lunes, 11 de septiembre de 2017

Ejército del Imperio Romano.



Nada más importante en la historia de un país o nación que la defensa del mismo, pues para eso está el ejército. Las legiones romanas son las más conocidas de la historia, aparte de ser una de las más interesantes debido al éxito que tenían en batalla por sus diferentes tácticas contra el enemigo. En estos apuntes de filosofía dividiremos las legiones romanas en dos períodos de acuerdo a la historia: Legiones romanas en la República Romana y Legiones romanas en el Imperio Romano. Veamos qué se puede extraer de uno de los ejércitos más importantes que haya existido.

Referencias:

(1) Véase nuestro apartado ''Economía del Imperio Romano''.

EJÉRCITO DEL IMPERIO ROMANO

Monarquía Romana

Todo ciudadano varón de la Monarquía Romana era indisolublemente un potencial soldado que serviría en la guerra, por no decir que ya en su condición de ciudadano era considerado un soldado. Por supuesto, todo el aspecto militar estaba regido por la aristocracia de ese tiempo. 

La legio

Si entendemos que las gens eran los que constituían las clases sociales en Roma(1), entonces se entiende de la misma manera que las gens tenían su propia organización militar. Una porción de las gens iba armada a la guerra, mientras otros apoyaban con sus gritos. 

Estos hombres recibieron el nombre de ''Celeres'' en honor al lugarteniente de Rómulo Celer quien se dice fue ordenado por Rómulo para asesinar a Remo. Los Celeres se componían desde 300 hasta 500 hombres y estaban divididos en centurias que eran las unidades básicas de infantería romana. Las centurias se componían de tribus primitivas que eran exactamente tres: Ramnes, Tities y Luceres. 

El ejército de centurias era comandado por un centurión que era asistido por un optio (sargento) y un tesserarius (teniente). También había una tropa auxiliar llamada signifer quien llevaba la bandera y finalmente un buccinator que tocaba una especie de trompeta en las batallas.

Este ejército se mantuvo por la monarquía etrusca y se mantuvo así hasta los días en que Roma pasó a ser República. Más tarde se les llamó legio a estos ejércitos que correspondían con la época monárquica. 

Retrato de un soldado romano
Las tácticas

La táctica que empleaban las legio era bastante simple, pues se presentaban a los enemigos con un frente de picas para que no se acercaran. Al mismo tiempo que avanzaban con las picas, las legio se protegían con sus escudos para no recibir daños mientras avanzaban. 

La formación que mantenían las legio era la conocida formación hoplita, que ya se usaban en la Antigua Grecia donde incluso tenían soldados que recibían el nombre de hoplitas. 

Ejército de ciudadanos

Como la legio estaba constituída por personas de la clase alta, Roma se vio en la necesidad de más soldados para lo que tuvo que incluir también a los plebeyos. Los que eran capaces de transportar armas a la guerra serían considerados soldados, por lo que se forma una nueva constitución de soldados según su fortuna personal:

Primera clase: eran los llamados iuniores que tenían de 18 a 40 años de edad. Se componían de 40 centurias.

Segunda clase: eran los llamados seniores que tenían de 45 a 60 años de edad. Se componían de 40 centurias.

Tercera clase: se componían de 10 centurias de iuniores. 

Cuarta clase: se componían de 10 centurias de seniores.

Quinta clase: se componían de 15 iuniores. 

A estas clases también se añaden los equites que tenían el más alto rango frente a toda la legio. Estos eran la clase ecuestre de Roma y por lo tanto una de las más ricas, pues tener un caballo en Roma era algo muy difícil para un ciudadano promedio. Los equites se componían de 18 centurias. 

Luego se tenían a los técnicos que en su mayoría eran artesanos y músicos los que formaban 4 centurias, y finalmente los proletarii que si bien no eran soldados, se les consideraba como ciudadanos que aportaban con su prole, es decir, por su persona y no por sus bienes. 

No obstante todo esto, sólo los ciudadanos más ricos tenían las responsabilidades más pesadas, además de las labores más pesadas dentro de la armada. Las otras clases sociales en la armada se encargaban de las labores auxiliares. 

Las legio llegaron a ser aproximadamente 5.000 y se mantuvieron a lo largo de toda la historia del Imperio Romano. 

República Romana

El ejercito manipular

Uno de los concepto más importantes para el mantenimiento de las tropas es el de stipendium que era una especie de impuesto donde todas las ciudades debían cooperar para sustentar a la armada de Roma. Todo lo recaudado iba directamente a Roma y era ocupado para mejorar o mantener el equipo de guerra. 

Las consecuencias de haber introducido stipendium en Roma estriban en que la estructura social rígida que tenía la armada se disolvía gradualmente. Así, la centuria fue perdiendo importancia para dar paso al nuevo ejército llamado ''manipular'', donde el estrato social es totalmente irrelevante. Ahora lo que valía mucho más que el estrato social sería la experiencia y compromiso que tuviera el soldado (incluso los esclavos participaban del ejército). 

La falange hoplita quedaría totalmente descartada por la nueva táctica del ejército manipular. Se llamaba manipular porque los nombres de los soldados eran llamados manipulos que eran 120 hombres que conformaban la infantería pesada. Tenían tres líneas de batalla:

Primera línea: estos eran los hastati que eran soldados de infantería con armaduras de cuero, cascos adornados con tres plumas y un escudo de madera reforzado con hierro. Eran apoyados por los velites (infantería ligera) y al lado de estos los equites.

