Claudio Ptolomeo - Almagesto (Libro II: Los paralelos del Ecuador) (??)

De alguna manera, el segundo libro es una continuación del tema que desarrolló en el primero. Claudio Ptolomeo nos hablará de las distintas posiciones que tienen los astros con respecto al Ecuador y sus movimiento elípticos. Es curioso. Todos estos fenómenos nos acompañan día a día y normalmente ignoramos como estos ocurren, y qué características tienen, o qué posiciones tienen con respecto a nosotros, o a otros lugares. Sin duda, esta es otra tarea titánica que el filósofo y astrónomo emprenderá sin la ayuda de la tecnología con la que contamos ahora.

Referencias:

(1) Aquellos relojes de sombra que existían.

(2) Para Ptolomeo el mundo conocido era desde Cartago hasta Arbela.

(3) Lo que conocemos ahora como el Trópico de Cáncer.
(4) En efecto, ya que en ese tiempo las regiones más al sur eran totalmente desconocidas. 
(5) Donde se ubica el llamado Cuerno de África.

ALMAGESTO

LIBRO II:FENÓMENOS DE DÍA Y DE NOCHE

Ubicación general del mundo habitado

Para conocer nuestra ubicación en el mundo, en la antigüedad existieron algunos implementos que ayudaron a las personas a encontrar la ubicación. Los gnomones(1) siempre apuntan el equinoccio del mediodía hacia el norte y nunca hacia el sur. 

En cuanto al Este y Oeste, las observaciones de estos nunca difieren de 12 horas equinocciales y un cuarto de la tierra.

Ptolomeo realizará esta tarea de ubicar la posición del mundo conocido(2) habría que:

1. Medir la distancia del cénit desde el Ecuador por el meridiano
2. Cuándo el sol alcanza el cénit
3. Longitud de las sombras al mediodía en los Equinoccios y Solsticios. 
4. La duración de los días (largos y cortos).
5. Longitud de la luz de los días y las noches
6. Los arcos del Ecuador

Parece una tarea difícil, aunque ya tenemos algunas cosas a mano desde el primer libro.

Los paralelos

Ptolomeo toma como ejemplo la elevación del polo en Rodas que comprende aproximadamente 36º. El día más largo en Rodas tiene 14 1/5 horas equinocciales. 

Para calcular los demás usemos la siguiente figura

ABGD serán las líneas que marquen los meridianos y la mitad Este del horizonte lo representará las líneas BED, mientras que AEG comprenderá la mitad de Este del Ecuador. 

• Si el solsticio se alza en H, entonces su culminación pasará en Θ.
• La longitud del día solar corresponde al arco ΘA.
• La longitud de la noche corresponde al arco GΘ

Así, el arco EΘ dura 1 1/4 sobre el paralelo, o 18;45 grados de tiempo. Ahora su complemento ΘA será de 71;15.

Cenit del sol

El sol alcanza el cénit solamente una vez al año precisamente en el solsticio de verano; sin embargo, esto sucede sólo en las regiones que están debajo de un paralelo más allá del 23;51,20º(3). En las regiones con una cantidad menor a la mencionada, el sol alcanza dos veces el cénit en un año. 

Características de los paralelos

Regiones debajo del Ecuador

Ptolomeo comienza describiendo las características de los paralelos que están al sur y al norte del Ecuador (conocidos actualmente como Trópico de Capricornio y Trópico de Cáncer). En la región sur los días son más cortos que las noches, mientras que en la región norte los días son más largos.

Estas regiones por debajo del Ecuador el clima es mucho más templado que en la región al norte. El verano también es templado porque el movimiento de declinación es rápido, además el sol no alcanza el cénit en los solsticios; por lo tanto, el invierno no será tan duro. En todo caso, esta información sólo es especulativa(4).

Taprobane:

Una isla privada que hoy comprende la actual Sri Lanka (está ubicada al sur del país soberano). Como esta isla está ubicada al sur, el sol alcanza el cenit dos veces al año. Usando el gnomon, cuando la sombra llega hacia el sur sólo cuando está a 159º, y cuando alcanza los 201º el gnomon apunta hacia el norte. 

Golfo de Avalite (Zeilah):

Este paralelo pasa por el Golfo de Avalite(5) que está al norte del Ecuador (a 8;25º aproximadamente). Aquí la sombra se forma hacia los dos lados y el sol alcanza el cenit dos veces al año. 

• La sombra equinoccial es de 8 5/6
• La sombra del solsticio del verano es de 16 7/12 
• La sombra del solsticio de invierno es de 37 9/10. 

Golfo de Adulítico:

Este paralelo se encuentra a 12½º del Ecuador y al igual que el paralelo anterior, la sombra se proyecta a ambos lados. El sol alcanza el cenit dos veces al año. 

• La sombra del equinoccio es de 13 1/3, 
• La sombra del solsticio de verano es de 12 
• La sombra del solsticio de invierno es de 44 1/6. 

