Habíamos visto en el libro precedente, las 48 proposiciones que se basan en los 5 postulados clásicos de Euclides. Esta vez veremos algo similar, pero con respecto a las áreas de los cuadrados y rectángulos. Otra diferencia que podremos ver en este libro es que las proposiciones se reducen a sólo 18 de ellas, por lo que este libro será aún más corto que el anterior. Las proposiciones de Euclides tendrán una gran influencia y contribución en las demás ciencias como la física, astronomía, matemáticas y otras.
Otros libros de Euclides:
Libro I: Triángulos
Libro III: Circunferencias
Otros libros de Euclides:
Libro I: Triángulos
Libro III: Circunferencias
LOS ELEMENTOS
LIBRO II: CUADRADOS Y RECTÁNGULOS
Conceptos básicos
Gnomon: El gnomon es el resultado de remover la esquina de un paralelogramo más grande, siendo el más grande el gnomon. En este caso, el gnomon se encontraría de la siguiente forma.
Proposiciones
Proposición 1:
Si hay dos rectas y una de ellas se corta en un número cualquiera de segmentos, el rectángulo comprendido por las dos rectas es igual a los rectángulos comprendidos por la recta no cortada y cada uno de los segmentos
Tengamos dos rectas: una recta A y una recta BΓ y córtese esta última en un punto Δ y E.
Luego prolonguemos B hasta el punto Z para que se forme un ángulo recto con BΓ. Luego indiquese un punto H entre la recta BΓ que sería igual a la recta A, es decir BH es igual a A.
De la misma forma, a partir de H extiendase la recta hasta el punto Θ hasta Γ. Por los puntos Δ, Γ y E tracese una recta que los una en la recta HΘ. Finalmente, unase Δ con una recta K, E con una recta Λ.
Ahora téngase en cuenta que BΘ es igual a los rectángulos BK, ΔΛ y EΘ que en realidad, son la suma del rectángulo BΘ. De la misma forma, BH, ΔK, EΛ y ΓΔ son iguales a BH que a su vez es igual a A.
También podemos ver que BΓ es la suma de los rectángulos BΔ, BE y EΓ, y a su vez estos mismos están contenidos en la recta A porque BΓ es igual a BH.
Finalmente, Así se llevaría la distribución de rectángulos en la recta A:
BK estaría en el rectángulo comprendido por A, que sería BΔ.
ΔΛ estaría en el rectángulo comprendido por A, que sería ΔE.
EΘ estaría en el rectángulo comprendido por A, que sería EΓ.
Así, los rectángulos comprendidos por la recta no cortada, serán iguales a los rectángulos comprendidos por la recta que sí se cortó.
Proposición 2:
Si se corta al azar una línea recta, el rectángulo comprendido por la recta entera y cada uno de los segmentos es igual al cuadrado de la recta entera.
Tengamos una recta AB que se corte por un punto Γ.
Dice Euclides que AB está comprendido por los rectángulos BΓ, BA y AΓ.
Luego, a partir de AB hágase el cuadrado AΔEB y luego tracese por Γ la recta ΓZ.
Euclides dice que los rectángulos AZ y ΓE comprenden la totalidad de AB.
AE es igual a AZ y ΓE, ya que el rectángulo AE está comprendido por las rectas AΔ y AΓ, pero como AΔEB es un cuadrado, AD y AB serán iguales.
Del mismo modo, AΔ es igual a AB al igual que ΓE, ya que los dos están comprendidos en AB. Si AΔ es igual a AB, de la misma forma BE es igual a AΔ,y así tenemos que AΔ y BE son iguales a AB.
Como conclusión, se demuestra que al trazar una recta (AB) sobre un punto cualquiera (Γ), el rectángulo comprendido por cada uno de los segmentos (AΓ y ΓB) es igual al cuadrado de la recta entera AB (AΔEB).
Proposición 3:
Si se corta al azar una línea recta, el rectángulo comprendido por la recta entera y uno de los segmentos es igual al rectángulo comprendido por los segmentos y el cuadrado del segmento primeramente dicho
Nuevamente cortemos una recta AB en un punto Γ.
Ahora, a partir de la recta ΓB formamos el triángulo ΓΔEB.
Luego debemos prolongar EΔ hasta Z para formar un rectángulo completo AZEB.
De aquí podemos decir que AE es igual a AΔ junto con el cuadrado BΓ.
Bajo este respecto, recordemos que AE es el rectángulo comprendido por AΓ y por BΓ.
También deberemos decir que ΔΓ es igual a BΓ ya que es parte del cuadrado ΓΔEB.
Así, si se corta al azar una línea recta (AB)en un punto cualquiera (Γ) el rectángulo comprendido por la recta entera y uno de los segmentos es igual al rectángulo comprendido (AZΔΓ) por los segmentos y el cuadrado del segmento primeramente dicho.