Segunda línea: los princeps conformaban la segunda fila y eran soldados que hacían la infantería pesada.

Tercera línea: luego tenemos los triarii que eran muy parecido a los soldados hoplitas porque acostumbraban a adoptar la misma posición. 

En las formaciones habían por lo menos 1500 hastati, 1200 princeps y 500 triarii.

Dilectus

Los ciudadanos que eran considerados en el ejército debían ser adsidui, es decir, estar capacitados para ejercer el servicio militar. Estos ciudadanos eran los correspondientes a las 5 clases que nos referimos anteriormente, los proletarii quedaban totalmente fuera del dilectus

Sin embargo, la leva (reclutamiento militar) sólo se emprendía en momentos de guerra. 

Batalla contra Veyes

Los romanos asediaron la ciudad etrusca de Veyes, rodeándola y dejándola sin entrada para los suministros. Fue conquistada por el general romano Marco Furio Camilo al cabo de 10 años de comenzada la guerra. Así Veyes quedaría anexada a Roma como una de las grande victorias de la República. 

Primera guerra púnica

Roma se enfrentaba con uno de los enemigos más temibles de la época de la República: La República Cartaginesa. 

Las ciudades guerras y otras ciudades itálicas habían sido sometidas al poder romano. Cartago tenía muchas ciudades a su favor, aunque tenían buenas relaciones con Roma, sin embargo, la ambición por hegemonía se hizo más grande lo que llevó a las dos naciones a enfrentarse. 

Roma ganó la guerra tras 24 años de enfrentamiento y con esto, Sicilia ese transformaba en una ciudad estratégica para Roma. Esto sirvió para reafirmar la confianza en los soldados, aunque las dos naciones habían quedado exhaustas de tanto luchar. No obstante, Cartago, que estaba bastante derrotada, no quiso dar pie atrás y declaró nuevamente la guerra a Roma, la que tampoco estaba en buenas condiciones para seguir la guerra.

Segunda guerra púnica


Roma se veía en serios problemas. Consideremos que antes de la segunda guerra púnica, Roma movilizaba 50.000 legionarios a combatir. Sin embargo, luego de la segunda guerra púnica debió movilizar a 55.000 legionarios considerando que la población era de 300.000 ciudadanos. Roma se quedaba sin soldados por lo que tuvieron que reclutar a cualquier ciudadano para que combatiera (aunque también debían ser ciudadanos que supieran algo de armamento, además de tener sus deudas al día). Los políticos romanos se veían de manos atadas con las bajas del ejército y el poco efecto que tiene el reclutamiento de soldados. 

Cay Mario

Es así que el general Cayo Mario propone una reforma muy conveniente a los problemas de Roma. Mario reclutó a la clase proletaria y educarla para el combate; sin embargo, la clase proletaria no estaba interesada en absoluto en los asuntos militares. Por eso es que la reforma de Mario tuvo tanto éxito porque si los proletarios iban a la guerra, su participación les haría propietarios de nuevas tierras para sus actividades agrícolas. También habían beneficios para aquellos que se jubilaban siendo soldados del Imperio Romano, a los cuales los harían propietarios de tierras. 

Como última reforma, Mario introduce las cohortes que estaba compuesta de 6 centurias dobles, es decir, 160 hombres en cada una. Se eliminan las unidades especializadas que estaban en el ejército manipular (hastati, principes, velites y triarii) haciendo la legión un ejército homogéneo. 

Se llegaron a tener 6.000 soldados sin contar a los combatientes que no tenían rango militar. 

Centuria (80 hombres)

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Manipulo (2 centurias)

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Cohorte (6 centurias)

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Estas reformas de Mario pudieron dar más eficacia al ejército romano. Sin embargo, los problemas surgieron cuando el supuesto estado de permanencia de soldado no era tan permanente como se creía, pues el ciudadano era soldado sólo cuando se presentaba la guerra. Además, los ciudadanos comenzaron a tener más fidelidad y lealtad al general del ejército, más que al Estado Romano.

Esto condujo a que se formaran caudillos y empezaran las guerras civiles, se acercaba inevitablemente el fin de la República Romana para dar paso al Imperio Romano. 

Imperio Romano

La tarea de arreglar la insubordinación de las guerras civiles era una de las más difíciles de enfrentar, pero César Augusto logró realizar todos los objetivos para dejar los conflictos atrás. Los soldados en época de Augusto se incrementaron en número para alcanzar la suma de 230.000 y las legiones quedaron reducidas a 28 (para evitar una gran insubordinación). 

Legiones

Dentro de las legiones podemos ver que existían distintos rangos y características; por ejemplo, los soldados de la primera cohorte eran llamados primus pilus quienes debían mostrar mucho valor e inteligencia. Por otro lado estaban los soldados gregarius que eran simples soldados, aunque estos puestos ya estaban propuestos desde Cayo Mario. 

Augusto añadió más fuerza e importancia a los auxiliares, como una especie de segundo ejército que reforzaría a largo plazo al primero. 

Auxiliares

Consistían principalmente en unidades de infantería y caballería paralela a las legiones. Se dividían igual que las cohortes, es decir, 80 hombres. Esto hizo que los ejércitos se incrementaran aún más al considerar más hombres para este ejército específico. 

Ejército especial de la guardia

Augusto, no contento con formalizar y organizar las tropas auxiliares, crea un cuerpo propio del emperador para protegerlo personalmente: la conocida guardia pretoriana. 