Isla de Meroe:

Otro paralelo debajo del Ecuador y se encuentra a 16;27º arriba de éste. También proyecta la sombra hacia ambos lados y el sol alcanza el cenit dos veces al año. 

• 
  
• La sombra del equinoccio es de 74 8/4º
• La sombra del solsticio de verano es de 7 8/4º
• La sombra del solsticio de invierno es de 51º. 

Napata: 

Esta fue una antigua capital de Nubia o kush al sur de Egipto. Está a 20;14º al norte del Ecuador y proyecta su sombra hacia los dos lados. El sol llega al cenit dos veces al año y no produce sombra al mediodía. 

• La sombra equinoccial es de 22 1/6º
• La sombra del solsticio de verano es de 3 8/4
• La del solsticio de invierno es de 58 1/6.

Seoane: 

Es la actual Asuán siendo la ciudad más meridional de Egipto. Se encuentra a 23;51º del Ecuador y tiene una sola dirección de sombra (es la única con esta característica en el paralelo norte). El sol sólo llega al cenit en el solsticio de verano y los gnomones no producen sombra. 

• La sombra del equinoccio es de 26½
• La sombra del solsticio de invierno es de 65 5/6
• La sombra del solsticio de verano es 0

Ptolemaida Hermia:

Una ciudad situada en el Alto Egipto y está a 23;51º al norte del Ecuador. 

• La sombra del solsticio es de 3½ 
• La sombra del equinoccio es de 30 5/6
• La sombra del solsticio de invierno es de 74 1/6

Heliópolis:

Esto comprende el Bajo Egipto y que está a 30;22º hacia el norte del Ecuador.

• 
  
• La sombra del solsticio de verano es de 6 5/6
• La sombra del equinoccio es de 35 1/12
• La sombra del solsticio de invierno es de 83;12

Fenicia:

Los días más largos comprenden 14 1/4 horas equinocciales y está a 33;18º al norte del Ecuador

• La sombra del solsticio de verano es de 10
• La sombra del equinoccio es de 39 1/2
• La sombra del solsticio de invierno es de 93 1/12

Rodas:

Los días más largos comprenden 14 1/2 horas equinocciales y está a 36º del Ecuador

• La sombra del solsticio de verano es de 12 1/2
• La sombra del equinoccio es de 43 4/5
• La sombra del solsticio de invierno es de 103 1/3

Esmirna:

Ubicada en las costas de la actual Turquía teniendo en sus días más largos 14 8/4 horas equinocciales. 

• La sombra del solsticio de verano es de 15 2/3
• La sombra del equinoccio es de 47 5/6
• La sombra del solsticio de invierno es de 114 11/12

Helesponto:

Este tiene 15 horas equinocciales y está a 40;56º del Ecuador.

• La sombra del solsticio de verano es de 18 1/2
• La sombra del equinoccio es de 56 1/66
• La sombra del solsticio de invierno es de 127 5/6

Massalia:

Ubicada al sur de Francia y siendo la actual Marsella, Massalia tiene 15 1/4 horas equinocciales y se encuentra a 43;1º del Ecuador. 

• La sombra del solsticio de verano es de 20 5/6
• La sombra del equinoccio es de 55 11/12
• La sombra del solsticio de invierno es de 140 1/4

Ponto:

Esta localidad tiene 15 1/2 horas equinocciales y se encuentra a 45;1º al norte del Ecuador. 

• La sombra del solsticio de verano es de 23 1/4
• La sombra del equinoccio es de 60
• La sombra del solsticio de invierno es de 155 1/12

Río Istros:

En realidad se llamaba Histria, pero los romanos le pusieron este nombre, seguramente por la influencia del latín. Se encuentra a 46;51º del Ecuador y su día más largo tiene 15 3/4 horas equinocciales. 

• La sombra del solsticio de verano es de 25 1/2
• La sombra del equinoccio es de 63 11/12
• La sombra del solsticio de invierno es de 171 1/6

Río Dnieper:

Era conocida como Borysthenes en la antigüedad y se encuentra en la actual Bielorrusia. Se encuentra a 48;32º del Ecuador u si día más largo tiene 16 horas equinocciales. 

• La sombra del solsticio de verano es de 27 1/2
• La sombra del equinoccio es de 67 5/6
• La sombra del solsticio de invierno es de 188 7/12

Mar de Azov:

Conocida en la antigüedad como lago Meiótico y se encuentra entre las actuales Rusia y Ucrania. Se encuentra al 50;4º al norte del Ecuador.

• La sombra del solsticio de verano es de 29 7/12
• La sombra del equinoccio es de 71 2/3
• La sombra del solsticio de invierno es de 208 1/3

Londinium:

Era el nombre con que se designaba a Londres en los tiempos del imperio romano. Se encuentra a 51 1/2º del Ecuador, siendo su día más largo de 16 1/2 horas equinocciales.

