.
De la misma forma, ZΔ es mayor que ΓΔ.
ΔA es mayor que ΔE
ΔE es mayor que ΔZ
ΔZ es mayor que ΔΓ
Como MK y KΔ son mayores
que MΔ, MK es igual a MH y MΔ es igual a MH y HΔ de ambos lados se quita MH
quedándonos que la restante KΔ es mayor que la restante HΔ
Ahora, en un triángulo MΛΔ se han construido dos
rectas: MK y KΔ que se encuentran en su interior. Luego MK y KΔ son menores que
MΛ y ΛΔ, pero MK es igual a MΛ; por lo tanto, ΔK es menor que ΔΛ.
De este modo, ΔΛ es menor que ΔΘ, y así ΔH es la
menor, mientras que ΔK es menor que ΔΛ, y ΔΛ a ΔΘ.
ΔΛ < ΔΘ
ΔK < ΔΛ
Dos rectas iguales caerán del punto Δ al círculo a uno
y otro lado de la menor ΔH
Tengamos la recta MΔ y en su punto M el ángulo ΔMB
igual la ángulo KMΔ y trácese ΔB.
MK sería igual a MB, y MΔ común a los dos.
KM y MΔ son iguales a BM y MΔ.
KMΔ es igual a BMΔ lo que hace que la base ΔK es igual
a la base ΔB.
No caerá otra recta igual a la recta ΔK hasta el
círculo desde el punto Δ.
De otro modo, si fuera posible que cayera otra recta
igual a la recta ΔK, entonces hágase un punto N que a su vez será unido con Δ
para formar la recta ΔN.
Si fuera así entonces ΔK sería igual a ΔN.
ΔK sería igual a ΔB.
ΔB sería igual a ΔN.
Sin embargo, el problema
estriba en que ΔB es la que está más cerca de ΔH y ΔN está más lejos, y por lo
que vimos anteriormente en la parte convexa del círculo, mientras más se aleje
una recta de la menor(ΔH), esta será mayor que la anterior, por lo tanto ΔN es
mayor a ΔB y no igual.
Proposición 9:
Si se toma un punto dentro del círculo y del punto al círculo caen más de dos rectas iguales, el punto tomado es el centro del círculo
Tengamos un círculo ABΓ y sea Δ su centro. Desde este
deben caer tres rectas iguales: ΔA, ΔB y ΔΓ.
Divídase AB y BΓ en dos partes iguales por los puntos
E y Z., y al estar trazadas EΔ y ZΔ entonces prolonguese la recta ΔE hasta K y
EΔ hasta H. Por otro lado, prolónguese la recta ZΔ hasta Θ, y ΔZ hasta Λ.
Como AE es igual a EB, y EΔ es común, los dos lados AE
y EΔ son iguales a los dos lados BE y EΔ, y la base ΔA es igual a la base ΔB.
El ángulo AEΔ y el ángulo BEΔ son iguales debido a que
estos ángulos son rectos.
De esta forma, HK divide AB en dos partes iguales
formando ángulos rectos, además de tener la ubicación del centro del círculo.
Igualmente, el centro del círculo también está en ΛΘ.
En otras palabras, Δ sería el centro del círculo y
esto nos lo indica HK y ΛΘ.
Proposición 10:
Un círculo no corta a otro círculo en más de dos puntos
Tengamos un círculo ABΓ y
un círculo ΔEZ.
Ahora completemos el círculo con HΘ y unamos B.
Ahora, una vez creadas
las rectas BH y BΘ, dividanse las dos partes del círculo usando el punto K y Λ.
Luego, a partir del punto K tracese la recta hasta el punto Γ, y con Λ se hará lo mismo con el punto M.
Así tenemos que la recta
AΓ divide la recta BΘ en dos partes formando ángulos rectos. Así, el centro del
círculo ABΓ está en la recta AΓ.
Ahora, en la recta ME
añadamos un punto N y otro punto Ξ.
Así, NΞ divide la recta
BH formando ángulos rectos y así el centro del círculo ABΓ también está en NΞ,
y también en la recta AΓ, por lo tanto, añadamos en el centro un punto O.
El punto O sería el
centro de dos círculos: ABΓ y ΔEZ lo cual es imposible. Así, un círculo no
corta a otro en más de dos puntos.
Proposición 11:
Si dos círculos se tocan uno a otro por dentro y se toman sus centros, la recta que une sus centros prolongada caerá sobre el punto de contacto de los dos círculos
Tengamos
dos círculos: ABΓ y AΔE que se tocan justo en el punto A. En los dos círculos
tengamos dos centros determinados:
ABΓ: Z
AΔE: H
Así los dos
círculos se tocan en A tal como se
muestra en la imagen.
La recta
trazada de H a Z caerá prolongada hacia
A.
Supongamos
que no sea posible que la recta trazada de H a Z no cayera prolongada hacia A.
En este respecto, entonces fórmese el punto Θ para crear la recta ZHΘ, para
luego trazar AZ y AH.
De esta
forma, como HZ y AH son mayores que ZA, Si le quitamos a ambos lados la recta HZ no queda que AH es mayor
que HT, y como AH es igual a HD(porque H es el centro) quedaría que HD es mayor
que HT lo cual es imposible. Quítese de
cada una ZH, entonces la restante AH es mayor que HΘ lo cual es imposible (a
simple vista).
Proposición 12:
Si dos círculos se tocan uno a otro por fuera, la recta que une sus centros pasará a través del punto de contacto
Tengamos dos círculos que sean ABΓ y AΔE; el primero tendrá un centro Z, mientras que el otro tendrá un centro H.
Euclides dice que la recta une los centros de ambos círculos pasará por el punto de contacto entre estos dos, o sea el punto A.
Supongamos que esto no es así y tengamos una recta ZΓΔH y tracense AZ y AH.
En este sentido ZA sería igual a ZΓ como se ve en la imagen, así como HΔ es igual a HA.
De este modo, ZA y AH son iguales a ZΓ y HΔ, de modo que ZH es mayor que ZA y AH, pero también sería menor si recordamos la proposición 20 del primer libro de Euclides, donde los dos lados de un triángulo son mayores que el restante. Por lo tanto, que ZH sea mayor que sus lados ZA y AH es imposible.
Así, dos círculos (ABΓ y AΔE) que se tocan por fuera, la recta que une sus centros (ZH) pasará por el punto de contacto (A).
Proposición 13:
Un círculo no toca a otro círculo en más de un punto, ya sea por dentro o por fuera
Tengamos un círculo ABΓΔ y EBZΔ que se toquen en más de un punto como en Δ y B.
Ahora debemos trazar una recta en BΔ para formar HΘ; para finalmente conformar la recta BHΘΔ siendo H su centro (por suposición).
Suponiendo que H es el centro de ABΓΔ y Θ era el centro del círculo EBZΔ, entonces BH sería igual a HΔ (tomando en cuenta que H es el centro del círculo y Δ estaba en el extremo derecho del círculo).
Sin embargo, tenemos que decir que BH es mayor que ΘΔ, así como también BΘ también es mayor a ΘΔ. Suponiendo que Θ también sea el centro del círculo, BΘ sería igual a ΘΔ, lo cual es imposible pues dijimos que BΘ es mayor a ΘΔ.
Con esto se demuestra que un círculo que está al interior de otro, no lo pueden tocar en más de un punto.
Ahora, Euclides dice que tampoco se toca por fuera.
Si fuera así, entonces fórmese el círculo AΓK y toque al círculo ABΓΔ por fuera en más de un punto. Sean estos A y Γ y trazar AΓ.
La recta AΓ caerá dentro de los dos círculos como supusimos que sería. Pero si AΓ pertenece al círculo ABΓΔ, entonces debería estar fuera del círculo AΓK lo cual es absurdo, pues la recta AΓ pertenece al círculo AΓK.
Esto demuestra que dos círculos no se pueden tocar en dos puntos ya sea por fuera o por dentro.
Proposición 14:
En un círculo las rectas iguales están a la misma distancia del centro, y las que están a la misma distancia del centro son iguales entre sí
Suponiendo que H es el centro de ABΓΔ y Θ era el centro del círculo EBZΔ, entonces BH sería igual a HΔ (tomando en cuenta que H es el centro del círculo y Δ estaba en el extremo derecho del círculo).
Sin embargo, tenemos que decir que BH es mayor que ΘΔ, así como también BΘ también es mayor a ΘΔ. Suponiendo que Θ también sea el centro del círculo, BΘ sería igual a ΘΔ, lo cual es imposible pues dijimos que BΘ es mayor a ΘΔ.
Con esto se demuestra que un círculo que está al interior de otro, no lo pueden tocar en más de un punto.
Ahora, Euclides dice que tampoco se toca por fuera.
Si fuera así, entonces fórmese el círculo AΓK y toque al círculo ABΓΔ por fuera en más de un punto. Sean estos A y Γ y trazar AΓ.
La recta AΓ caerá dentro de los dos círculos como supusimos que sería. Pero si AΓ pertenece al círculo ABΓΔ, entonces debería estar fuera del círculo AΓK lo cual es absurdo, pues la recta AΓ pertenece al círculo AΓK.
Esto demuestra que dos círculos no se pueden tocar en dos puntos ya sea por fuera o por dentro.
Proposición 14:
En un círculo las rectas iguales están a la misma distancia del centro, y las que están a la misma distancia del centro son iguales entre sí
Tengamos el círculo ABΓΔ y sean iguales en el las rectas AB y ΓΔ.
Euclides dice que AB y ΓΔ están a la misma distancia del centro del círculo.
De ser así, entonces tómese el centro del círculo como punto E y trácese con H y Z de manera perpendicular en las rectas BA y ΔΓ. Luego tracese AE y EΓ.
EZ cae perpendicular a la recta AB por lo que forma ángulos rectos. Por otro lado, AZ es igual que ZB y luego AB es el doble que AZ.