Proposición 4:
Si se corta al azar una línea recta, el cuadrado de la recta entera es igual a los cuadrados de los segmentos y dos veces el rectángulo comprendido por los segmentos
Otra vez tenemos la misma recta AB cortada por un punto Γ, pero esta vez lo haremos en otra parte.
A partir de esta recta debemos construir el cuadrado AΔEB, mientras que del punto Γ prolongar un punto Z para conformar la recta ΓZ.
Luego entre ΓZ poner un punto H para formar las rectas paralelas ΘK que serán paralelas a AB y a ΔE. Después de esto debemos trazar una recta en diagonal uniendo BΔ.
También deberíamos decir que ΓZ es paralela a AΔ y BE, y BΔ ha incidido sobre ellas.
Al suceder esto, tenemo que el ángulo ΓHB es igual al ángulo interno y opuesto AΔB. Ahora, el ángulo AΔB es igual al ángulo ABΔ porque BA es igual al lado AΔ.
Del mismo modo, ΓHB es igual al ángulo HBΓ, porque BΓ es igual al lado ΓH. Por otro lado, también tenemos que ΓB es igual a HK y ΓH a KB; lo que da como resultado que ΓHKB sea un cuadrado equilátero.
¿ΓHKB es un rectángulo o un cuadrado?
Euclides dice que ΓHKB también es rectangular debido a que ΓH es paralela a BK. Así, los ángulos KBΓ y HΓB son iguales a dos rectos, pero también se ha dicho que son equilateros ¿cuál de las dos figuras será? ΓHKB será mucho más cuadrado que rectángulo porque cumple con las dos condiciones de ser un cuadrado:
Cuadrado: figura equilátera con cuatro ángulos rectos
Rectángulo: figura con cuatro ángulos rectos.
Si bien ΓHKB tiene ángulos rectos (por lo que cumpliría ser un rectángulo) sus lados equiláteros hacen que cumpla con las propiedades de un cuadrado.
De la misma forma, ΘZ también sería un cuadrado y es el cuadrado de ΘH.
Por lo tanto, si se corta al azar una línea recta (AB), el cuadrado de la recta entera (ADEB) es igual a los cuadrados de los segmentos y dos veces el rectángulo comprendido por los segmentos.
Proposición 5:
Si se corta una línea recta en segmentos iguales y desiguales, el rectángulo comprendido por los segmentos desiguales de la recta entera junto con el cuadrado de la recta que está entre los puntos de sección, es igual al cuadrado de la mitad
Tengamos una recta AB con segmentos iguales en el punto Γ y un segmento desigual en el punto Δ.
Luego construir a partir de ΓB un cuadrado ΓEZB y trazar EB por el punto Δ. Después por el punto Δ una recta ΔH que incida en la recta EB y forme el punto Θ.
Posteriormente trazar una línea KM que sea paralela tanto a AB como a EZ. Este a su vez formará el punto Λ que coincidirá con Γ y formará la recta ΓΛ.
Teniendo este cuadro, podremos decir que ΓΘ es igual a ΘZ (proposición 43 del primer libro), de la misma forma que ΓM es igual a AΛ, porque AΓ es igual a ΓB.
También podremos decir que AΛ es igual a ΔZ porque ésta última es igual a ΓM. Luego, a estos dos rectángulos se debe añadir ΓΘ para formar el rectángulo AΘ.
Bajo este respecto, podemos decir que si a AΛ le añadimos ΓΘ, entonces esta sería igual que el rectángulo ΔZ y ΓΘ unidos. De hecho, esta combinación formaría lo que se conoce como el gnomon.
El gnomon es el resultado de remover la esquina de un paralelogramo más grande, siendo el más grande el gnomon. En este caso, el gnomon se encontraría de la siguiente forma.
A partir de esto se formarían los puntos MNΞ que representarían el gnomon en el rectángulo.
Por lo tanto, si se corta una línea recta (AB) en segmentos iguales (AΓ y ΓB) y desiguales (AΔ y ΔB), juntos con el cuadrado de a recta que está entre los puntos de sección (ΓΔ) es igual al cuadrado de la mitad de la recta.
Proposición 6:
Si se divide en dos partes iguales una línea recta y se le añade, en línea recta, otra recta, el rectángulo comprendido por la recta entera con la recta añadida y la recta añadida junto con el cuadrado de la mitad es igual al cuadrado de la recta compuesta por la mitad y la recta añadida
Tengamos una recta AB con un punto intermedio Γ, y prolongar B hasta un punto Δ.
A partir de ΓΔ construyase el cuadrado ΓEZΔ y tracese ΔE mientras que por el punto B debe formarse la recta BH.