La guardia pretoriana era la escolta del emperador que al principio comenzaban con 500 hombres, pero después el número se incrementó a 1.000. Esta era la cohorte de soldados a quienes mejor se les pagaba pues recibía un sueldo doble, superior al que recibían las legiones.

Para suerte de Augusto, la guardia pretoriana fue muy leal, al igual que también lo fue con Tiberio. Sin embargo, son los siguientes emperadores, las guardias pretorianas comenzaron a hastiarse de ciertos emperadores. Por ejemplo, Calígula fue asesinado por la guardia pretoriana para luego convocar a Claudio como el nuevo emperador. A Nerón la guardia pretoriana lo abandonó y a su sucesor que fue Galba lo asesinó. 

Las reformas de Septimio Severo

Las legiones y la guardia pretoriana se enfrentaban entre sí debido a los altos salarios que la guardia pretoriana ganaba en comparación con las legiones. 

Vespasiano había logrado mantener una imparcialidad en el ejército, hasta que esta se vio destruida por el emperador Cómodo, quien confió y benefició a la guardia pretoriana mucho más que a las legiones. Su error lo llevó a ser derrocado por el futuro emperador Septimio Severo. 

Este emperador solucionó en parte el problema de los ejércitos militarizando la sociedad. La idea de ser legionario ya no era atractiva para los ciudadanos, lo que llevaba a los romanos a rechazar las actividades militares. 

A los soldados se les otorgó armas mejoradas acordes con las nuevas técnicas de lucha,y se redujo el número de soldados en combate para movilizar mejor a las tropas. 

Las últimas reformas de Constantino I

No obstante las reformas militares de Septimio Severo, el Imperio seguía sufriendo ciertas inconveniencias en el aspecto militar, pues seguían generándose caudillos. Para acabar con esto de una vez por todas, Diocleciano pone fin a la guardia pretoriana, e incrementó el ejército de legiones. Diocleciano intentó separar el poder político del poder militar. 

El ejército se expandió hasta 580.000 soldados de 350.000 que eran en años anteriores. Cada ciudadano que era hijo de soldado se convertía en un soldado inmediatamente, y en cada comunidad se debían mandar cierta cantidad de soldados para suplir el ejército; las cuales fueron dos de sus reformas.

Sin embargo, fue el emperador Constantino I quien renovó totalmente el ejército, creando nuevas unidades llamadas comitatenses. Dentro de éste ejército, Constantino creó nuevos oficiales llamados magister peditum y magister equitum

Constantino reclutó bárbaros y soldados que no eran necesariamente romanos, sino que también reclutó de todos los pueblos que ya se habían conquistados (griegos, germanos, latinos, etc.). Con el tiempo, este reclutamiento de bárbaros quedará desplazado por los foederati quienes eran soldados reclutados aliados de Roma. En principio los foederati batallaron sólo en las guerras exteriores, pero después colaboraron en las luchas con los vecinos de Roma. 

Además, el emperador eliminó la guardia pretoriana reemplazándola por los palatini. De alguna manera, estos eran llamados las tropas imperiales (donde además se contrataban hombres que pertenecían a la vieja guardia pretoriana). 

El Imperio Romano batalló duramente contra los enemigos de oriente hasta el año 378 donde ocurrió la derrota de Valente en Adrianópolis. Los godos irrumpieron en el Imperio sin piedad, dejando a Roma cada vez más indefensa en términos de guerra. Teodosio I negoció con los bárbaros dándoles lugar en el Imperio, lo que hizo que progresivamente Roma se hundiera. 


Características de las legiones

Reclutamiento

Básciamente se reclutaban a soldados que cumplieran las siguientes características:


  • No tener problemas de salud.
  • Saber leer y escribir latín.
  • Juramento a la lealtad de Roma.

Luego de que el soldado reuniera todas las condiciones, el soldado era enviado a su destacamento correspondiente. Una vez que los soldados servían 25 años al ejército, si estos no eran romanos se convertían inmediatamente en ciudadanos romanos. 

Paga

Con las reformas de Cayo Mario, los legionarios recibían 225 denarios al añod, lo que equivalía a 900 sestercios. Luego Domiciano lo incrementaría a 300 denarios y Septimio Severo, quien se caracterizó por su gobierno militar, aumentó la cifra en 500 denarios. Sin embargo, todo esto no era en efectivo sino que en especies que serían en su mayoría ropa y comida. 

Por otro lado, los legionarios también tenían una especie de compensación llamada praemia que consistía de 3.000 denarios, desde los tiempos de Augusto, además de una tierra cultivable. En los tiempos del emperador Caracalla, la praemia aumentó a 5.000 denarios.

Entrenamiento

El entrenamiento consistía en gimnasia, natación y lucha con armadura para mantener a los soldados en forma. Además se hacían largas marchas para fortificar el aguante el caminar hacia las tierras enemigas. Caminaban 30 km con armadura puesta dos veces al mes. 

Entrenaban con una espada golpeándole a un maniquí de madera que tenía puesta la armadura romana (27 kilos). Las armaduras de las legiones consistían en una espada, un escudo, una cota de malla, dos pilas (un tipo de lanza), una daga y raciones de campaña para 15 días. 

Máquinas de guerra

Las máquinas básicamente eran arietes, catapultas, onagros y balistas que disparaban flechas y piedras a las unidades enemigas. En una unidad menor, existían las Scorpio que eran más pequeñas que las catapultas; arrojaban flechas encendidas para atacar al enemigo. 