Luego, de la misma forma, ΓΔ es también doble de ΓH, así como AB es igual a ΓΔ. AE es igual a ΓE porque E es el centro.
Ahora, los cuadrados AZ y EZ son iguales a AE porque el ángulo de Z es recto. También los cuadrados de EH y HΓ son iguales a EΓ porque el ángulo de H es recto.
Esto nos dice que AZ y EZ son iguales a ΓH y HE, en los cuales los cuadrados de AZ y ΓH son iguales y los restantes EZ y EH también son iguales. Por lo tanto, AB y ΓΔ están a la misma distancia del centro.
Euclides también dice que AB y ΓΔ son iguales.
Sabemos que AB es el doble de AZ y ΓΔ (que es el doble de ΓH) y el cuadrado AE es igual al cuadrado ΓE. Pero también se decía que EZ y ZA son iguales al cuadrado de AE y los cuadrados de EH y HΓ son iguales al cuadrado de ΓE.
Por lo tanto, los cuadrados EZ y ZA son iguales a los cuadrados EH y HΓ de los cuales EZ es igual a EH.
El cuadrado de AZ es el restante igual que el cuadrado de HΓ, y así AZ es igual a ΓH y AB es el doble de AZ y ΓΔ es el doble de ΓH por tanto AB es igual a ΓΔ.
Así, si dos rectas iguales están a la misma distancia del centro son iguales, y si están a la misma distancia del centro son iguales también.
Proposición 15:
En un círculo el diámetro es la recta mayor y de las demás, la más cercana al centro es siempre mayor que la más lejana
Tengamos un círculo ABΓΔ y que AΔ sea su diámetro. Luego unase B y Γ para formar la recta BΓ que será la más cercana al centro, y por otro lado crease ZH que será la más lejana al centro.
Euclides dice que AΔ es la mayor, BΓ es mayor que ZH siendo esta última la menor.
Para comprobar esto, tracemos las rectas EΘ y EK perpendiculares a BΓ y ZH.
Euclides dice además que entre la recta AE y la recta ΓΘA no se puede interponer otra recta.
Si esto fuera posible, entonces agréguese la recta ZA, y luego se debe trazar la recta ΔH perpendicular a la recta a ZA.
Como el ángulo AHΔ es recto y el ángulo ΔAH es menor que un recto, entonces AΔ es mayor que ΔH.
Sin embargo, ΔA es igual a ΔΘ y ésta sería mayor que ΔH, lo cual es imposible.
Euclides dice además que el ángulo del semicírculo, comprendido por la recta BA y la circunferencia ΓΘA es mayor que cualquier ángulo rectilíneo agudo, y el restante, comprendido por la circunferencia ΓΘA y la tercera es AE es menor que cualquier ángulo agudo.
Pensemos en un ángulo rectilíneo es mayor que el ángulo comprendido por la recta BA y la circunferencia ΓΘA, pero menor que el comprendido por la circunferencia ΓΘA y la recta AE, en el espacio entre la circunferencia ΓΘA y la recta AE se interpondrá una recta que hará mayor el ángulo comprendido por la recta BA y la circunferencia ΓΘA.
Pero ya habíamos demostrado en la segunda parte de esta proposición que la recta ZA no se interpone y por lo tanto BA y ΓΘA es mayor que cualquier ángulo rectilíneo y ΓΘA es menor que cualquier ángulo rectilíneo.
Proposición 17:
Desde un punto dado trazar una línea recta tangente a un círculo dado
Tengamos un punto dado A y un círculo BΓΔ, desde el punto A debemos generar una tangente en el círculo BΓΔ.
Ahora generemos el punto E que será el centro del círculo, y tracemos AE y con esta recta construyamos el círculo AZH. Luego, a través de Δ trácese con el punto Z formando ángulos rectos con EA, para finalmente tener ΔZ y AB toque el círculo mismo BΓΔ.
Como E es el centro de los círculos BΓΔ y AZH, entonces EA es igual a EZ, mientras que EΔ es igual a EB.
De esta forma, AE y EB son iguales a los lados ZE y EΔ y comprenden un ángulo común correspondiente a E.
Por tanto, la base ΔZ es igual a la base AB, y el triángulo ΔEZ es igual al triángulo EBA.
Sin embargo, los ángulos EΔZ y EBA son rectos. Y siendo que EB es el radio del círculo y recordando que el extremo de un diámetro de un círculo que forma ángulos rectos toca el circulo, entonces debemos decir que la recta AB es la tangente del círculo BΓΔ que es lo que se quería demostrar.
Proposición 18:
Si una recta toca un círculo, y se traza desde el centro hasta el punto de contacto, la recta trazada será perpendicular a la tangente
Tengamos un círculo ABΓ y que una recta ΔE, que será la tangente, tocara al círculo en su punto Γ.
Luego añadamos el punto Z que será el centro del círculo ABΓ, y luego desde Z construyamos la recta ZΓ.
Euclides dice que la recta ZΓ es perpendicular a la recta ΔE
De no ser así, entonces tracemos desde el punto Z, ZH que será perpendicular a la recta ΔE.
El ángulo ZHE es recto y el ángulo ZΓH es agudo. De esta forma, ZΓ es mayor que ZH, pero ZΓ es igual a ZB, por lo tanto ZB sería mayor a ZH lo cual es imposible.
Como conclusión, la recta que se trazó desde el centro hasta el punto de contacto entre ΔE y el círculo, es decir, ZΓ será perpendicular a ΔE.
Proposición 19:
Si una recta toca un círculo, y desde el punto de contacto se traza una línea recta formando ángulos rectos con la tangente, el centro del círculo estará en la recta trazada
Tengamos un círculo ABΓ y que una recta ΔE, que será la tangente, tocará al círculo en su punto Γ, y desde Γ tracese la recta ΓA formando ángulos rectos con ΔE.
Euclides dice que el centro del círculo se encontrará en AΓ.
Supongamos que esto no es así y digamos que el punto Z sea el centro y que éste se una con Γ.
Tendríamos en este sentido ZΓ es perpendicular a ΔE y así el ángulo ZΓE es recto.
Sin embargo, AΓE también es recto lo cual supone que ZΓE y AΓE son iguales al ser los dos ángulos rectos lo cual es imposible, ya que visiblemente se ve que ZΓE es menor que un ángulo recto, a pesar de que se suponga que Z fuera el centro.
Esto demuestra que Z no es el centro del círculo, y que el único centro que puede haber en el círculo está en la recta AΓ.
Proposición 20:
En un círculo, el ángulo correspondiente al centro es el doble del correspondiente a la circunferencia cuando los ángulos tienen como base la misma circunferencia
Tengamos el círculo ABΓ con un centro E, y que al mismo tiempo el ángulo BEΓ forme el ángulo del centro. Por otro lado, tendremos el ángulo BAΓ perteneciente a la circunferencia, teniendo como base BΓ.
Euclides nos dice que el ángulo BEΓ es el doble del ángulo BAΓ
Entonces tracemos una recta desde A, pasando por E hasta Z.
Como AE es igual a EB, el ángulo EAB es igual también a EBA, por tanto cuando EAB y EBA se juntan y hacen el doble de EAB.
Sin embargo, el ángulo BEZ es igual a los ángulos EAB y EBA, lo que significa que BEZ es el doble de EAB. ´
De la misma forma, el ángulo ZEΓ es el doble del ángulo EAΓ, y luego el ángulo entero BEΓ es el doble del ángulo recto BAΓ.
Ahora creemos un punto Δ que se una con el centro E y se prolongue hasta H. Formemos de esta manera el ángulo BΔΓ.
Así el ángulo HEΓ es el doble del ángulo EΔΓ de cuyas partes el ángulo HEB es el doble del ángulo EΔB, por tanto el ángulo BEΓ es el doble de BΔΓ.
Por conclusión se demuestra que el ángulo correspondiente al centro (BEΓ) es el doble del correspondiente a la circunferencia (BAΓ).
Proposición 21:
En un círculo los ángulos en el mismo segmento son iguales entre sí
Tengamos un círculo ABΓΔ y en el mismo segmento BAEΔ se encuentren los ángulos BAΔ y BEΔ.
Euclides dice que los ángulos BAΔ y BEΔ son iguales.
Entonces hágase un punto Z y trácese BZ en el mismo círculo al igual que ZΔ.
El ángulo BZΔ es el que corresponde al centro del círculo y el ángulo BAΔ el que corresponde a la circunferencia. Como base, los dos tienen la circunferencia BΓΔ y así el ángulo BZΔ es el doble del ángulo BAΔ, y luego BZΔ es el doble de BEΔ.
Esto prueba que el ángulo BAΔ es igual al ángulo BEΔ.
Proposición 22:
Los ángulos opuestos de los cuadriláteros en los círculos son iguales a dos rectos
Tengamos un círculo ABΓΔ, y tengamos un cuadrilátero en el mismo círculo ABΓΔ. Luego trácese AΓ y BΔ.
Los tres ángulos: ΓAB, ABΓ y BΓA del triángulo ABΓ son iguales a dos rectos.
Sin embargo, el ángulo ΓAB es igual al ángulo BΔΓ porque están en el mismo segmento de BAΔΓ, mientras que el ángulo AΓB es igual al ángulo AΔB porque están en el mismo segmento AΔΓB.
Por lo tanto, en el ángulo entero AΔH es igual a los ángulos BAΓ y AΓB. Ahora le agregamos a ambos lados de la igualdad de ángulo ABΓ. De este modo, ABΓ y AΔΓ son también iguales a dos rectos. Esto es lo que Euclides quería demostrar, pues ABΓ y AΔB son los lados opuestos del círculo.
Así, los ángulos ABΓ, BAΓ y AΓB son iguales, mientras que estos mismos ángulos son también iguales a dos rectos.
Proposición 23:
Sobre la misma recta no se podrán construir dos segmentos circulares semejantes y desiguales en el mismo lado
Tengamos una recta AB donde se construyan dos segmentos circulares semejantes y desiguales en el mismo lado (AΓB y AΔB).