Luego, por el punto BH donde incide ΔE debe colocarse el punto Θ, y en este trazar la recta KM junto para que sea paralelas con AB y EZ. De este modo también se formará el punto Λ y unir A con K.
De esta forma, AΛ es igual a ΓΘ, así como este rectángulo es igual a ΘZ.
El rectángulo entero AM es igual al gnomon que se forma en NΞO como veremos a continuación.
Como AM es igual a NΞO, entonces AM junto con AH son iguales al cuadrado ΓΔ que es lo que se quería demostrar.
El rectángulo comprendido por la recta entera y la recta añadida (AB y BΔ) junto con el cuadrado originado a partir de la mitad de la recta entera, el cuadrado de ΓB será igual al cuadrado de la recta entera junto con la recta añadida (ΓΔ).
Proposición 7:
Si se corta al azar una línea recta, el cuadrado de la recta entera y el de uno de los segmentos tomados conjuntamente son iguales a dos veces el rectángulo comprendido por la recta entera y el segmento antedicho más el cuadrado del segmento restante
Cortar al azar un punto Γ en la recta AB.
A partir de AB se debe construir AΔEB y construir la recta ΓN. Luego se debe trazar la recta BΔ para que junto con la recta ΓN se forme el punto H y la recta ΘZ.
En este caso, AZ es igual a ΓE y si unimos estos dos rectángulos también podríamos decir que estos dos forman un gnomon KΛM.
De esta forma, ΓZ y el gnomon KΛM son el doble que el rectángulo entero de AZ. Ahora, si queremos completar el cuadrado completo, deberemos sumar el gnomon KΛM con el cuadrado HΔ.
Finalmente, así se conforma el cuadro AΔEB que son la suma del gnomon y del cuadrado HΔ.
Proposición 8:
Si se corta al azar una línea recta, cuatro veces el rectángulo comprendido por la recta entera y uno de los segmentos junto con el cuadrado del segmento restante es igual al cuadrado construido a partir de la recta entera y del segmento primeramente dicho, tomados como una sola recta
Cortar al azar la recta AB en un punto Γ y luego se debe prolongar B hasta Δ en la misma línea AB.
BΔ es igual a ΓB y se construye a partir de AΔ. Luego, a partir de AΔ se debe construir el cuadrado AEZΔ.
Ahora deberemos construir la recta ΓΔ y BΛ, para luego unir Δ con E por medio de una recta.
Después, como ΔE incide en las rectas ΓΔ y BΛ, entonces deberemos formar dos rectas (MN y ΞO) entre las rectas verticales.
Con todos estos puntos externos deberemos apuntar aquellos que se intersectan los unos con los otros de la siguiente manera.
De esta forma ΓB y BΔ son iguales, así como también ΓB es igual a HK, ΠP y ΔΛ que son todas paralelas. De la misma forma BΔ es igual a KN, PO y ΛZ.
Luego ΓK es igual a PN como MΠ es igual a ΠΛ, y este al rectángulo PZ. Por otro lado, ΓK, HP, PN y KΔ son el cuádruple de ΓK.
Así, se conforma un gnomon que comprende AN y ΓZ juntos. Para indicar el gnomon más precisamente añadiremos los puntos ΣTY.
El gnomon ΣTY son el cuádruple de AK y por lo tanto cuatro veces el rectángulo AB y BΔ.
Como conclusión, se demuestra que el cuádruple del triángulo formado a partir de la recta entera junto a otro segmento (AK) más el cuadrado del segmento restante (ΞΘ) es igual al cuadrado de la recta inicial junto al segmento añadido (AZ).
Proposición 9:
Si se corta una línea recta en partes iguales y desiguales, los cuadrados de los segmentos desiguales de la recta entera son el doble del cuadrado de la mitad más el cuadrado de la recta situada entre los puntos de sección
Cortese AB en segmentos iguales por el punto Γ, y en desiguales por el punto Δ.
Ahora deberemos trazar por Γ una recta E y formar ΓE, para luego unir EA y EB. Por el punto Δ deberemos unir un punto Z para crear ΔZ . Luego debemos crear una línea paralela para crear ZH que intersecta con la recta ΓE. Finalmente tracese AZ.
AΓ es igual a ΓE y el ángulo EAΓ y AEΓ son iguales a un recto, así como también ΓEA y ΓAE son la mitad de un recto.
Por otro lado, ΓEB y ΓBE son también la mitad de un recto y así el ángulo AEB entero es un ángulo recto.
Luego como HEZ es la mitad de un recto y el ángulo EHZ es recto, entonces el ángulo HZE es también la mitad de un recto. De la misma forma, ZΔB también es un ángulo recto y BZΔ es la mitad de un recto.