• La sombra del solsticio de verano es de 31 5/12
• La sombra del equinoccio es de 75 5/12
• La sombra del solsticio de invierno es de 229 1/3

Río Rin:

Tiene 16 3/4 horas equinocciales en su día más largo y está a 52;50º al norte del Ecuador.

• La sombra del solsticio de verano es de 33 1/3
• La sombra del equinoccio es de 79 1/12
• La sombra del solsticio de invierno es de 253 1/6

Río Tanais:

Tiene 17 horas equinocciales en su día más largo y está a 54;1º al norte del Ecuador. 

• La sombra del solsticio de verano es de 34 11/12
• La sombra del equinoccio es de 82 7/12
• La sombra del solsticio de invierno es de 278 3/4

Isurium Brigantum:

Tiene 17 1/4 horas equinocciales en su día más largo y está a 55º al norte del Ecuador. 

• La sombra del solsticio de verano es de 36 1/4
• La sombra del equinoccio es de 85 2/3
• La sombra del solsticio de invierno es de 304 1/2

Caturactonium:

Es el actual pueblo de Catterick ubicado al noreste de las islas británicas. En su día más largo tiene 17 3/4 horas equinocciales y se encuentra a 57º del Ecuador. 

• La sombra del solsticio de verano es de 39 1/6
• La sombra del equinoccio es de 92 5/12
• La sombra del solsticio de invierno es de 372 2/3

Pequeña Britania (sur):

En realidad, esta es la actual Irlanda que se ubica al oeste de las islas británicas. Su día más largo tiene 18 horas equinocciales y se encuentra a 58º al norte del Ecuador. 

• La sombra del solsticio de verano es de 40 2/3
• La sombra del equinoccio es de 96
• La sombra del solsticio de invierno es de 419 1/12

Hasta aquí Ptolomeo nos dice que es superfluo seguir midiendo las sombras de los equinoccios y los solsticios pues la diferencia, de ahora en adelante, será de 1/4. Recordemos que todo este relato de estas ciudades va avanzando cada vez más al norte. 

Pequeña Britania (medio):

Tiene su día más largo con 18 1/2 horas equinocciales y está a 59 1/2º del Ecuador.

Pequeña Britania (norte):

Tiene su día más largo con 19 horas equinocciales y está a 61º del Ecuador. 

Ebudae:

Esta es la parte actual de las islas Hébridas en la actual Escocia, teniendo sus días más largos con 19 1/2 horas equinocciales y está a 62º del Ecuador. 

Thule:

Thule representa a las actuales islas Shetland al noreste de Escocia, teniendo sus días más largos con 20 horas equinocciales y se ubica a 63º al norte del Ecuador. 

Pueblos escitas:

Estos pueblos se encuentra al extremo oeste del imperio romano y poco o nada se sabía de ellos en ese entonces. En estas regiones los días más largos duraban 21 horas equinocciales y se encuentra a 64 1/2º al norte del Ecuador. 

Círculo polar ártico:

Este es el paralelo más lejos donde el día más largo dura 24 horas equinocciales y está a 66;8,40º del Ecuador. 

Imagen extraída de www.wikisource.com

Especulaciones de las regiones que se encuentran más al norte

Para calcular la elevación de polo se tendrá que seguir la misma lógica:

• Elevación del polo a 69 1/2º: 30º a un lado del solsticio.
• Elevación del polo a 73 1/3º: 45º a uno y otro lado del solsticio.
• Elevación del polo a 78 1/3º: 60º a uno y otro lado del solsticio.
• Elevación del polo a 84º: 75º a uno y otro lado del solsticio.
• Elevación del polo a 90º: alcanzando la totalidad del solsticio. 

Conclusión

Veos aquí unas limitantes importantes en las teorías de Ptolomeo, pues no pudo hablar sobre las latitudes restantes con respecto al Ecuador porque el Imperio romano no alcanzaba tantos lugares. Sin embargo, estos datos ayudarán para dar las coordenadas a otros hombres que contribuirán al estudio de la astronomía (más bien geografía). Sigamos con la tarea de analizar la compleja teoría astronómica de Ptolomeo. 

Claudio Ptolomeo - Almagesto (Libro I: Especificaciones de la tierra) (??)

No se sabe cuando exactamente se escribió, pero si se sabe la increíble contribución que hizo al campo de la astronomía. En cierta ocasión ya habíamos visto la relación entre astronomía y filosofía con Aristóteles, pero ahora veremos ciertas mejoras y precisiones con la ayuda de Claudio Ptolomeo. ¿Cómo pudieron los romanos determinar el movimiento de los planetas y de los astros, siendo que no tenían satélites ni mucho menos de la tecnología de punta que tenemos hoy? La verdad es que el mérito de ellos quedará para la posteridad porque determinar todas estas cosas ''al ojo'', es para recibir un premio.