Al mismo tiempo, trácese BΓ y ΔB.
Se supone que si es posible construir dos segmentos circulares semejantes y desiguales, entonces deberíamos decir que AΓB y ABΔ son iguales lo cual es imposible porque el ángulo exterior no puede ser igual al opuesto.
Proposición 24:
Los segmentos circulares semejantes que están sobre rectas iguales son iguales entre sí
Tengamos dos segmentos circulares AEB y ΓZΔ.
Euclides dice que el segmento AEB es igual a ΓZΔ, pues AB es igual a ΓΔ lo que hará coincidir todos los puntos de ambos segmentos circulares.
Si los segmentos no coinciden al ser unidos, entonces uno de los dos debe estar afuera de uno o dentro de otro siendo desiguales. La única forma que estos segmentos puedan ser desiguales es que AB coincida con ΓΔ, pero que AEB no coincida con ΓZΔ lo que formaría un segmento ΓHΔ el cual es imposible de hacer, ya que un círculo o corta a otro en más de dos puntos.
Pero esto sería formar otro segmento circular diferente a AEB, lo cual no está dentro de la demostración. Por lo tanto, los segmentos circulares que está sobre rectas iguales será iguales entre sí.
Proposición 25:
Dado un segmento de círculo completar el trazado del círculo del que es segmento
Tengamos el segmento de un círculo dado ABΓ.
Dividamos en dos partes iguales la recta AΓ añadiendo un punto Δ, entre ellos. Luego trácese una recta ΔB para formar ángulos rectos con AΓ y luego trácese AB.
Euclides nos dice que el ángulo ABΔ puede ser mayor, igual o menor que el ángulo BAΔ.
ABΔ Mayor
Pensemos que en primer lugar es mayor. Si es así, entonces construyase el punto E que se prolongara de BΔ.
De este modo se construirá el ángulo BAE igual al ángulo ABΔ y unase E con Γ.
Si el ángulo ABE es igual que BAE entonces la recta EB es igual a EA. Luego, AΔ es igual que ΔΓ, y ΔE es común, y si esto es así, entonces AΔ y ΔE son iguales respectivamente a los dos lados ΓΔ y ΔE.
Así, el ángulo AΔE es igual al ángulo ΓΔE porque cada uno de ellos es recto; lo que deja como conclusión que la base AE es igual a la base ΓE.
Y si esto es así, BE es también igual a ΓE porque AE es igual a BE, lo que hace las tres rectas iguales entre sí (BE = ΓE = AE) y que E sea el centro de la circunferencia.
De esta forma se tiene que a partir del segmento ABΓ se trazará el resto del círculo siendo ABΓ menor que el segmento restante,
ABΔ igual
Si el ángulo ABΔ es igual al ángulo BAΔ, entonces la base AΔ y BΔ, ΔΓ y así las tres serán iguales entre sí (AΔ = BΔ = ΔΓ).
En este caso, ABΓ sería un semicírculo ya que Δ es el centro del círculo.
ABΔ menor
Si ABΔ fuera menor que BAΔ, entonces el centro E caerá dentro del segmento ABΓ, ya que si trazamos AE y creamos un ángulo en el punto A igual a ABΔ, las rectas AE y BE serían iguales lo que hace a E centro del círculo.
De este modo, ABΓ será mayor que el semicírculo.
Proposición 26:
En los círculos iguales los ángulos iguales están sobre las circunferencias iguales, ya estén en los centros o en las circunferencias.
Tengamos ABΓ y ΔEZ círculos iguales y que en ellos se encuentren los ángulos iguales BHΓ y EΘZ en los centros, y en las circunferencias los ángulos iguales BAΓ y EΔZ.
Dice Euclides que BKΓ y EΛZ son iguales como circunferencias.
Como los círculos ABΓ y ΔEZ son iguales, sus radios también son iguales.
De este modo, las dos rectas BH y HΓ son iguales a EΘ y ΘZ, así como el ángulo correspondiente a Θ y H también son iguales. De igual manera sería la base BΓ a la base EZ y así como también el ángulo de A es igual al ángulo de Δ.
Tenemos que el ángulo BAΓ es igual a EΔZ lo que quiere decir que las circunferencias BAΓ y EΛZ sean iguales, y, siguiendo el planteamiento de la proposición 24, tenemos que las circunferencias BKΓ y EΛZ sean iguales porque están sobre las rectas iguales BΓ y EZ.
Así se demuestra que los círculos y los ángulos están sobre circunferencias iguales.
Proposición 27:
En los círculos iguales, los ángulos que están sobre circunferencias iguales son iguales entre sí, ya estén en los centros o en las circunferencias.
Tengamos dos círculos iguales que sean ABΓ y ΔEZ, Y sobre las circunferencias iguales BΓ y EZ estén los ángulos BHΓ y EΘZ. Que los centros sean H y Θ y las otras circunferencias BAΓ y EΔZ.
Euclides dice que el ángulo BHΓ es igual al ángulo EΘZ, mientras que el ángulo BAΓ es igual al ángulo EΔZ.
Si esto no fuera así, establezcamos la idea de que BHΓ no es igual a EΘZ, siendo BHΓ mayor. Construyase entonces un punto K para formar el ángulo BHK.
Digamos que BHK es igual a EΘZ para entender así que BHΓ es mayor que el otro ángulo EΘZ.
Sin embargo, los ángulos iguales están sobre circunferencias iguales cuando están en los centros (proposición 26). Por lo tanto, la circunferencia BK es igual a la circunferencia EZ.
No obstante EZ es igual a BΓ y así BK sería igual a BΓ, lo cual es imposible porque BΓ es claramente mayor. Por lo tanto, los ángulos BHK y EΘZ no son desiguales.
Como BHΓ es igual a EΘZ, entonces los ángulos en A y en Δ, que son la mitad de BHΓ y EΘZ, A y Δ son iguales.
Proposición 28:
En los círculos iguales las rectas iguales cortan circunferencias iguales, la mayor (igual) a la mayor y la menor a la menor.
Tengamos dos círculos iguales: ABΓ y ΔEZ, y que en estos círculos estén las rectas iguales AB y ΔE que cortan como circunferencias mayores AΓB y ΔZE, y como menores a AHB y ΔΘE.
Euclides dice que la circunferencia mayor AΓB es igual a la circunferencia mayor ΔZE, y la circunferencia menor AHB a la circunferencia ΔΘE.
Para comprobar esto, tómese K como centro del primer círculo y Λ como centro del segundo círculo.
De aquí se formarían las siguientes rectas:
AK
KB
ΔΛ
ΛE
Como estos son círculos iguales, entonces tendríamos que decir que AK y KB son iguales, lo mismo que ΔΛ y ΛE.
La base ΔE es igual a la base AB y esto da como resultado que el ángulo AKB sea igual a ΔΛE.
Los ángulos que son iguales y que están sobre las circunferencias iguales, serán iguales en cuanto a que están en el centro. Así la circunferencia AHB es igual a la circunferencia ΔΘE, así como el círculo entero ABΓ es también igual al círculo entero ΔEZ. Finalmente, la circunferencia restante AΓB es igual a la circunferencia restante ΔZE.
Proposición 29:
En los círculos iguales las rectas iguales subtienden circunferencias iguales
Tengamos ABΓ y ΔEZ como círculos iguales y en ellos cortense las circunferencias iguales BHΓ y EΘZ, y tracense las rectas BΓ y EZ.
Euclides dice que BΓ es igual a EZ
La circunferencia BHΓ es igual a la circunferencia EΘZ y el ángulo BKΓ es igual al ángulo EΛZ.
Como los ángulos ABΓ y ΔEZ son iguales, sus radios también son iguales.
Las rectas BK y KΓ son iguales a las dos rectas EΛ y ΛZ, y comprenden ángulos iguales, por tanto la base BΓ es igual a la base EZ.
Proposición 30:
Dividir en dos partes iguales una circunferencia dada
Tengamos AΔB como una circunferencia dada.
Divídase en dos partes la circunferencia dada a través de la recta ΔΓ.
Como AΓ es igual a ΓB, y ΓΔ es común, los dos lados AΓ y ΓΔ son iguales a los dos lados BΓ y ΓΔ.
El ángulo AΓΔ es igual al ángulo BΓΔ porque cada uno de ellos es recto. Así la base AΔ es igual a la base ΔB.
Las circunferencias AΔ y ΔB es menor que un semicírculo, por tanto, la circunferencia AΔ es igual a la circunferencia ΔB. Todo esto de acuerdo a la proposición 28 de este mismo libro donde se indica que una recta corta a dos circunferencias menores iguales y dos mayores iguales.
Como AΔ y ΔB son menores que un semicírculo, son iguales entre sí.
Proposición 31:
En un círculo el ángulo en el semicírculo es recto, el ángulo en el segmento mayor es menor que un recto, el ángulo en el segmento menor es mayor que un recto; y además el ángulo del segmento mayor es mayor que un recto y el ángulo del segmento menor es menor que un recto.
Tengamos un círculo ABΓΔ en el cual la recta BΓ sea su diámetro y su centro el punto E.
Euclides dice que el ángulo BAΓ en el semicírculo BAΓ es recto, y el ángulo ABΓ en el segmento ABΓ mayor que el semicírculo es menor que un recto, y el ángulo AΔΓ en el segmento AΔΓ menor que el semicírculo es mayor que un recto.
Para comprobarlo, tracemos AE, y prolonguemos BA hasta Z.
Como BE es igual a EA el ángulo ABE es también igual al ángulo BAE. A su vez ΓE es igual a EA, lo que indica que el ángulo AΓE es igual al ángulo ΓAE.
Por lo tanto, el ángulo entero BAΓ es igual a los dos ángulos ABΓ y AΓB.