Conclusión

Es indudable que las legiones romanas en un comienzo se inspiraron en el ingenio militar griego, pero se debe aceptar que los romanos mejoraron en mucho las tácticas griegas, además de mejorar el armamento utilizado. No podemos decir que el ejército tuvo una deficiencia cuando se derrumbó el Imperio Romano, más bien tendríamos que achacar la derrota a los jefes y emperadores que no pudieron administrar bien las legiones romanas, sobre todo en los años finales del Imperio. Sin duda, un apunte a considerar para todo aquel que quiera considerar la historia romana a fondo. 

domingo, 10 de septiembre de 2017

Euclides - Los Elementos (Libro IV: Circunferencia inscrita y exinscrita de un triángulo).

En el siguiente libro veremos las circunferencias que están contenidas dentro de un triángulo y las que pueden estar fuera de la misma circunferencia. Es imperativo que antes de avanzar en este libro, el lector ya haya indagado y estudiado el libro III de este tratado para abordar de mejor manera las proposiciones sucesivas. Tenemos una combinación de rectas y círculos que nos harán la tarea aún más compleja, aunque también se debe observar que son pocas las proposiciones. Veamos que nos trae Euclides en esta cuarta parte de Los Elementos.

Otros libros de Euclides:

Libro I: Triángulos
Libro II: Cuadrados y rectángulos
Libro III: Circunferencias


Definiciones:

(1) Equiángulo: que tiene todos sus ángulos iguales. 

LOS ELEMENTOS

LIBRO IV: CIRCUNFERENCIA INSCRITA Y EXINSCRITA DE UN TRIÁNGULO


Proposiciones

Proposición 1

Adaptar a un círculo dado una recta igual a una recta dada que no sea mayor que el diámetro del círculo

Tengamos un círculo dado ABΓ y sea Δ la recta dada no mayor que el diámetro del círculo. 


Tenemos que el diámetro es la recta BΓ y si éste es el diámetro del círculo, entonces en BΓ estará la recta dada Δ, por lo cual la proposición estaría cumplida porque se adaptaría al ángulo ABΓ. 

Si esto no fuera así, es decir, si BΓ no fuera igual a Δ, entonces tendríamos que decir que EΓ es igual a Δ con un centro Γ. Así, luego tendremos el círculo EAZ y trácese ΓA. 

De este modo, se ha adaptado Δ que era la recta dada, en el círculo ABΓ.

Proposición 2:

Inscribir en un círculo dado un triángulo de ángulos iguales a los de un triángulo dado

Sea ABΓ el círculo dado y ΔEZ un triángulo dado. 



De este modo, tenemos que poner un triángulo dentro del círculo ABΓ el cual tenga los mismos ángulos que el triángulo ΔEZ. 

Como vemos una recta HΘ toca el círculo ABΓ en el punto A, y desde el punto A ha sido trazada la recta AΓ, entonces el ángulo ΘAΓ es igual al ángulo ABΓ en el segmento alterno del círculo. 

Sin embargo, el ángulo ΘAΓ es igual al ángulo ΔEZ, y así el ángulo ABΓ es igual al triángulo ΔEZ.En consecuencia, el ángulo restante AΓB es igual al ángulo ΔZE 

Por lo tanto, el ángulo restante BAΓ es igual al ángulo restante EΔZ. 

Proposición 3:

Circunscribir en torno a un círculo dado un triángulo de ángulos iguales a los de un triángulo dado.

Tengamos un círculo dado ABΓ y ΔEZ el triángulo dado. 

Luego prolónguese EZ en ambos sentidos hasta los puntos H y Θ, y tómese el punto K como centro del círculo ABΓ y trácese una recta KB, y en ésta misma el ángulo BKA igual al ángulo ΔEH, y el ángulo BKΓ igual al ángulo ΔZΘ, y a través de los puntos A, B, Γ tracense las rectas ΛAM, MBN, NΓA tangentes al círculo ABΓ.




Como las rectas ΛM, MN y NΛ tocan el círculo ABΓ en los puntos A, B, Γ y KA, KB, KΓ se han trazado desde el centro K hasta los puntos A, B y Γ el ángulo correspondiente a cada punto será recto.

Los ángulos del cuadrilátero AMBK son iguales a cuatro rectos, puesto que AMBK se divide en triángulos y los ángulos KAM y KBM son rectos, entonces los ángulos restantes AKB y AMB son iguales a dos rectos. 

Sin embargo, los ángulos ΔEH y ΔEZ son también iguales a dos rectos, entonces los ángulos AKB y AMB son iguales a los ángulos ΔEH y ΔEZ, de los cuales AKB es igual a ΔEH y AMB es igual a ΔEZ. 

De igual manera, el ángulo ΛNB es igual al ángulo ΔZE, lo que significa que el ángulo restante MΛN es igual al ángulo EΔZ.

Luego el triángulo ΛMN es de ángulos iguales a los del triángulo ΔEZ, y está circunscrito en torno al círculo ABΓ.

Proposición 4:

Inscribir un círculo en un triángulo dado 

Tengamos ABΓ como un triángulo dado en el cual debemos incorporar un círculo dentro del triángulo. 

Dividamos en dos partes iguales los ángulos  ABΓ y AΓB utilizando las rectas BΔ y ΓΔ, teniendo Δ como centro. En las rectas del triángulo ABΓ se trazan rectas hasta los lados del triánbgulo AB, BΓ y ΓA y estas rectas son ΔE, ΔZ y ΔH. 