Definiciones:

(1) Equidistante: A la misma distancia entre dos polos. 
(2) Bisecar: en geometría, partir en dos. 

Referencias:

(1) Sistema de posicionamiento numeral que tiene como base el número 60.
(2) Una de las imposibilidades de la época.

ALMAGESTO

LIBRO I: Especificaciones de la tierra

Prefacio

De acuerdo con Ptolomeo siempre ha existido una rivalidad entre quienes se preguntan ¿qué es más importante? ¿la teoría o la práctica? Cualquiera que sea más importante, Ptolomeo nos dice que lo primero que debemos entender es la teoría para luego enseñarla a los demás. 

El mismo Aristóteles dividía la teoría filosófica en tres grandes materias:

Física 

Matemática

Teología

Estas tres materias no pueden ser observadas por sí mismas, sino que necesitan de algo más para ser entendidas. 

Relación de la astronomía con la filosofía

Veamos ahora cómo las materias de la filosofía se juntan con las astronómicas:

Física: si queremos saber qué textura o calidad tienen las cosas. 

Matemática: si queremos saber el tamaño, la forma, lugar y tiempo.

Teología: si queremos especular o imaginar sobre lo que está más allá del cielo. 

La Física y la teología serían ciencias especulativas, ya que en física siempre se utilizan objetos cambiantes y en teología sólo podemos especular. Para el conocimiento del rigor científico sólo podremos contar con la matemática. 

Por supuesto que estas ciencias ayudarán al conocimiento de la astronomía, pues nada hay más importante que distinguir lo corruptible de los incorruptible. 

Movimiento circular del cielo

Naturalmente, las primeras nociones de los antiguos era asegurar que el cielo tiene un movimiento circular; en efecto, el sol va de derecha a izquierda, desapareciendo en este último movimiento. Esto sucede en cualquier perspectiva y en cualquier punto que nos encontremos. 

Lo mismo sucede con las estrellas, en cada noche están más a la izquierda a medida que pasan los días. Las estrellas que son más luminosas son las que están más cercas de la tierra, mientras que las menos visibles están lejos. 

Existen otras estrellas que parecieran desaparecer y no volver, mientras otras están permanentemente en el cielo. En todo caso, todos estos astros incluyendo la tierra son esféricos y deben en parte su forma de acuerdo a la divinidad. 

La tierra es esférica

Es fácil deducir que la tierra es redonda debido al movimiento de los astros. El sol siempre es el mismo sin importar la posición en la cual nos encontremos, siempre es el mismo para todos. Sin embargo, hay fenómenos que pueden engañarnos con su posición. El eclipse pasa siempre en el mismo lugar y posición (para todos los observadores), pero no ocurre a la misma hora. 

Eclipses

Para los antiguos, los eclipses no ocurren a la misma hora en el este y el oeste. Los registros no los indican a la misma hora, por lo que es comprobable dicho fenómeno. 

Vemos entonces que la distancia es proporcional a la hora entre los lugares de observación (sobre todo si es de este a oeste). Esto comprueba aún más que la tierra es esférica porque la observación de un astro se interrumpe por el tiempo. Eso sólo puede ocurrir si la tierra es esférica. 

Forma de la tierra

Ptolomeo nos da un ejemplo de cómo se verían los astros si la tierra tuviera diferente forma:

Si la tierra fuera...

Cóncava: Sólo podríamos ver las estrellas en el este y el oeste. Sin embargo, desde cualquier parte podemos ver las estrellas. 

Plana: Todos podríamos ver las estrellas a la misma distancia, lo cual no es posible porque unas están más lejos y otras más cerca.

Triangular o cuadrada: Similarmente a la plana, todas las estrellas podrían verse a la misma distancia. 

Además, se puede deducir que la tierra es redonda, porque a medida que vamos caminando hacia el norte, las estrellas del sur comienzan a desaparecer y mientras nos movemos al norte, las del sur comienzan a aparecer nuevamente. 

La tierra está en medio de los cielos

Tal como Aristóteles, Ptolomeo asegura que la tierra es el centro de los cielos, o, para entenderlo mejor y en otras palabras; es el centro del universo. 

Si esto no fuera cierto, entonces tendríamos que pensar dos cosas:

• La tierra no está en el eje del universo, pero sería equidistante (1) a dos polos.
• La tierra está en el eje, pero sólo en uno de los polos.
• Ni en el eje ni en polos equidistantes,

Veamos primero en detalle cada una de estas consecuencias, a saber de si no existiera la tierra como el centro del universo. 

1. Si la tierra no fuera el eje, entonces el equinoccio no podría tomar lugar, lo cual es completamente fuera de lugar. Por lo demás, si estuviera una vez en un polo y luego en otro (este y oeste), entonces las estrellas cambiarían de posición constantemente.
2. Si la tierra estuviera sólo en un polo, entonces tendríamos que bisecar(2) la tierra en dos teniendo dos partes de la tierra: una baja y otra alta. Esto significaría que las estrellas que se ven al sur serían invisibles para los del norte, y viceversa (lo cual es absurdo).
3. La tercera consecuencia se rebate con las dos primeras mencionadas.