Sin embargo, el ángulo ZAΓ, que es exterior a al triángulo ABΓ, es igual a los ángulos ABΓ y AΓB. Así el ángulo BAΓ es igual al ángulo ZAΓ, por lo cual nos da a entender que BAΓ en el semicírculo BAΓ es recto.
Por otro lado, tenemos que el ángulo ABΓ y BAΓ del triángulo ABΓ son menores que dos rectos y el ángulo BAΓ es recto. Así, el ángulo ABΓ es menor que un recto y está en el segmento ABΓ mayor que el círculo.
Como ABΓΔ es un cuadrilátero en un círculo, y los ángulos opuestos del cuadrilátero son iguales a dos rectos, y el ángulo ABΓ es menor a un recto, entonces el ángulo restante AΔΓ es mayor que un recto, y está en el segmento AΔΓ menor que el semicírculo.
El ángulo del segmento mayor que está comprendido en la circunferencia ABΓ y la recta AΓ es mayor que un recto, mientras que el ángulo del segmento menor que se comprende por la circunferencia AΔΓ y la recta AΓ es menor que un recto.
Esto es así, ya que el ángulo comprendido por las rectas BA y AΓ es recto, lo que prueba que la circunferencia ABΓ y la recta AΓ es mayor que un recto. Finalmente, el ángulo comprendido por las rectas AΓ y AZ es recto, y entonces el comprendido por la recta ΓA y la circunferencia AΔΓ es menor que un recto.
Proposición 32:
Si una recta toca un círculo, y desde el punto de contacto hasta el círculo se traza una recta que corte el círculo, los ángulos que forma con la recta tangente serán iguales a los ángulos en los segmentos alternos del círculo.
Tengamos una recta EZ que toque al círculo ABΓΔ en el punto B y partir de éste punto hacer una recta BΔ que corte el círculo.
Euclides dice que los ángulos que se forman a partir de la recta BΔ y la tangente EZ serán rectos, y serán iguales a los ángulos de los segmentos alternos del círculo; es decir, el ángulo ZBΔ es igual al ángulo construido en el segmento BAΔ, mientras que el ángulo EBΔ es igual al ángulo construido en el segmento ΔΓB.
La recta BA forma ángulos rectos con la tangente EZ y es en esa recta (BA) donde se encuentra el centro del círculo. Como consecuencia, podríamos decir que BA es el diámetro del círculo ABΓΔ.
Los ángulos BAΔ y ABΔ son iguales a un recto, ya que el ángulo AΔB es el ángulo del semicírculo. Sin embargo, el ángulo ABZ es recto, lo que da que el ángulo ABZ sea igual a los ángulos BAΔ y ABΔ.
Luego, quítese de los dos ángulos BAΔ y ABΔ, el ángulo ABΔ y quedaría como ángulo restante ΔBZ que sería igual al ángulo BAΔ en el segmento alterno del círculo.
No obstante, los ángulos ΔBZ y ΔBE son iguales a dos rectos, lo que significa que estos ángulos son iguales a los ángulos BAΔ y BΓΔ. Por lo tanto,si quitamos de ambos lados los ángulos ΔBZ y BAΔ, ya que son iguales, así el ángulo ΔBE es igual al ángulo BΓΔ en el segmento externo del semicírculo ΔΓB.
Proposición 33:
Sobre una recta dada, describir un segmento de un círculo que admita un ángulo igual a un ángulo rectilíneo dado
Tengamos una recta AB dentro de segmento de un círculo y un ángulo rectilíneo dado.
El ángulo que corresponde a Γ es agudo, recto u obtuso. La idea es insertar el ángulo Γ dentro del círculo donde está la recta AB. Veamos primero cómo sería si el ángulo Γ fuera agudo.
Γ ángulo agudo
Formemos una recta AΔ en la parte superior del círculo para formar un ángulo agudo. Este ángulo sería BAΔ y correspondería justamente al ángulo rectilíneo dado Γ.
Luego tracemos AB y dividamos en dos partes iguales esta misma recta en el punto Z. Posteriormente, desde Z tracemos la recta H que dividirá la recta AE y luego tracese H con B.
Como AZ es igual a ZB, y ZH es común, los dos lados AZ y ZH son iguales a los dos lados BZ y ZH, y el ángulo AZH es igual al ángulo BZH. Luego, la base AH es igual a la base BH.
Por otro lado, el círculo con el centro H y la distancia HA pasará por B. Así, como AΔ forma ángulos rectos con AE a partir del extremo A del diámetro AE. Entonces si AΔ toca el círculo ABE, entonces tenemos que el ángulo ΔAB es igual al ángulo AEB en el segmento alterno del círculo.
Finalmente, podríamos decir que en el ángulo AEB también se encuentra el ángulo rectilíneo dado Γ, ya que Γ estaba en ΔAB y ΔAB es igual a AEB.
Γ ángulo recto
Tengamos el ángulo rectilíneo dado Γ, pero esta vez como un ángulo recto, además de tener la recta AB que corresponderá a un segmento de un círculo que admita a su vez el ángulo recto Γ.
Luego tracese AE en el extremo izquierdo del círculo para luego dividir la recta AB en dos partes iguales por Z.
La recta AΔ toca el círculo ABE por ser recto el ángulo correspondiente a A. El ángulo BAΔ es igual al ángulo en el segmento AEB porque siendo un ángulo en un semicírculo también él es recto.
De esta forma, BAΔ y AEB es correspondiente al ángulo Γ.
Γ ángulo obtuso
Para hacer que el ángulo obtuso Γ pudiera entrar en un círculo, tengamos una recta AB para que se junte con AΔ para formar el ángulo BAΔ.
Dividase AB por el punto Z en partes iguales, y luego desde Z se debe hacer una recta ZH, y que al mismo tiempo el punto H divida AE en dos partes. Luego trácese H hasta B.
AZ es igual a AB, y ZH es la común, mientras que los dos lados AZ y ZH son iguales a los dos lados BZ y ZH.
El ángulo AZH es igual al ángulo BZH,y por esto, la base AH es igual a la base BH.
Como AΔ forma ángulos rectos con el diámetro AE a partir de un extremo, y así, AΔ es tangente al círculo AEB.
Por lo tanto, el ángulo BAΔ es igual al segmento alterno del círculo AΘB. Finalmente, tenemos que BAΔ y AΘB son iguales al ángulo obtuso Γ.
Proposición 34:
A partir de un círculo dado cortar un segmento que admita un ángulo igual a un ángulo rectilíneo dado.
Tengamos como ABΓ un círculo dado y el ángulo rectilíneo dado como Δ. A un costado del círculo formaremos una tangente EZ que toque el punto B.
El ángulo ZBΓ sería igual al ángulo correspondiente Δ.
Como EZ toca el círculo ABΓ, y a partir del punto B se ha trazado BΓ, entonces el ángulo ZBΓ es igual al ángulo construído en el segmento alterno BAΓ. Así el segmento BAΓ corresponde al ángulo Δ.
Proposición 35:
Si en un círculo se cortan dos rectas entre sí, el rectángulo comprendido por los segmentos de una es igual al rectángulo comprendido por los segmentos de la otra
Tengamos un círculo ABΓΔ y en el tracemos las rectas AΓ y BΔ con un centro E.
Euclides dice que el rectángulo comprendido por AE y EΓ es igual al rectángulo comprendido por ΔE y EB.
Para demostrarlo, debemos entender que AΓ y BΔ pasan por el centro E. De esta forma, tenemos que AE, EΓ, ΔE y EB forman parte del rectángulo AE y EΓ que es también igual al rectángulo comprendido por ΔE y EB.
Ahora pongamos otro caso, supongamos que AΓ y ΔB no pasen por el centro, e imaginemos que el centro de un círculo ABΓΔ es Z. Luego, a partir de Z, trácese la recta ZH y ZΘ perpendiculares a las rectas AΓ y ΔB, y trácese ZB, ZΓ y ZE.
AH sería igual a HΓ ya que ZH la divide en dos partes iguales, así, el rectángulo comprendido por AE y EΓ junto con el cuadrado de EH es igual al cuadrado de HΓ (ya que así lo indica la proposición 2 del libro II de este tratado) y a eso se le añade el cuadrado de HZ. Luego siguen las siguientes combinaciones:
AE y EΓ junto con los cuadrados HE y HZ son iguales a los cuadrados de ΓH y HZ.
AE y EΓ junto con ZE será igual al cuadrado de ZΓ, porque el cuadrado de ZE es igual al cuadrado de EH junto con el cuadrado de HZ y lo mismo pasa con ZΓ.
AE y EΓ junto con EZ será igual cuadrado de ZB.
AE y EΓ junto con ZE será igual al rectángulo comprendido por ΔE y EB por las mismas razones que el rectángulo comprendido por ΔE y EΓ junto con el cuadrado ZE es igual al cuadrado de ZB
Quítese de ambos lados de la igualdad el cuadrado de ZE lo que dará como resultado que el rectángulo comprendido por AE y EΓ será igual al rectángulo comprendido por ΔE y EB.
Proposición 36:
Si se toma un punto fuera de un círculo y de él al círculo caen dos rectas, y una de ellas corta el círculo y la otra lo toca, el rectángulo comprendido por la secante entera y la parte exterior tomada entre el punto y la circunferencia convexa es igual al cuadrado de la tangente
Tengamos un punto Δ fuera del círculo ABΓ, y de Δ al círculo caigan las dos rectas AΔ y ΔB. Que la recta ΔΓA corte el círculo ABΓ y que BΔ toque el círculo por el extremo izquierdo del círculo.
Euclides dice que el rectángulo comprendido por AΔ y ΔΓ es igual al cuadrado de ΔB.
De ser así (Δ) ΓA debería pasar por el centro o no pasar.
(Δ)ΓA pasa por el centro
Como la recta AΓ ha sido dividida en dos partes iguales en Z, ya que Z es el centro, y ΓΔ se ha añadido a ella, entonces el rectángulo comprendido por AΔ y ΔΓ junto con el cuadrado de ZΓ es igual al cuadrado de ZΔ.