ABΔ es igual a ΓBΔ y el ángulo recto BEΔ es también igual al ángulo recto BZΔ. De este modo, EBΔ y ZBΔ son dos triángulos que tienen dos ángulos iguales a dos ángulos. Además, los dos tienen un lado igual que sería BΔ, lo que significa que ΔE y ΔZ son iguales (así como también ΔH).

ΔE, ΔZ y ΔH son iguales entre sí, además de tocar las rectas AB, BΓ y ΓA por ser rectos entre los puntos E, Z y H. Las rectas que trazadas a partir del centro Δ (ΔE, ΔZ y ΔH) no cortan el círculo, pues si las cortaran las rectas atravesarían las rectas tal y como lo presenta la proposición 16 del libro III de este tratado. 

Por lo tanto, sólo podremos decir que las rectas ΔE, ΔZ y ΔH no cortan el círculo y sólo tocan las rectas AB, BΓ y ΓA, lo que da como resultado un círculo EZH con centro Δ, por lo tanto, se inscribió un círculo en un triángulo dado que es lo que se quería demostrar. 

Proposición 5:

Circunscribir un círculo en torno a un triángulo dado

Primer círculo circunscrito:

Tengamos ABΓ como un triángulo dado y luego construyamos un círculo en torno a este triángulo. 

Dividanse en dos partes iguales las rectas AB y AΓ por los puntos Δ y E, y a partir de estos trazar ΔZ y EZ formando ángulos rectos con AB y AΓ.



Tenemos que AΔ es igual a ΔB y ΔZ es común y además forma ángulos rectos y así la base AZ es igual a la base ZB.

De igual manera ΓZ es igual a AZ, por lo que ZB es también igual a ΓZ, lo que da como resultado que las tres rectas ΓZ, AZ y ZB sean iguales. 

Así el círculo circunscrito con el centro Z con distancia de rectas trazadas a partir del mismo centro (AZ, BZ y ΓZ) pasará por los puntos restantes y así circunscribe al triángulo ABΓ. 

Segundo círculo circunscrito:

Modificando el mismo triángulo, tengamos que ΔZ y EZ están sobre la recta BΓ en el punto Z y tracese AZ. 



Luego debemos circunscribir un círculo en el triángulo ABΓ.



De esta forma podremos ver que Z sigue siendo el centro del círculo. 

Finalmente, AZ es igual a ZB y ZB es igual a ZΓ, y a partir de esto es como se puede circunscribir el círculo. 

Tercer círculo circunscrito:

Ahora tengamos que ΔZ y EZ quedan fuera del círculo ABΓ con el punto Z como centro del círculo. Luego tracense AZ, BZ y ΓZ.



AΔ es igual a ΔB y ΔZ es común además de formar ángulos rectos y así la base AZ es igual a la base BZ. 

De igual manera demostraremos que ΓZ es igual a AZ, así como también BZ es igual a ΓZ. 

Por lo tanto, el círculo ABΓ con centro Z pasará por las rectas ZA, ZB y ZΓ y también por las rectas restantes. 


Proposición 6:

Inscribir un cuadrado en un círculo dado

Tengamos un círculo dado ABΓΔ.

Luego debemos trazar los diámetros AΓ y BΔ del mismo círculo formando ángulos rectos entre sí. Posteriormente, tracese AB, BΓ, ΓΔ y ΔA, y luego formemos el centro con el punto E. 



BE es igual a EΔ y EA es común a los dos y forma ángulos rectos. De esta forma, la base AB es igual a la base AΔ.

Del mismo modo, las rectas BΓ y ΓΔ es igual a las rectas AB y AΔ, lo que hace que el cuadrilatero ABΓΔ sea equilátero. 

Euclides dice que además es rectangular

BAΔ es un semicírculo lo que hace que el ángulo BAΔ sea recto. Por lo mismo, ABΓ, BΓΔ y ΓΔA son también rectos, por tanto ABΓΔ es rectangular. Sin embargo, se había dicho que era equilátero, por lo tanto, ABΓΔ es un cuadrado. 

Proposición 7:

Circunscribir un cuadrado en torno a un círculo dado

Tengamos ABΓΔ como un círculo dado. 

Luego debemos trazar los diámetros AΓ y BΔ del mismo círculo formando ángulos rectos entre sí. Después tengamos a E como el centro del círculo.

A través de los puntos A, B, Γ y Δ tracense las rectas ZH, HΘ, ΘK y KZ como tangentes al círculo ABΓΔ. 



Como los ángulos AEB y EBH son rectos, HΘ es paralela a AΓ. Del mismo modo, AΓ es paralela a ZK. 

Por otro lado, las rectas HZ y ΘK es paralela a BEΔ, por lo tanto, HK, HΓ, AK, ZB y BK son paralelogramos, por lo que HZ es igual a ΘK, y HΘ es igual a ZK. 

Como AΓ es igual a BΔ mientras que AΓ es igual a cada una de las rectas HΘ, ZK y BΔ es igual a cada una de las rectas HZ y ΘK, lo que hace que el cuadrilátero ZHΘK es equilátero. 

Euclides dice además que es rectangular

Para demostrar aquello, como HBEA es un paralelogramo y el ángulo AEB es recto, entonces el ángulo AHB es también recto. 