Otra de las pruebas de que la tierra es redonda, es por la sombra que proyecta la tierra en otros astros, como la luna. 

Inmovilidad de la tierra

Es clara la inmovilidad de la tierra por el hecho de que son los objetos de esta los que se mueven. Los objetos siempre van hacia abajo; es decir, hacia el centro de la tierra y de hecho, si no fuera por la superficie de esta, los objetos seguirían dirigiéndose hacia el centro. 

Muchos pensadores antiguos decían que la tierra se movía, por cuanto esta era un objeto como cualquier otro. Sin embargo, si fuera así, entonces la tierra estaría cayendo infinitamente, dejando a todos los objetos pequeños en el aire. 

Por otro lado, tenemos a Heráclides póntico quien fue el primer filósofo en establecer que la tierra se movía en su propio eje, pero que sin embargo, los cielos eran los que permanecían inmóviles. Pero ¿cómo es que las nubes se mueven hacia el este?

Dos movimientos del cielo

Primer movimiento: movimiento uniforme circular

Uniformemente, el cielo tiene un primer movimiento fundamental e ininterrumpido el cual es el que lleva los cielos de derecha a izquierda, de este a oeste. 

Segundo movimiento: movimiento elíptico

El otro movimiento que existe es el de los planetas que es muy diferente al de los cielos. El sol y los demás planetas tienen un movimiento mucho más lentos que el de los cielos si se los observa detenidamente. Y, más que moverse de este a oeste, estos parecen también moverse hacia el norte y hacia el sur. 

El movimiento que tienen estos planetas, sobre todo como se nota en el sol, se llama movimiento elíptico. En efecto, el equinoccio y el solsticio suceden gracias al movimiento elíptico del sol. Este movimiento se puede notar cuando vemos que el sol está ,más lejos de la tierra y otras veces está más cerca. 

Conceptos individuales

Ptolomeo nos dice que todo esto ha sido sólo una mera introducción a la comprensión de la tierra y sus astros. Pasaremos ahora a investigar algunos conceptos claves para continuar, y uno de ellos es la tabla de cuerdas. 

Trigonometría euclidiana

Antes de pasar a analizar en profundidad la tabla de cuerdas de Ptolomeo, necesitamos saber algunas cosas de trigonometría euclidiana. 

Primero debemos tener una circunferencia 

Luego debemos introducir una decágono regular (polígono de diez lados y diez aristas) dentro de la circunferencia.

Ahora, dentro de esta circunferencia también podemos crear un pentágono.

En lo sucesivo, imaginemos las circunferencias que dirá Ptolomeo de esta forma. 

Tabla de las cuerdas: su tamaño

Para empezar a analizar este conceptos necesitamos usar un sistema sexagesimal(1). 

Primero, hagamos un semicírculo que tenga una Tangente A, la opuesta una G y en la parte superior una B:

Figura 1

Ahora, situemos una línea que una D y B que estarán perpendicular a A y G.

Figura 2

Luego bisequemos una linea entre D y G que llamaremos E. Esta se unirá con B en medio de D y G. Después hacemos exactamente lo mismo con una letra Z.

Figura 3

Z y G harían el radio de D en el semicírculo que se muestra en la figura 3. Por otro lado, Z y B son iguales a D y B, y lo mismo ocurre con E y B (y E y D).

Como dijimos que trabajaríamos con un sistema sexagesimal, digamos que el diámetro del semicírculo es de 120º. 

Figura 4

Por lo tanto:

AZ = 30º

ZD = 30º

DE = 30º

EG = 30º

AD = 60º

DG = 60º

AG =120º

Lo que nos lleva a comprobar lo siguiente:

DE = 30

DE² = 900

BD = 60 (un radio)

BD² = 3600

Ahora, como el radio del círculo BD es de 60 (r = BD = 60), mientras que el de DE es de 30 (r = DB =30), Ptolomeo eleva estos dos grados obteniendo lo siguiente:

DE² + BD² = EZ²

Que es lo mismo que:

30² + 60² = 4500 

Luego de este resultado, Ptolomeo utiliza el teorema de Pitágoras por lo que se añadirá la raíz cuadrada al resultado:

EZ = 4500

√4500 = 67.082

En el sistema sexagesimal, el resultado debe expresarse de la siguiente forma: 67;4,55. ¿Por qué en el sistema sexagesimal? porque si utilizamos la raíz cuadrada obtendremos el siguiente resultado: 67,082039324993690892275210061938.

Principalmente, el decágono tendrá 36º. Si nos concentramos en la circunferencia, tendremos específicamente 72º en el pentágono. Si tuviéramos un hexágono, entonces este tendría 60º, mientras que un cuadrado tendría 90 en la misma circunferencia. Por último tenemos los 120º que representaría un triángulo inscrito en la circunferencia. 