Ahora, como ZΓes igual a ZB, el rectángulo comprendido por AΔ y ΔΓ junto con el cuadrado de ZB es igual al cuadrado de ZΔ.
Sin embargo, los cuadrados de ZB y BΔ son iguales al cuadrado de ZΔ.
Por lo tanto, el rectángulo comprendido por AΔ y ΔΓ junto con el cuadrado de ZB es igual a los cuadrados de ZB y BΔ.
Quítese de ambos el cuadrado de ZB, entonces el rectángulo restante comprendido por AΔ y ΔΓ será igual al cuadrado de la tangente ΔB.
(Δ)ΓA no pasa por el centro
Si no pasa por el centro, entonces deberemos tomar un círculo diferente al hecho anteriormente.
Tengamos nuevamente un círculo ABΓ con un centro E que trazará una recta EZ perpendicular a AΓ. Bajo ese respecto fórmense las rectas EB, EΓ y EΔ, lo que nos daría como resultado que el ángulo EBΔ sea recto.
La recta AΓ se ha dividido en dos partes iguales por medio del punto Z, y se ha añadido a ella ΓΔ el rectángulo comprendido por AΔ y ΔΓ junto con el cuadrado de ZΓ es igual al cuadrado de ZΔ.
Añádase a ambos el cuadrado de ZE, entonces el ángulo comprendido por AΔ y ΔΓ junto con los cuadrados de ΓZ y ZE es igual a los cuadrados de ZΔ y ZE.
Sin embargo, el cuadrado de EΓ es igual a los cuadrados de ΓZ y ZE porque el ángulo EZΓ es recto, pero el cuadrado de EΔ es igual a los cuadrados de ΔZ y ZE
Por lo tanto, el rectángulo comprendido por AΔ y ΔΓ junto con el cuadrado de EΓ es igual al cuadrado de EΔ y también a EB.
No obstante, los cuadrados de EB y BΔ son iguales al cuadrado de EΔ, porque el ángulo EBΔ es recto.
Como consecuencia, el rectángulo comprendido por AΔ y ΔΓ junto con el cuadrado de EB es igual a los cuadrados de EB y BΔ.
Quítese de ambos el cuadrado de EB, y así el rectángulo restante comprendido por AΔ y ΔΓ es igual al cuadrado de ΔB.
Así Euclides demuestra quea partir de un punto dado fuera de un círculo y desde éste se trazan dos rectas (una que corta el círculo y una tangente), el rectángulo comprendido por la secante entera (ΔA) y la tangente (ΔB) será igual al cuadrado de la tangente ya sea si la secante pasa por el centro o no.
Proposición 37:
Si se toma un punto fuera de un círculo y del punto al círculo caen dos rectas, y una de ellas corta el círculo, y la otra cae sobre él, y además el rectángulo comprendido por la secante entera y la parte exterior tomada entre el punto y la circunferencia convexa es igual al cuadrado de la que cae, la recta que cae tocará el círculo.
Tengamos un punto Δ fuera del círculo ABΓ y entre ellas caigan las dos rectas ΔΓA y ΔB. Cortese ΔΓA el círculo, y caiga ΔB, y sea el rectángulo comprendido por AΔ y ΔΓ igual al cuadrado de ΔB. El centro del círculo será Z que trazará al mismo tiempo las rectas ZE, ZB y ZΔ.
Euclides dice que ΔB toca el círculo ABΓ.
Como ΔE toca el círculo ABΓ y ΔΓA lo corta, entonces el rectángulo comprendido por AΔ y ΔΓ es igual al cuadrado ΔE (pues AΔ y ΔΓ es igual al cuadrado ΔB).
Entonces, el cuadrado ΔE es igual al cuadrado ΔB, por tanto ΔE es igual a ΔB.
Sin embargo, ZE es igual a ZB entonces los dos lados ΔE y EZ son iguales a los dos lados ΔB y BZ y su base ZΔ es común.
Por lo tanto, el ángulo ΔEZ es igual al ángulo ΔBZ, pero ΔEZ es un ángulo recto, lo que da como consecuencia que ΔBZ sea recto también. ZB prolongada forma el ángulo ABΓ y si una recta forma ángulos rectos con el diámetro, esa recta tocará el círculo.
Finalmente, de esta manera tenemos que ΔB sí toca el círculo ABΓ.
Euclides dice que AB y ΓΔ están a la misma distancia del centro del círculo.
De ser así, entonces tómese el centro del círculo como punto E y trácese con H y Z de manera perpendicular en las rectas BA y ΔΓ. Luego tracese AE y EΓ.
Luego, de la misma forma, ΓΔ es también doble de ΓH, así como AB es igual a ΓΔ. AE es igual a ΓE porque E es el centro.
Ahora, los cuadrados AZ y EZ son iguales a AE porque el ángulo de Z es recto. También los cuadrados de EH y HΓ son iguales a EΓ porque el ángulo de H es recto.
Esto nos dice que AZ y EZ son iguales a ΓH y HE, en los cuales los cuadrados de AZ y ΓH son iguales y los restantes EZ y EH también son iguales. Por lo tanto, AB y ΓΔ están a la misma distancia del centro.
Euclides también dice que AB y ΓΔ son iguales.
Sabemos que AB es el doble de AZ y ΓΔ (que es el doble de ΓH) y el cuadrado AE es igual al cuadrado ΓE. Pero también se decía que EZ y ZA son iguales al cuadrado de AE y los cuadrados de EH y HΓ son iguales al cuadrado de ΓE.
Por lo tanto, los cuadrados EZ y ZA son iguales a los cuadrados EH y HΓ de los cuales EZ es igual a EH.
El cuadrado de AZ es el restante igual que el cuadrado de HΓ, y así AZ es igual a ΓH y AB es el doble de AZ y ΓΔ es el doble de ΓH por tanto AB es igual a ΓΔ.
Así, si dos rectas iguales están a la misma distancia del centro son iguales, y si están a la misma distancia del centro son iguales también.
Proposición 15:
En un círculo el diámetro es la recta mayor y de las demás, la más cercana al centro es siempre mayor que la más lejana
Tengamos un círculo ABΓΔ y que AΔ sea su diámetro. Luego unase B y Γ para formar la recta BΓ que será la más cercana al centro, y por otro lado crease ZH que será la más lejana al centro.
Euclides dice que AΔ es la mayor, BΓ es mayor que ZH siendo esta última la menor.
Para comprobar esto, tracemos las rectas EΘ y EK perpendiculares a BΓ y ZH.
De esta forma, EK es mayor que EΘ.
Ahora construyamos una recta EΛ que sea igual a EΘ, y prolonguemos a través de Λ la recta ΛM.
Luego, ΛM debe hacer ángulos rectos con EK hasta N. Posteriormente, debemos trazar las rectas ME, EN. ZE y EH.
Como EΘ es igual a EΛ, BΓ es igual a MN (de acuerdo a la proposición 14), así como AE es igual a EM, y EΔ a EN. Por último, AΔ es igual a ME y EN.
Sin embargo, ME y EN son mayores que MN, y MN es igual BΓ, por lo tanto AΔ es mayor que BΓ.
Esto permite que el ángulo MEN sea mayor que el ángulo ZEH, y así MN es mayor que la recta ZH, por lo tango BΓ es mayor que ZH.
Proposición 16:
La recta trazada por el extremo del diámetro de un círculo formando ángulos rectos con el mismo caerá fuera del círculo, y no se interpondrá otra recta en el espacio entre la recta y la circunferencia; y el ángulo del semicírculo es mayor y el restante menor que cualquier ángulo rectilíneo agudo
Tengamos el círculo ABΓ con un centro Δ y un diámetro AB.
Euclides dice que la recta que caiga en AB formando un ángulo recto, tendría que caer fuera del círculo.
Si no fuera así, entonces hagamos que A entre en Γ al igual que Δ formando ΓA y ΔΓ.
ΔA es igual a ΔΓ lo que da como resultado que el ángulo ΔAΓ sea también igual al ángulo AΓΔ.
Sin embargo, el ángulo ΔAΓ es recto por lo tanto AΓΔ es también recto. Esto da como resultado que ΔAΓ y AΓΔ del triángulo AΓΔ son iguales a dos rectos lo cual es imposible.
Así, la recta A formando ángulos rectos con BA no caerá dentro del círculo; por eso, es necesario que para que BA tenga un ángulo recto debe estar fuera del círculo. De esta forma, necesitaremos hacer un punto E.
Si esto fuera posible, entonces agréguese la recta ZA, y luego se debe trazar la recta ΔH perpendicular a la recta a ZA.
Como el ángulo AHΔ es recto y el ángulo ΔAH es menor que un recto, entonces AΔ es mayor que ΔH.
Sin embargo, ΔA es igual a ΔΘ y ésta sería mayor que ΔH, lo cual es imposible.
Euclides dice además que el ángulo del semicírculo, comprendido por la recta BA y la circunferencia ΓΘA es mayor que cualquier ángulo rectilíneo agudo, y el restante, comprendido por la circunferencia ΓΘA y la tercera es AE es menor que cualquier ángulo agudo.
Pensemos en un ángulo rectilíneo es mayor que el ángulo comprendido por la recta BA y la circunferencia ΓΘA, pero menor que el comprendido por la circunferencia ΓΘA y la recta AE, en el espacio entre la circunferencia ΓΘA y la recta AE se interpondrá una recta que hará mayor el ángulo comprendido por la recta BA y la circunferencia ΓΘA.
Pero ya habíamos demostrado en la segunda parte de esta proposición que la recta ZA no se interpone y por lo tanto BA y ΓΘA es mayor que cualquier ángulo rectilíneo y ΓΘA es menor que cualquier ángulo rectilíneo.
Proposición 17:
Desde un punto dado trazar una línea recta tangente a un círculo dado
Tengamos un punto dado A y un círculo BΓΔ, desde el punto A debemos generar una tangente en el círculo BΓΔ.