De aquí podríamos ver que ZHΘK es rectangular, pero también se dijo que era equilátero, por lo tanto, ZHΘK es un cuadrado. 

Proposición 8:

Inscribir un círculo en un cuadrado dado. 

Tengamos ABΓΔ como un cuadrado dado y que tenga un centro H. 


Dividase en dos partes iguales cada una de las rectas AΔ y AB por los puntos E y Z. 

Luego, a través de E tracese EΘ paralela a una de las dos rectas AB y ΓΔ, y a través de Z trácese ZK paralela a una de las dos rectas AΔ y BΓ. 

Así, cada una de las figuras AK, KB, AΘ, ΘΔ, AH, HΓ, BH y HΔ es un paralelogramo y sus lados opuestos son evidentemente iguales. 


AΔ es igual a AB, y AE es la mitad de AΔ, mientras que AZ es la mitad de AB, entonces AE es igual a AZ. Por lo tanto, podemos ver también que ZH es igual a HE. 

De esta forma diríamos que cada una de las rectas HΘ y HK es igual a cada una de las rectas ZH y HE. Así, las cuatro rectas son iguales entre sí: HE, HZ, HΘ y HK. 

Por otra parte, el círculo descrito con el centro H tocará las rectas AB, BΓ, ΓΔ y ΔA porque se forman ángulos rectos si se les une H con los puntos E, Z, Θ y K. 

Finalmente, tenemos un círculo circunscrito en un cuadrado dado. 

Proposición 9:

Circunscribir un círculo en torno a un cuadrado dado.

Tengamos el cuadrado dado ABΓΔ.


Luego debemos trazar los diámetros AΓ y BΔ del mismo círculo formando ángulos rectos entre sí. Después tengamos a E como el centro del círculo.



Como AΔ es igual a AB, y AΓ es común, los dos lados ΔA y AΓ son iguales a los dos lados BA y AΓ. La base ΔΓ es igual a la base BΓ lo que hace que los ángulos ΔAΓ sea igual al ángulo BAΓ.

Luego el ángulo ΔAB es dividido en dos partes iguales por AΓ.

De igual manera, los ángulos ABΓ, BΓΔ y ΓΔA fueron divididos en dos partes iguales por AΓ y ΔB. Como el ángulo ΔAB  es igual al ángulo ABΓ, y el ángulo EBA es la mitad del ángulo ABΓ, y así el ángulo EAB es igual al ángulo EBA. 

Las rectas EA y EB son iguales respectivamente a las rectas EΓ y EΔ, y de este modo las rectas EA, EB, EΓ y EΔ son iguales entre sí. 

Finalmente, el círculo descrito en el centro E pasará por los puntos restantes y estará circunscrito en torno al cuadrado ABΓΔ. 

Proposición 10:

Construir un triángulo isósceles cada uno de cuyos ángulos de la base sea el doble del restante

Tengamos un círculo que tenga un centro A, y que al mismo tiempo forme una recta AB.

Luego, cortese la recta por el punto Γ, de modo que el rectángulo comprendido por AB y BΓ sea igual al cuadrado de ΓA. 

Junto con la distancia AB descríbase el círculo BΔE y adáptese este mismo a la recta BΔ igual a la recta AΓ que no es mayor que el diámetro del círculo BΔE.

Finalmente trácese AΔ y ΔΓ, y circunscribase en torno al triángulo AΓΔ el círculo AΓΔ. 



El rectángulo comprendido por AB y BΓ es igual al cuadrado de AΓ, y AΓ es igual a BΔ, lo que quiere decir que AB y BΓ (rectángulo comprendido) son iguales al cuadrado BΔ. 

Como se ha tomado el punto B que es exterior al triángulo AΓΔ, y del cual caen las rectas BA y BΔ, y el rectángulo comprendido por AB y BΓ es igual al cuadrado de BΔ, entonces BΔ toca el círculo AΓΔ. 

Como BΔ toca el círculo AΓΔ, y ΔΓ ha sido trazada desde el punto de contacto Δ, entonces el ángulo BΔΓ es igual al ángulo ΔAΓ en el segmento alterno del círculo. 

De esta forma, como el ángulo BΔΓ es igual al ángulo ΔAΓ. Luego añádase a estos el ángulo ΓΔA y así el ángulo entero BΔA es igual a los dos ángulos ΓΔA y ΔAΓ. Sin embargo, el ángulo BΔA es igual al ángulo BΓA porque BΓA es exterior y es la suma de ΔAΓ y ΓΔA.

BΔA es igual a ΓBΔ lo que hace que el ángulo AΔ se a igual a AB, que a su vez hace que el ángulo ΔBA sea igual al ángulo BΓΔ. 

Finalmente tenemos que los tres ángulos BΔA, ΔBA y BΓΔ son iguales entre sí, y a su vez, cada uno de los triángulos BΔA y ΔBA es el doble del ángulo ΔAB (ΔAΓ) porque BΔ, ΓΔ y ΓA son iguales entre sí. De esta forma se construye un triángulo isósceles en un círculo. 

Proposición 11:

Inscribir un pentágono equilátero y equiángulo(1) en un círculo dado.

Tengamos un círculo ABΓΔE y un triángulo isósceles ZHΘ.

En el círculo ABΓΔE tracese el triángulo AΓΔ que sea igual que el triángulo isósceles ZHΘ. El ángulo A es igual al correspondiente en Z y los otros son iguales a H y Θ. Luego dividase en dos partes iguales cada uno de los ángulos AΓΔ y ΓΔA con las rectas ΓE, ΔB respectivamente y trácese AB, BΓ, ΔE y EA. 