¿Cómo se logran esas medidas? de la misma manera que se obtuvo el resultado de EZ; usando el teorema de Pitágoras. 

Como el lado ZD del decágono es de 36º (específicamente), llevado al sistema sexagesimal tendríamos: 37;4,55. 

Ahora necesitamos calcular el lado del pentágono que es de 72º. Así:

BD² + ZD² = BZ²

60² + 37;4,55² (ZD²) = 4975;4,15 

Luego debemos aplicar el teorema de Pitágoras:

√4975;4,55 = 70;23,3

Con estos resultados tenemos dos cuerdas calculadas:

Crd 36º = 37;4,55 (decágono) 
Crd 72º = 70;23,3 (pentágono)

El valor del hexágono en la circunferencia no será necesario sacarlo, en efecto, el mismo Ptolomeo lo da por hecho diciendo que el resultado de esta cuerda sería 60º.

Crd 60º = 60;0,00

Luego tendríamos la cuarta cuerda de Ptolomeo que se forma por medio de un cuadrado en la circunferencia, y su fórmula es la siguiente. Por lo tanto, para formar este cuadrado tenemos que ver el ángulo del cuadrado (que siempre es de 90º).

Así, tenemos que AD² + BD² = AB²

Que sería lo mismo que decir:

60² + 60² = 7200

Y usando el teorema de Pitágoras:

AB = √7200 = 84;51,10

Y así tenemos la cuarta cuerda:

Crd 90º = 84;51,10

Por otro lado, tenemos la medida de un triángulo inscrito en la circunferencia. Para esto, Ptolomeo obvia que la medida del radio del cuadrado aumentado tres veces daría 120º. 

Por lo tanto:

AG² = 3r² (90)
AG² = 10800

Y utilizando el teorema de Pitágoras:

AG²  = √10800 = 103;55,23

Y así tenemos la quinta cuerda:

Crd 120º = 103;55,23

Hasta ahora tenemos 4 cuerdas formadas por figuras geométricas dentro de una circunferencia.

Cuerdas del arco suplementario: el teorema de Ptolomeo

El cálculo de las cuerdas desarrolladas quedaron establecidas de la siguiente manera:

Crd 36º = 37;4,55 (decágono) 
Crd 72º = 70;23,3 (pentágono)
Crd 60º = 60;0,00 (cuadrado)
Crd 120º = 103;55,23 (triángulo)

Ptolomeo decide calcular los ángulos suplementarios del decágono y del pentágono. Recordemos que los ángulos suplementarios son aquellos que suman 180º. 

Para esto, Ptolomeo nos dice que sólo debemos elevar al cuadrado el primero decágono (37;4,55²), que daría el resultado de 1375;4,15 y el cuadrado del diámetro sería de 14400. Por lo tanto, el resultado del arco suplementario será de 144º.

Así tenemos que el arco suplementario del decágono es el siguiente:

Crd 144º = 114;7,37

Para calcular los demás arcos suplementarios se debe hacer el mismo procedimiento; elevar el resultado de cada cuerda al cuadrado. 

Cuerdas con ángulos de diferencia

Para ver estas cuerdas, Ptolomeo nos dice que se haga un círculo con un cuadrilátero arbitrario de ABCG.

Luego se deben unir A y G; B y D

Luego, entre A y G ponemos un punto E para que ABE tenga el mismo ángulo que DBG.

De aquí se comprueba que ABE es igual al ángulo DBG. Así como pueden probarse muchas otras más combinaciones. 

ABE = DBG
ABD = EBG
BDA = BDG

También pueden verse combinaciones más pequeñas:

BC/CE = BD/DA
BC/AD = BE/CE

Aquí queda probada la igualdad de ángulos de una figura dentro de una circunferencia.

Cuerdas con ángulo de mitad

Para esta teoría debemos crear un semicirculo con ABCD, siendo el diámetro de este AD.

Unamos D con C y B, para luego unir C con B; B con A y C con A.

Establezcamos que el diámetro de AD es de 120º guiándonos por el sistema sexagesimal. BD y BD son ángulos complementarios porque desde D hacen 180º. A este tipo de cuadrado dentro del semicírculo lo llamaremos cuadrilátero cíclico. 

Este teorema da finalmente las expresiones más bajas (entendidas en número), para las restantes cuerdas:

Crd 12º = 12;32,36

Crd 18º = 18;46,19

Crd 6º = 6;16,49

Hasta ahora hemos completado 8 cuerdas con sus respectivos cálculos. 

Cuerdas con ángulo de mitad de arco y de suma

Para seguir con la teoría de las cuerdas necesitamos realizar la siguiente figura. 

Esta vez construiremos otro semicírculo con las siguientes coordenadas:

Los triángulos ABC y ACE son iguales por tener en común la línea AC.