Ahora generemos el punto E que será el centro del círculo, y tracemos AE y con esta recta construyamos el círculo AZH. Luego, a través de Δ trácese con el punto Z formando ángulos rectos con EA, para finalmente tener ΔZ y AB toque el círculo mismo BΓΔ.
Como E es el centro de los círculos BΓΔ y AZH, entonces EA es igual a EZ, mientras que EΔ es igual a EB.
De esta forma, AE y EB son iguales a los lados ZE y EΔ y comprenden un ángulo común correspondiente a E.
Por tanto, la base ΔZ es igual a la base AB, y el triángulo ΔEZ es igual al triángulo EBA.
Sin embargo, los ángulos EΔZ y EBA son rectos. Y siendo que EB es el radio del círculo y recordando que el extremo de un diámetro de un círculo que forma ángulos rectos toca el circulo, entonces debemos decir que la recta AB es la tangente del círculo BΓΔ que es lo que se quería demostrar.
Proposición 18:
Si una recta toca un círculo, y se traza desde el centro hasta el punto de contacto, la recta trazada será perpendicular a la tangente
Tengamos un círculo ABΓ y que una recta ΔE, que será la tangente, tocara al círculo en su punto Γ.
Luego añadamos el punto Z que será el centro del círculo ABΓ, y luego desde Z construyamos la recta ZΓ.
De no ser así, entonces tracemos desde el punto Z, ZH que será perpendicular a la recta ΔE.
El ángulo ZHE es recto y el ángulo ZΓH es agudo. De esta forma, ZΓ es mayor que ZH, pero ZΓ es igual a ZB, por lo tanto ZB sería mayor a ZH lo cual es imposible.
Como conclusión, la recta que se trazó desde el centro hasta el punto de contacto entre ΔE y el círculo, es decir, ZΓ será perpendicular a ΔE.
Proposición 19:
Si una recta toca un círculo, y desde el punto de contacto se traza una línea recta formando ángulos rectos con la tangente, el centro del círculo estará en la recta trazada
Tengamos un círculo ABΓ y que una recta ΔE, que será la tangente, tocará al círculo en su punto Γ, y desde Γ tracese la recta ΓA formando ángulos rectos con ΔE.
Euclides dice que el centro del círculo se encontrará en AΓ.
Supongamos que esto no es así y digamos que el punto Z sea el centro y que éste se una con Γ.
Tendríamos en este sentido ZΓ es perpendicular a ΔE y así el ángulo ZΓE es recto.
Sin embargo, AΓE también es recto lo cual supone que ZΓE y AΓE son iguales al ser los dos ángulos rectos lo cual es imposible, ya que visiblemente se ve que ZΓE es menor que un ángulo recto, a pesar de que se suponga que Z fuera el centro.
Esto demuestra que Z no es el centro del círculo, y que el único centro que puede haber en el círculo está en la recta AΓ.
Proposición 20:
En un círculo, el ángulo correspondiente al centro es el doble del correspondiente a la circunferencia cuando los ángulos tienen como base la misma circunferencia
Tengamos el círculo ABΓ con un centro E, y que al mismo tiempo el ángulo BEΓ forme el ángulo del centro. Por otro lado, tendremos el ángulo BAΓ perteneciente a la circunferencia, teniendo como base BΓ.
Euclides nos dice que el ángulo BEΓ es el doble del ángulo BAΓ
Entonces tracemos una recta desde A, pasando por E hasta Z.
Como AE es igual a EB, el ángulo EAB es igual también a EBA, por tanto cuando EAB y EBA se juntan y hacen el doble de EAB.
Sin embargo, el ángulo BEZ es igual a los ángulos EAB y EBA, lo que significa que BEZ es el doble de EAB. ´
De la misma forma, el ángulo ZEΓ es el doble del ángulo EAΓ, y luego el ángulo entero BEΓ es el doble del ángulo recto BAΓ.
Ahora creemos un punto Δ que se una con el centro E y se prolongue hasta H. Formemos de esta manera el ángulo BΔΓ.
Así el ángulo HEΓ es el doble del ángulo EΔΓ de cuyas partes el ángulo HEB es el doble del ángulo EΔB, por tanto el ángulo BEΓ es el doble de BΔΓ.
Por conclusión se demuestra que el ángulo correspondiente al centro (BEΓ) es el doble del correspondiente a la circunferencia (BAΓ).
Proposición 21:
En un círculo los ángulos en el mismo segmento son iguales entre sí
Tengamos un círculo ABΓΔ y en el mismo segmento BAEΔ se encuentren los ángulos BAΔ y BEΔ.
Euclides dice que los ángulos BAΔ y BEΔ son iguales.
Entonces hágase un punto Z y trácese BZ en el mismo círculo al igual que ZΔ.
Esto prueba que el ángulo BAΔ es igual al ángulo BEΔ.
Proposición 22:
Los ángulos opuestos de los cuadriláteros en los círculos son iguales a dos rectos
Tengamos un círculo ABΓΔ, y tengamos un cuadrilátero en el mismo círculo ABΓΔ. Luego trácese AΓ y BΔ.
Sin embargo, el ángulo ΓAB es igual al ángulo BΔΓ porque están en el mismo segmento de BAΔΓ, mientras que el ángulo AΓB es igual al ángulo AΔB porque están en el mismo segmento AΔΓB.
Por lo tanto, en el ángulo entero AΔH es igual a los ángulos BAΓ y AΓB. Ahora le agregamos a ambos lados de la igualdad de ángulo ABΓ. De este modo, ABΓ y AΔΓ son también iguales a dos rectos. Esto es lo que Euclides quería demostrar, pues ABΓ y AΔB son los lados opuestos del círculo.
Así, los ángulos ABΓ, BAΓ y AΓB son iguales, mientras que estos mismos ángulos son también iguales a dos rectos.
Proposición 23:
Sobre la misma recta no se podrán construir dos segmentos circulares semejantes y desiguales en el mismo lado
Tengamos una recta AB donde se construyan dos segmentos circulares semejantes y desiguales en el mismo lado (AΓB y AΔB).
Al mismo tiempo, trácese BΓ y ΔB.
Se supone que si es posible construir dos segmentos circulares semejantes y desiguales, entonces deberíamos decir que AΓB y ABΔ son iguales lo cual es imposible porque el ángulo exterior no puede ser igual al opuesto.
Proposición 24:
Los segmentos circulares semejantes que están sobre rectas iguales son iguales entre sí
Tengamos dos segmentos circulares AEB y ΓZΔ.
Euclides dice que el segmento AEB es igual a ΓZΔ, pues AB es igual a ΓΔ lo que hará coincidir todos los puntos de ambos segmentos circulares.
Si los segmentos no coinciden al ser unidos, entonces uno de los dos debe estar afuera de uno o dentro de otro siendo desiguales. La única forma que estos segmentos puedan ser desiguales es que AB coincida con ΓΔ, pero que AEB no coincida con ΓZΔ lo que formaría un segmento ΓHΔ el cual es imposible de hacer, ya que un círculo o corta a otro en más de dos puntos.
Pero esto sería formar otro segmento circular diferente a AEB, lo cual no está dentro de la demostración. Por lo tanto, los segmentos circulares que está sobre rectas iguales será iguales entre sí.
Proposición 25:
Dado un segmento de círculo completar el trazado del círculo del que es segmento
Tengamos el segmento de un círculo dado ABΓ.
Euclides nos dice que el ángulo ABΔ puede ser mayor, igual o menor que el ángulo BAΔ.
ABΔ Mayor
Pensemos que en primer lugar es mayor. Si es así, entonces construyase el punto E que se prolongara de BΔ.
De este modo se construirá el ángulo BAE igual al ángulo ABΔ y unase E con Γ.
Si el ángulo ABE es igual que BAE entonces la recta EB es igual a EA. Luego, AΔ es igual que ΔΓ, y ΔE es común, y si esto es así, entonces AΔ y ΔE son iguales respectivamente a los dos lados ΓΔ y ΔE.
Así, el ángulo AΔE es igual al ángulo ΓΔE porque cada uno de ellos es recto; lo que deja como conclusión que la base AE es igual a la base ΓE.
Y si esto es así, BE es también igual a ΓE porque AE es igual a BE, lo que hace las tres rectas iguales entre sí (BE = ΓE = AE) y que E sea el centro de la circunferencia.
De esta forma se tiene que a partir del segmento ABΓ se trazará el resto del círculo siendo ABΓ menor que el segmento restante,
ABΔ igual
Si el ángulo ABΔ es igual al ángulo BAΔ, entonces la base AΔ y BΔ, ΔΓ y así las tres serán iguales entre sí (AΔ = BΔ = ΔΓ).
En este caso, ABΓ sería un semicírculo ya que Δ es el centro del círculo.
ABΔ menor
Si ABΔ fuera menor que BAΔ, entonces el centro E caerá dentro del segmento ABΓ, ya que si trazamos AE y creamos un ángulo en el punto A igual a ABΔ, las rectas AE y BE serían iguales lo que hace a E centro del círculo.
Proposición 26:
En los círculos iguales los ángulos iguales están sobre las circunferencias iguales, ya estén en los centros o en las circunferencias.
Tengamos ABΓ y ΔEZ círculos iguales y que en ellos se encuentren los ángulos iguales BHΓ y EΘZ en los centros, y en las circunferencias los ángulos iguales BAΓ y EΔZ.
Como los círculos ABΓ y ΔEZ son iguales, sus radios también son iguales.
De este modo, las dos rectas BH y HΓ son iguales a EΘ y ΘZ, así como el ángulo correspondiente a Θ y H también son iguales. De igual manera sería la base BΓ a la base EZ y así como también el ángulo de A es igual al ángulo de Δ.
Tenemos que el ángulo BAΓ es igual a EΔZ lo que quiere decir que las circunferencias BAΓ y EΛZ sean iguales, y, siguiendo el planteamiento de la proposición 24, tenemos que las circunferencias BKΓ y EΛZ sean iguales porque están sobre las rectas iguales BΓ y EZ.