Cada uno de los ángulos AΓΔ y ΓΔA son el doble de ΓAΔ y ha sido dividido en partes iguales mediante las rectas ΓE y ΔB.

Entonces, los cinco ángulos ΔAΓ, AΓE, EΓΔ, ΓΔB y BΔA son iguales entre sí. Sin embargo, como dijimos en la proposición 26 del libro III: ''los ángulos iguales están sobre circunferencias iguales'', por lo que las cinco circunferencias AB, BΓ, ΓΔ, ΔE y EA son iguales entre sí, y así el pentágono ABΓΔE es equilátero. 

Euclides dice que también es equiángulo.

Como la circunferencia AB es igual a la circunferencia ΔE, añádase a ambas BΓΔ, entonces la circunferencia entera ABΓΔ es igual a la circunferencia entera EΔΓB.

Luego, el ángulo AEΔ está sobre la circunferencia ABΓΔ, y el ángulo BAE sobre la circunferencia EΔΓB; por lo tanto, el ángulo BAE es igual al ángulo AEΔ.

Por lo mismo, los ángulos ABΓ, BΓΔ y ΓΔE es igual a cada uno de los ángulos BAE y AEΔ, luego el pentágono ABΓΔE es equiángulo.

Finalmente, se inscribió un pentágono equilátero y equiángulo (ABΓΔE)  en un círculo dado.  

Proposición 12:

Circunscribir un pentágono equilátero y equiángulo en torno a un círculo dado

Tengamos un círculo dado ABΓΔE.

Consideremos cada punto del círculo dado ABΓΔE los ángulos de pentágono no inscrito de modo que las circunferencias AB, BΓ, ΓΔ, ΔE y EA sean iguales, y a través de los puntos A, B, Γ, Δ y E trácese HΘ, ΘK, KΛ, ΛM y MH tangente al círculo, y finalmente, póngase como centro el punto Z en el círculo ABΓΔE.



Cada ángulo correspondientes al punto Γ es un ángulo rectos. Por lo mismo, el ángulo de ZΓK lo que lleva a que el cuadrado ZK sea igual a los cuadrados de ZΓ y ΓK. Por otro lado, ZK también es igual a ZB y BK.

Los cuadrados de ZK y ΓK son iguales a los cuadrados de ZB y BK de los cuales el cuadrado de ZΓ es igual al cuadrado de ZB. Por tanto, el cuadrado restante de ΓK es igual al cuadrado de BK. 

Los dos lados BZ y ZK son iguales a los lados ΓZ y ZK porque ZK es común, y la base BK es igual a la base ΓK.

Así, el ángulo BZK es igual al ángulo KZΓ, y el ángulo BKZ al ángulo ZKΓ por tanto, el ángulo BZΓ es el doble del ángulo KZΓ y el ángulo BKΓ el doble del ángulo ZKΓ. Por lo mismo, el ángulo ΓZΔ es también el doble del ángulo ΓZΛ y el ángulo ΔΛΓ el doble del ángulo ZΛΓ.

BK es igual a KΓ, entonces ΘK también es igual a KΛ. De manera semejante se demostraría que cada una de las rectas ΘH, HM y ΛM también es igual a cada una de las rectas ΘK y KΛ. Por lo tanto, el pentágono HΘKΛM es equilátero

Euclides dice que también es equiángulo

Como el ángulo ZKΓ es igual al ángulo ZΛΓ, y se ha demostrado que el ángulo ΘKΛ es el doble del ángulo ZKΓ, y el ángulo KΛM el doble del ángulo ZΛΓ, entonces el ángulo ΘKΛ es igual al ángulo KΛM.

De la misma manera, los ángulos KΘH, ΘHM y HMΛ es igual a cada uno de los ángulos ΘKΛ y KΛM, lo que quiere decir que los cinco ángulos HΘK, ΘKΛ, KΛM, ΛMH y MHΘ son iguales entre sí, por lo que el pentágono HΘKΛM  también sería equiángulo

Proposición 13:

Inscribir un círculo en un pentágono dado que es equilátero y equiángulo

Tengamos un pentágono equilátero y equiángulo ABΓΔE.

Dentro del mismo pentágono debemos crear un círculo que forme los siguientes puntos: HΘKΛM.



A partir del punto Z se pudieron crear las rectas ZH, ZΘ, ZK, ZΛ y ZM que serían perpendiculares a AB, BΓ, ΓΔ, ΔE y EA. 

Como hemos visto anteriormente, las rectas BΓ y ΓΔ son iguales y ΓZ es común lo que lleva al ángulo ABΓ sea dividido en partes iguales por la recta ZB, lo mismo pasa con los ángulos BAE y AEΔ con las rectas ZA y ZE.

Entre ellos, el ángulo ΘΓZ es igual al ángulo KΓZ, y el ángulo recto ZΘΓ es igual al ángulo ZKΓ, lo que hace que estos dos sean dos triángulos que tienen dos ángulos iguales a dos ángulos y un lado igual a un lado, el cual es ZΓ, que subtienden a uno de los ángulos iguales (ZΘΓ y ZKΓ). Por lo tanto, tendrá los lados restantes iguales a los dos lados restantes. 