Por otro lado, AB y AE tienen al diámetro AD en común, así como AB, AC y AE AC son iguales. 

Luego tenemos que BD es igual a DE, tanto como EF es igual a FD. 

De estas expresiones vamos sacando medidas cada vez más pequeñas, debido a las múltiples divisiones que se han hecho a la circunferencia. 

Ya tenemos la cuerda de 6º, ahora faltaría bajar a las cuerdas más pequeñas que se sacaron partiendo por la mitad como en la última circunferencia; por lo tanto, tenemos 3, luego la mitad de 3 (1;30) y la mitad de la mitad de 3 (0;45)

Crd 3º = 3;8,12

Crd 1;30º = 1;34,15

Crd 0;45º = 0;47,8

Estas son las cuerdas descritas hasta ahora,pero aún falta describir otra más. 

Esta vez no construiremos un semicírculo, sino más bien un círculo con los puntos ABCDEF. 

El centro de éste círulo es F, mientras que su diámetro será AD. Por lo tanto, el ángulo BE es igual que, así como AB es igual a ED. Además, tenemos que decir que el ángulo BD es un ángulo suplementario, al igual que CE.

Lemma para encontrar las cuerdas faltantes

Faltan aún las cuerdas que se tienen que dar por los múltiplos de 0;30; sin embargo, esto representaría un problema porque se tendría que bisecar un ángulo muy delgado, y esto no se puede hacer por medio de regla y compás(2).  

Desde éste círculo tenemos las siguientes coordenadas:

DEH > DEG

DBA > DEF

Así como también:

DEG y DEA = DHE y DEF > DEG y DEA = DH/AE (estos últimos comparten el diámetro de DEG y DEA). 

Por lo tanto:

DH/AE < DGE / DEA

Gracias a estas expresiones aplicando el teorema de Euclides y el de Pitágoras, Ptolomeo concluye el cálculo de otra cuerda que sera de 1º. 

Crd 1º = 1;2,50

En efecto, como no se pudo calcular menos, Ptolomeo sacó la cuerda restante y asegura que así se podría hacer con las demás (sacando los múltiplos de ½ en ½). 

Tabla de las cuerdas

A continuación mostramos la totalidad de cuerdas que Ptolomeo pudo registrar en este tratado. El propósito principal fue encontrar al menos 360 cuerdas. 

Hemos querido añadir una imagen sacada de la página Wikisource donde se encuentra el registro completo de las tablas:

Tabla de las cuerdas

Oblicuidad Eclíptica

Ahora, Ptolomeo comienza a explicar la oblicuidad eclíptica del solsticio, ayudado con el Ecuador que comprende la trayectoria de dos polos. 

Construcción del anillo meridiano

Ptolomeo nos dice que la mejor manera para calcular la oblicuidad es a través de una esfera armilar. Veamos las instrucciones de dicho objeto:

Materiales:

• Dos anillos de bronce: uno pequeño y otro grande
• Dos planchuelas
• Dos punteros
• Pilar de bronce (o madera)
• Línea de plomo

Ahora vienen las instrucciones:

• Un anillo de bronce del tamaño adecuado situandolo como un círculomeridiano. Este anillo girará de izquierda a derecha.
• Necesitaremos otro anillo más pequeño para introducirlo dentro del más grande. Este anillo girará de arriba hacia abajo.
• Las dos planchuelas se deben introducir en el aro más pequeño, de modo que apunten al medio de los dos aros.
• Los punteros deben estar en la punta exterior de la planchuela (con relación al aro) para que puedan rozar el aro más grande.
• Todo esto debe ir apoyado de una base apropiada. Aquí debemos usar el pilar para sostener los aros.
• Luego debemos hacer una línea de plomo perpendicular para que representemos el cénit. 

Otro modo de hacerlo es con una placa de madera u otro material resistente. Se ponen dos clavijas en el lado superior izquierdo y otra más pequeña en el lado inferior izquierdo.

En esta ilustración,las clavijas hacen la sombra con respecto al sol y así poder saber la posición del sol. 

En los solsticios, el número del cénit es el mismo que se promedia con los meridianos ya sea verano o invierno. La medida del arco de los solsticios de Norte a Sur es siempre de 47 2/3º. Por otro lado, Ptolomeo acepta que entre los trópicos, la medida de distancia de ellos es de 11/83, descubrimiento que en realidad fue llevado por Eratóstenes. Esto quiere decir que las coordenadas del 11/83 serían 23 grados, 51 minutos y 19 segundos. 

Longitudes del arco del Ecuador y la Eclíptica

Ahora pasaremos a medir los arcos del Ecuador y la oblicuidad eclíptica. 

Para eso debemos tener en cuenta la siguiente figura:

Aquí se supone que:

GA : AE = (GD / DZ) x (ZB / BE)

Tenemos que tener en cuenta que GD y EH son paralelas. Por otro lado, GE/EA = GZ/DZ. 