Así se demuestra que los círculos y los ángulos están sobre circunferencias iguales.
Proposición 27:
En los círculos iguales, los ángulos que están sobre circunferencias iguales son iguales entre sí, ya estén en los centros o en las circunferencias.
Tengamos dos círculos iguales que sean ABΓ y ΔEZ, Y sobre las circunferencias iguales BΓ y EZ estén los ángulos BHΓ y EΘZ. Que los centros sean H y Θ y las otras circunferencias BAΓ y EΔZ.
Euclides dice que el ángulo BHΓ es igual al ángulo EΘZ, mientras que el ángulo BAΓ es igual al ángulo EΔZ.
Si esto no fuera así, establezcamos la idea de que BHΓ no es igual a EΘZ, siendo BHΓ mayor. Construyase entonces un punto K para formar el ángulo BHK.
Digamos que BHK es igual a EΘZ para entender así que BHΓ es mayor que el otro ángulo EΘZ.
Sin embargo, los ángulos iguales están sobre circunferencias iguales cuando están en los centros (proposición 26). Por lo tanto, la circunferencia BK es igual a la circunferencia EZ.
No obstante EZ es igual a BΓ y así BK sería igual a BΓ, lo cual es imposible porque BΓ es claramente mayor. Por lo tanto, los ángulos BHK y EΘZ no son desiguales.
Como BHΓ es igual a EΘZ, entonces los ángulos en A y en Δ, que son la mitad de BHΓ y EΘZ, A y Δ son iguales.
Proposición 28:
En los círculos iguales las rectas iguales cortan circunferencias iguales, la mayor (igual) a la mayor y la menor a la menor.
Tengamos dos círculos iguales: ABΓ y ΔEZ, y que en estos círculos estén las rectas iguales AB y ΔE que cortan como circunferencias mayores AΓB y ΔZE, y como menores a AHB y ΔΘE.
Para comprobar esto, tómese K como centro del primer círculo y Λ como centro del segundo círculo.
AK
KB
ΔΛ
ΛE
Como estos son círculos iguales, entonces tendríamos que decir que AK y KB son iguales, lo mismo que ΔΛ y ΛE.
La base ΔE es igual a la base AB y esto da como resultado que el ángulo AKB sea igual a ΔΛE.
Los ángulos que son iguales y que están sobre las circunferencias iguales, serán iguales en cuanto a que están en el centro. Así la circunferencia AHB es igual a la circunferencia ΔΘE, así como el círculo entero ABΓ es también igual al círculo entero ΔEZ. Finalmente, la circunferencia restante AΓB es igual a la circunferencia restante ΔZE.
Proposición 29:
En los círculos iguales las rectas iguales subtienden circunferencias iguales
Tengamos ABΓ y ΔEZ como círculos iguales y en ellos cortense las circunferencias iguales BHΓ y EΘZ, y tracense las rectas BΓ y EZ.
Euclides dice que BΓ es igual a EZ
La circunferencia BHΓ es igual a la circunferencia EΘZ y el ángulo BKΓ es igual al ángulo EΛZ.
Como los ángulos ABΓ y ΔEZ son iguales, sus radios también son iguales.
Las rectas BK y KΓ son iguales a las dos rectas EΛ y ΛZ, y comprenden ángulos iguales, por tanto la base BΓ es igual a la base EZ.
Proposición 30:
Dividir en dos partes iguales una circunferencia dada
Tengamos AΔB como una circunferencia dada.
Divídase en dos partes la circunferencia dada a través de la recta ΔΓ.
El ángulo AΓΔ es igual al ángulo BΓΔ porque cada uno de ellos es recto. Así la base AΔ es igual a la base ΔB.
Las circunferencias AΔ y ΔB es menor que un semicírculo, por tanto, la circunferencia AΔ es igual a la circunferencia ΔB. Todo esto de acuerdo a la proposición 28 de este mismo libro donde se indica que una recta corta a dos circunferencias menores iguales y dos mayores iguales.
Como AΔ y ΔB son menores que un semicírculo, son iguales entre sí.
Proposición 31:
En un círculo el ángulo en el semicírculo es recto, el ángulo en el segmento mayor es menor que un recto, el ángulo en el segmento menor es mayor que un recto; y además el ángulo del segmento mayor es mayor que un recto y el ángulo del segmento menor es menor que un recto.
Tengamos un círculo ABΓΔ en el cual la recta BΓ sea su diámetro y su centro el punto E.
Euclides dice que el ángulo BAΓ en el semicírculo BAΓ es recto, y el ángulo ABΓ en el segmento ABΓ mayor que el semicírculo es menor que un recto, y el ángulo AΔΓ en el segmento AΔΓ menor que el semicírculo es mayor que un recto.
Para comprobarlo, tracemos AE, y prolonguemos BA hasta Z.
Como BE es igual a EA el ángulo ABE es también igual al ángulo BAE. A su vez ΓE es igual a EA, lo que indica que el ángulo AΓE es igual al ángulo ΓAE.
Por lo tanto, el ángulo entero BAΓ es igual a los dos ángulos ABΓ y AΓB.
Sin embargo, el ángulo ZAΓ, que es exterior a al triángulo ABΓ, es igual a los ángulos ABΓ y AΓB. Así el ángulo BAΓ es igual al ángulo ZAΓ, por lo cual nos da a entender que BAΓ en el semicírculo BAΓ es recto.
Por otro lado, tenemos que el ángulo ABΓ y BAΓ del triángulo ABΓ son menores que dos rectos y el ángulo BAΓ es recto. Así, el ángulo ABΓ es menor que un recto y está en el segmento ABΓ mayor que el círculo.
Como ABΓΔ es un cuadrilátero en un círculo, y los ángulos opuestos del cuadrilátero son iguales a dos rectos, y el ángulo ABΓ es menor a un recto, entonces el ángulo restante AΔΓ es mayor que un recto, y está en el segmento AΔΓ menor que el semicírculo.
El ángulo del segmento mayor que está comprendido en la circunferencia ABΓ y la recta AΓ es mayor que un recto, mientras que el ángulo del segmento menor que se comprende por la circunferencia AΔΓ y la recta AΓ es menor que un recto.
Esto es así, ya que el ángulo comprendido por las rectas BA y AΓ es recto, lo que prueba que la circunferencia ABΓ y la recta AΓ es mayor que un recto. Finalmente, el ángulo comprendido por las rectas AΓ y AZ es recto, y entonces el comprendido por la recta ΓA y la circunferencia AΔΓ es menor que un recto.
Proposición 32:
Si una recta toca un círculo, y desde el punto de contacto hasta el círculo se traza una recta que corte el círculo, los ángulos que forma con la recta tangente serán iguales a los ángulos en los segmentos alternos del círculo.
Tengamos una recta EZ que toque al círculo ABΓΔ en el punto B y partir de éste punto hacer una recta BΔ que corte el círculo.
Euclides dice que los ángulos que se forman a partir de la recta BΔ y la tangente EZ serán rectos, y serán iguales a los ángulos de los segmentos alternos del círculo; es decir, el ángulo ZBΔ es igual al ángulo construido en el segmento BAΔ, mientras que el ángulo EBΔ es igual al ángulo construido en el segmento ΔΓB.
La recta BA forma ángulos rectos con la tangente EZ y es en esa recta (BA) donde se encuentra el centro del círculo. Como consecuencia, podríamos decir que BA es el diámetro del círculo ABΓΔ.
Los ángulos BAΔ y ABΔ son iguales a un recto, ya que el ángulo AΔB es el ángulo del semicírculo. Sin embargo, el ángulo ABZ es recto, lo que da que el ángulo ABZ sea igual a los ángulos BAΔ y ABΔ.
Luego, quítese de los dos ángulos BAΔ y ABΔ, el ángulo ABΔ y quedaría como ángulo restante ΔBZ que sería igual al ángulo BAΔ en el segmento alterno del círculo.
No obstante, los ángulos ΔBZ y ΔBE son iguales a dos rectos, lo que significa que estos ángulos son iguales a los ángulos BAΔ y BΓΔ. Por lo tanto,si quitamos de ambos lados los ángulos ΔBZ y BAΔ, ya que son iguales, así el ángulo ΔBE es igual al ángulo BΓΔ en el segmento externo del semicírculo ΔΓB.
Proposición 33:
Sobre una recta dada, describir un segmento de un círculo que admita un ángulo igual a un ángulo rectilíneo dado
Tengamos una recta AB dentro de segmento de un círculo y un ángulo rectilíneo dado.
El ángulo que corresponde a Γ es agudo, recto u obtuso. La idea es insertar el ángulo Γ dentro del círculo donde está la recta AB. Veamos primero cómo sería si el ángulo Γ fuera agudo.
Γ ángulo agudo
Formemos una recta AΔ en la parte superior del círculo para formar un ángulo agudo. Este ángulo sería BAΔ y correspondería justamente al ángulo rectilíneo dado Γ.
Luego tracemos AB y dividamos en dos partes iguales esta misma recta en el punto Z. Posteriormente, desde Z tracemos la recta H que dividirá la recta AE y luego tracese H con B.
Como AZ es igual a ZB, y ZH es común, los dos lados AZ y ZH son iguales a los dos lados BZ y ZH, y el ángulo AZH es igual al ángulo BZH. Luego, la base AH es igual a la base BH.
Por otro lado, el círculo con el centro H y la distancia HA pasará por B. Así, como AΔ forma ángulos rectos con AE a partir del extremo A del diámetro AE. Entonces si AΔ toca el círculo ABE, entonces tenemos que el ángulo ΔAB es igual al ángulo AEB en el segmento alterno del círculo.
Finalmente, podríamos decir que en el ángulo AEB también se encuentra el ángulo rectilíneo dado Γ, ya que Γ estaba en ΔAB y ΔAB es igual a AEB.