De manera semejante, se demostraría que las rectas ZΛ, ZM y ZH son iguales a cada una de las rectas ZΘ y ZK, por lo tanto las rectas ZH, ZΘ, ZK, ZΛ y ZM son iguales entre sí. 

Como conclusión, el centro del círculo tocaría las rectas ZH, ZΘ, ZK, ZΛ y ZM, además de pasar también por las rectas AB, BΓ, ΓΔ, ΔE y EA, a causa de que los ángulos correspondientes a H, Θ, K, Λ y M son rectos. Por lo tanto, tenemos que el círculo con centro Z no corta las rectas AB, BΓ, ΓΔ, ΔE y EA, sino que las toca. 

Proposición 14:

Circunscribir un círculo en torno a un pentágono dado que es equilátero y equiángulo

Tengamos un pentágono dado ABΓΔE que es equilátero y equiángulo.

En este caso se demuestra que los ángulos ΓBA, BAE y AEΔ han sido divididos en dos partes iguales por las rectas ZB, ZA y ZE. 

De la misma manera, como el ángulo BΓΔ es igual al ángulo ΓΔE, y el ángulo ZΓΔ es la mitad del ángulo BΓΔ, mientras que el ángulo ΓΔZ es la mitad del ángulo ΓΔE.

Entonces, el ángulo ZΓΔ es también igual al ángulo ZΔΓ de modo que el lado ZΓ es igual la lado ZΔ. 

Así, cada una de las rectas ZB, ZA y ZE es igual a cada una de las rectas ZΓ y ZΔ. Por lo tanto, las cinco rectas ZA, ZB ZΓ, ZΔ y ZE son iguales entre sí. 

Como conclusión, el círculo con el centro Z pasará por los puntos ABΓΔE que es el pentágono dado. 

Proposición 15:

Inscribir un hexágono equilátero y equiángulo en un círculo dado

Tengamos el círculo dado ABΓΔEZ donde hay que inscribir un hexágono equilátero y equiángulo. También construyamos un círculo que sea ΘΓH



El triángulo EHΔ es equilátero, así como también lo son sus tres ángulos EHΔ, HΔE y ΔEH que además son iguales entre sí, porque los ángulos de un triángulo equilátero son iguales entre sí. 

Teniendo entendido que los tres ángulos de un triángulo son iguales a dos rectos, el ángulo EHΔ es la tercera parte de dos rectos. 

Lo mismo ocurre con el ángulo ΔHΓ que sería la tercera parte de dos rectos. 

Por otro lado, como los ángulos EHΓ y ΓHB son iguales a dos rectos, la parte ΓHB es la tercera parte de dos rectos; por tanto, los ángulos EHΔ, ΔHΓ y ΓHB son iguales entre sí. De esto también se concluye que BHA, AHZ y ZHE que corresponden a sus vértices son también iguales. Así, los seis ángulos mencionados anteriormente son iguales entre sí, lo que también quiere decir que sus circunferencias AB, BΓ, ΓΔ, ΔE, EZ y ZA sean iguales entre sí. 

Finalmente, tenemos que el hexágono que está en el círculo es equilátero. 

Euclides dice que también es equiángulo

Como la circunferencia ZA es igual a la circunferencia EΔ añádase a ambos la circunferencia ABΓΔ.

Así, la circunferencia ZABΓΔ es igual a la circunferencia entera EΔΓBA, y el ángulo ZEΔ está sobre la circunferencia ZABΓΔ, y el ángulo AZE sobre la circunferencia EΔΓBA, por lo tanto, el ángulo AZE es igual al ángulo ΔEZ.

Los ángulos restantes de la circunferencia ABΓΔEZ son cada uno igual a los ángulos ΔZE y ZEΔ, lo que hace que el hexágono también sea equiángulo. 

Porisma

Como Porisma, Euclides dice que si se trazan tangentes a través de los puntos del círculo, se podrá de igual manera circunscribir un hexágono equilátero y equiángulo.


Proposición 16:

Inscribir un pentadecágono equilátero y equiángulo en un círculo dado

Tengamos ABΓΔ como un círculo dado. 



En este círculo hay 15 segmentos iguales, así como también hay 5 en el círculo ABΓ que es la tercera parte del círculo, y habrá 3 en la parte de la circunferencia AB que es la quinta parte del círculo; por tanto, en la circunferencia restante BΓ habrá dos.

Divídase en dos partes iguales BΓ por el punto E, entonces cada una de las circunferencias BE y EΓ es la quinceava parte del círculo ABΓΔ.

Por consiguiente, si se traza BE y EΓ, adaptamos al círculo ABΓΔ sucesivamente rectas iguales se habrá inscrito en él un pentadecágono equilátero y equiángulo.

En el mismo caso del pentágono, si trazamos tangentes al círculo por los puntos de división del círculo, se circunscribía en torno al círculo un pentadecágono equilátero y equiángulo. 


Conclusion


Hemos terminado con satisfacción los cuatro primeros libros de Euclides que tratan sobre la geometría plana. Desde aquí la vista euclidiana comienza a cambiar de perspectiva tratando de formar figuras con razones y proporciones, y si vamos aún más lejos de la obra euclidiana, podremos ver la complejidad de los poliedros que Euclides desarrolla ya en sus últimos libros de geometría. Estemos satisfechos por ahora con lo dicho y visto hasta ahora sobre la geometría plana de Euclides. 



Este apunte ha sido logrado gracias a Leila Reyes, quien corrigió y sugirió las modificaciones necesarias en este apunte.