Veamos la figura que representaría el Ecuador y la oblicuidad de la eclíptica. 

Pongamos ABGD como el círculo que rodea la tierra, mientras que para el Ecuador estará AEG y la Eclíptica BED. El punto E será la intersección del equinoccio de primavera, mientras que B será la intersección del solsticio de invierno y D en el del verano:

ABGD: Círculo de los polos

AEG: Ecuador

BED: Eclíptica

E: Equinoccio de primavera

B: Solsticio de invierno

D: Solsticio de verano

El problema de esto será determinar la letra Θ y la letra H. Según Ptolomeo, mediante algunos cálculos trigonométricos se puede decir que el arco ΘH es de 20;30,9º

Así, el primer signo de la eclíptica contado desde el equinoccio con el mismo signo que el Ecuador: 27;50º

Conclusión

Es un libro tremendamente complejo. Es necesario leer los elementos de Euclides para no tener problemas con los ejercicios de trigonometría. La primera parte como pudimos ver, es una introducción a entender la filosofía aristotélica y cómo ésta está vinculada con la astronomía que plantea Ptolomeo. Sin duda es un gran mérito que Ptolomeo haya podido determinar todos los ángulos posibles dentro de una circunferencia, sin la tecnología con la que contamos. Realmente algo digno de elogiar. 

Claudio Ptolomeo - Vida y obra (100 d. C. - 170 d. C.).

Podríamos decir que su nombre nunca se recordó tanto como su teoría geocéntrica del mundo. Si incluso el mismo Cristóbal Colón debió usarlo para sus viajes; se dice que erróneamente encontró América basándose en el mapa de Ptolomeo. Pero no sólo su aportación de un mapa fue lo que logró Claudio Ptolomeo, también construyó un modelo de movimientos de los planetas; fue uno de lo más complejos modelos geocéntricos, aunque la verdad, la explicación de esos movimientos hoy en día es mucho más fácil de explicar con toda la tecnología de ahora. Veamos el mérito de este gran hombre y algunas de sus obras en lo sucesivo. 

CLAUDIO PTOLOMEO

Sin biografía

Es increíble que alguien tan importante en la historia de la humanidad no tenga una biografía personal. Lo único que podría saberse de él es que trabajo posiblemente en la biblioteca de Alejandría, en el reinado de Adriano y de Antonino Pío.

Trabajo intelectual

Las áreas cubiertas por Ptolomeo involucraban la astronomía, la geografía, la óptica y las matemáticas. 

Almagesto

Uno de sus primeros trabajos fue la llamada sintaxis matemática, que luego pasó a llamarse Ho Mega Astronomos (''el gran astrónomo'' en griego antiguo). Finalmente los árabes utilizaron solamente la palabra mega junto al prefijo ''al'', para formar el nombre que tiene en la actualidad ''Almagesto''. 

Este tratado se divide en 13 libros que detallan ciertos conceptos astronómicos pertenecientes a las estrellas y al sistema solar. Sin duda este es un libro inspirado por los trabajos de Aristóteles, pero por sobre todo por Hiparco de Alejandría. 

El almagesto postula a la tierra como inamovible, es decir, cree en un modelo geocéntrico de la tierra. Si la tierra se moviera, entonces algunos fenómenos como que los objetos caigan al suelo no podrían tomar lugar, pues, como decía Aristóteles, los objetos tienden a ir al centro de la tierra. 

Este sistema geocentrista duró hasta la era cristiana del año 1500, hasta que Nicolás Copérnico nos dijera que es la tierra la que gira alrededor del sol y no al revés.

Analemma y Planisphaerium 

Este era un trabajo de matemática y geometría que Ptolomeo había desarrollado para poner a prueba algunos teoremas matemáticos. Todo esto enfocado tanto a los cuerpos celestes, como a los cuerpos de la tierra. Este libro también colaboró junto con su otro libro llamado Planisferio al desarrollo y fundamentación de los calendarios. 

Óptica y música

Consiste en cinco libros que describen la teoría de la refracción y algunos problemas que tienen que ver con la óptica. La música fue otra de las áreas cubiertas por Ptolomeo en su tratado Harmónica. 

Geografía

Dividido en ocho libros, la geographia de Ptolomeo nos muestra cómo se pueden hacer mapas. Sin embargo, en dicho trabajo, la guía para hacer un mapa tiene muchos errores geográficos que el mismo Cristóbal Colón experimentará en sus viajes.   

Conclusión

La verdad no hay mucho más que decir sobre este pensador y científico de la antigüedad. Sigo insistiendo que es raro que no se sepa mucho más de la vida social y personal de este personaje, siendo que sus trabajos fueron totalmente claves para el razonamiento de la antigüedad. Nos quedaremos solo con su legado matemático e increíblemente complicado, ya que las razones de todas las cosas se las debían solamente a las matemáticas.