Γ ángulo recto
Tengamos el ángulo rectilíneo dado Γ, pero esta vez como un ángulo recto, además de tener la recta AB que corresponderá a un segmento de un círculo que admita a su vez el ángulo recto Γ.
Luego tracese AE en el extremo izquierdo del círculo para luego dividir la recta AB en dos partes iguales por Z.
De esta forma, BAΔ y AEB es correspondiente al ángulo Γ.
Γ ángulo obtuso
Para hacer que el ángulo obtuso Γ pudiera entrar en un círculo, tengamos una recta AB para que se junte con AΔ para formar el ángulo BAΔ.
Dividase AB por el punto Z en partes iguales, y luego desde Z se debe hacer una recta ZH, y que al mismo tiempo el punto H divida AE en dos partes. Luego trácese H hasta B.
AZ es igual a AB, y ZH es la común, mientras que los dos lados AZ y ZH son iguales a los dos lados BZ y ZH.
El ángulo AZH es igual al ángulo BZH,y por esto, la base AH es igual a la base BH.
Como AΔ forma ángulos rectos con el diámetro AE a partir de un extremo, y así, AΔ es tangente al círculo AEB.
Por lo tanto, el ángulo BAΔ es igual al segmento alterno del círculo AΘB. Finalmente, tenemos que BAΔ y AΘB son iguales al ángulo obtuso Γ.
Proposición 34:
A partir de un círculo dado cortar un segmento que admita un ángulo igual a un ángulo rectilíneo dado.
Tengamos como ABΓ un círculo dado y el ángulo rectilíneo dado como Δ. A un costado del círculo formaremos una tangente EZ que toque el punto B.
El ángulo ZBΓ sería igual al ángulo correspondiente Δ.
Como EZ toca el círculo ABΓ, y a partir del punto B se ha trazado BΓ, entonces el ángulo ZBΓ es igual al ángulo construído en el segmento alterno BAΓ. Así el segmento BAΓ corresponde al ángulo Δ.
Proposición 35:
Si en un círculo se cortan dos rectas entre sí, el rectángulo comprendido por los segmentos de una es igual al rectángulo comprendido por los segmentos de la otra
Tengamos un círculo ABΓΔ y en el tracemos las rectas AΓ y BΔ con un centro E.
Euclides dice que el rectángulo comprendido por AE y EΓ es igual al rectángulo comprendido por ΔE y EB.
Para demostrarlo, debemos entender que AΓ y BΔ pasan por el centro E. De esta forma, tenemos que AE, EΓ, ΔE y EB forman parte del rectángulo AE y EΓ que es también igual al rectángulo comprendido por ΔE y EB.
Ahora pongamos otro caso, supongamos que AΓ y ΔB no pasen por el centro, e imaginemos que el centro de un círculo ABΓΔ es Z. Luego, a partir de Z, trácese la recta ZH y ZΘ perpendiculares a las rectas AΓ y ΔB, y trácese ZB, ZΓ y ZE.
AH sería igual a HΓ ya que ZH la divide en dos partes iguales, así, el rectángulo comprendido por AE y EΓ junto con el cuadrado de EH es igual al cuadrado de HΓ (ya que así lo indica la proposición 2 del libro II de este tratado) y a eso se le añade el cuadrado de HZ. Luego siguen las siguientes combinaciones:
AE y EΓ junto con los cuadrados HE y HZ son iguales a los cuadrados de ΓH y HZ.
AE y EΓ junto con ZE será igual al cuadrado de ZΓ, porque el cuadrado de ZE es igual al cuadrado de EH junto con el cuadrado de HZ y lo mismo pasa con ZΓ.
AE y EΓ junto con EZ será igual cuadrado de ZB.
AE y EΓ junto con ZE será igual al rectángulo comprendido por ΔE y EB por las mismas razones que el rectángulo comprendido por ΔE y EΓ junto con el cuadrado ZE es igual al cuadrado de ZB
Quítese de ambos lados de la igualdad el cuadrado de ZE lo que dará como resultado que el rectángulo comprendido por AE y EΓ será igual al rectángulo comprendido por ΔE y EB.
Proposición 36:
Si se toma un punto fuera de un círculo y de él al círculo caen dos rectas, y una de ellas corta el círculo y la otra lo toca, el rectángulo comprendido por la secante entera y la parte exterior tomada entre el punto y la circunferencia convexa es igual al cuadrado de la tangente
Tengamos un punto Δ fuera del círculo ABΓ, y de Δ al círculo caigan las dos rectas AΔ y ΔB. Que la recta ΔΓA corte el círculo ABΓ y que BΔ toque el círculo por el extremo izquierdo del círculo.
Euclides dice que el rectángulo comprendido por AΔ y ΔΓ es igual al cuadrado de ΔB.
De ser así (Δ) ΓA debería pasar por el centro o no pasar.
(Δ)ΓA pasa por el centro
Como la recta AΓ ha sido dividida en dos partes iguales en Z, ya que Z es el centro, y ΓΔ se ha añadido a ella, entonces el rectángulo comprendido por AΔ y ΔΓ junto con el cuadrado de ZΓ es igual al cuadrado de ZΔ.
Ahora, como ZΓes igual a ZB, el rectángulo comprendido por AΔ y ΔΓ junto con el cuadrado de ZB es igual al cuadrado de ZΔ.
Sin embargo, los cuadrados de ZB y BΔ son iguales al cuadrado de ZΔ.
Por lo tanto, el rectángulo comprendido por AΔ y ΔΓ junto con el cuadrado de ZB es igual a los cuadrados de ZB y BΔ.
Quítese de ambos el cuadrado de ZB, entonces el rectángulo restante comprendido por AΔ y ΔΓ será igual al cuadrado de la tangente ΔB.
(Δ)ΓA no pasa por el centro
Si no pasa por el centro, entonces deberemos tomar un círculo diferente al hecho anteriormente.
Tengamos nuevamente un círculo ABΓ con un centro E que trazará una recta EZ perpendicular a AΓ. Bajo ese respecto fórmense las rectas EB, EΓ y EΔ, lo que nos daría como resultado que el ángulo EBΔ sea recto.
La recta AΓ se ha dividido en dos partes iguales por medio del punto Z, y se ha añadido a ella ΓΔ el rectángulo comprendido por AΔ y ΔΓ junto con el cuadrado de ZΓ es igual al cuadrado de ZΔ.
Añádase a ambos el cuadrado de ZE, entonces el ángulo comprendido por AΔ y ΔΓ junto con los cuadrados de ΓZ y ZE es igual a los cuadrados de ZΔ y ZE.
Sin embargo, el cuadrado de EΓ es igual a los cuadrados de ΓZ y ZE porque el ángulo EZΓ es recto, pero el cuadrado de EΔ es igual a los cuadrados de ΔZ y ZE
Por lo tanto, el rectángulo comprendido por AΔ y ΔΓ junto con el cuadrado de EΓ es igual al cuadrado de EΔ y también a EB.
No obstante, los cuadrados de EB y BΔ son iguales al cuadrado de EΔ, porque el ángulo EBΔ es recto.
Como consecuencia, el rectángulo comprendido por AΔ y ΔΓ junto con el cuadrado de EB es igual a los cuadrados de EB y BΔ.
Quítese de ambos el cuadrado de EB, y así el rectángulo restante comprendido por AΔ y ΔΓ es igual al cuadrado de ΔB.
Así Euclides demuestra quea partir de un punto dado fuera de un círculo y desde éste se trazan dos rectas (una que corta el círculo y una tangente), el rectángulo comprendido por la secante entera (ΔA) y la tangente (ΔB) será igual al cuadrado de la tangente ya sea si la secante pasa por el centro o no.
Proposición 37:
Si se toma un punto fuera de un círculo y del punto al círculo caen dos rectas, y una de ellas corta el círculo, y la otra cae sobre él, y además el rectángulo comprendido por la secante entera y la parte exterior tomada entre el punto y la circunferencia convexa es igual al cuadrado de la que cae, la recta que cae tocará el círculo.
Tengamos un punto Δ fuera del círculo ABΓ y entre ellas caigan las dos rectas ΔΓA y ΔB. Cortese ΔΓA el círculo, y caiga ΔB, y sea el rectángulo comprendido por AΔ y ΔΓ igual al cuadrado de ΔB. El centro del círculo será Z que trazará al mismo tiempo las rectas ZE, ZB y ZΔ.
Euclides dice que ΔB toca el círculo ABΓ.
Como ΔE toca el círculo ABΓ y ΔΓA lo corta, entonces el rectángulo comprendido por AΔ y ΔΓ es igual al cuadrado ΔE (pues AΔ y ΔΓ es igual al cuadrado ΔB).
Entonces, el cuadrado ΔE es igual al cuadrado ΔB, por tanto ΔE es igual a ΔB.
Sin embargo, ZE es igual a ZB entonces los dos lados ΔE y EZ son iguales a los dos lados ΔB y BZ y su base ZΔ es común.
Por lo tanto, el ángulo ΔEZ es igual al ángulo ΔBZ, pero ΔEZ es un ángulo recto, lo que da como consecuencia que ΔBZ sea recto también. ZB prolongada forma el ángulo ABΓ y si una recta forma ángulos rectos con el diámetro, esa recta tocará el círculo.
Finalmente, de esta manera tenemos que ΔB sí toca el círculo ABΓ.
Conclusión
Si en verdad no fue tan largo como el primer libro sobre los triángulos, el desarrollo de la formación de circunferencias no es de menor tamaño. Ahora que hemos visto por lo menos tres figuras geométricas importantes (triángulo, rectángulo y círculo), falta que veamos la combinación entre estas tres figuras y formarlas a partir del pensamiento y desarrollo euclidiano. Una tarea difícil y larga, pero al mismo tiempo interesantísima. Espero que les guste.
Este apunte ha sido logrado gracias a Leila Reyes, quien corrigió y sugirió las modificaciones necesarias en este apunte.