A partir de esto, podríamos decir también que el cuadrado de EA es el doble que AΓ, así como también EZ es el doble de EH.
Finalmente, el rectángulo AΔ y BΔ son el doble de AΓ y ΓΔ.
Como conclusión, como EA es el doble de AΓ, ya que AΓ es igual a ΓE, y lo mismo pasa con EZ. Luego, como HZ es igual a ΓΔ y EH es igual a HZ. Así, EZ es el doble de ΓΔ.
Proposición 10:
Si se divide en dos partes iguales una línea recta y se le añade, en línea recta, otra recta, el cuadrado de la recta entera con la recta añadida y el cuadrado de la añadida, tomados conjuntamente son el doble del cuadrado de la mitad y el cuadrado construido a partir de la recta compuesta por la mitad y la recta añadida, tomadas como una sola recta
Tengamos una recta AB trazada por un punto Γ. haciendo que AB y AΓ sean iguales, y luego debe prolongarse B hasta el punto Δ.
Similarmente a la proposición 9 ser debe hacer una recta a partir de Γ para formar ΓE, y unase AB con E.
Y por E se debe trazar el punto Z para que se una con Δ. Ya que tenemos ZΔ, en esta misma recta debemos prolongar la misma hasta el punto H, para luego unir A y E con H.
AΓ es igual a ΓE porque ΓE es igual a ΓB y por esto el ángulo EAΓ es igual a AEΓ, y en la intersección AΓ y ΓB se forma un ángulo recto.
ΓEB y EBΓ son la mitad de un recto (cada uno) porque EAΓ y AEΓ son iguales a la mitad de un recto también, y por lo tanto AEB comprende un ángulo recto. Y como EBΓ es la mitad de un recto, entonces ΔBH es también la mitad de un recto.
El ángulo BΔH es un ángulo recto porque es igual al ángulo ΔΓE y por otro lado, ΔHB sería la mitad de un recto y es igual al ángulo ΔBH.
ZEH es la mitad de un recto al igual que EHZ desde que HZ es igual a EZ.
EΓ es igual a ΓA y la unión de estos dos son el doble a ΓA, y EA es el doble del cuadrado ΓE y ΓA.
ZΔ es igual a EZ y la unión de estos son el doble de EZ, y EH es el doble del cuadrado EZ.
EZ es igual a ΓΔ y EH es el doble de ΓΔ porque éste es igual a EZ Y EH es el doble de ΓΔ porque es el doble de EZ. Por otro lado, recordemos también que EA es el doble de AΓ. Por lo tanto, AE y EH son el doble de AΓ y ΓΔ. Así mismo, también AH es igual al cuadrado de AΔ y EH.
EA es el doble de AΓ, y EH es el doble de ΓΔ, entonces AH será igual al doble de AΓ y el doble de ΓΔ.
Los cuadrados de AΔ y ΔH son iguales al cuadrado de AH, y así los cuadrados de AΔ y ΔH son el doble de los cuadrados AΓ y ΓΔ.
Finalmente, si a una recta se le agregara otra recta siguiendo la misma línea el cuadrado de la recta inicial con la añadida junto con el cuadrado de la recta agregada, será igual al doble de la mitad de la recta original junto con el doble de la mitad de la recta inicial unida a la recta añadida.
Proposición 11:
Dividir una recta dada de manera que el rectángulo comprendido por la recta entera y uno de los segmentos sea igual al cuadrado del segmento restante
Tengamos AB como una recta dada y a partir de esta se construya el cuadrado ABΔΓ.
Luego dividamos AΓ por el punto E y luego unir este punto con B para formar la recta EB. Después se debe prolongar ΓA hasta Z, para que ZE sea igual que EB.
Posteriormente, a partir de AZ fórmese el cuadrado ZHΘA, y Θ debe unirse con el punto K.
El rectángulo comprendido por ΓZ y ZA junto con el cuadrado de AE es igual al cuadrado de EZ.
Y si EZ es igual a EB, el rectángulo comprendido por ΓZ y ZA junto con el cuadrado AE es igual al cuadrado EB y también a los cuadrados BA, AE.
Ahora quitemos de ambos lados el cuadrado AE. Su resultado será que ΓZ y ZA serán iguales al cuadrado de AB.
Luego, el rectángulo comprendido por ΓZ y ZA es ZK porque AZ es igual a ZH, pero el cuadrado de AB es AΔ, por lo tanto, ZK es igual a AΔ.
Quitemos de ambos (ZK y AΔ) el rectángulo AK y entonces el cuadrado restante de ZK será ZΘ y de AΔ será ΘΔ. Así como este último (ΘA) es el rectángulo comprendido por AB y BΘ; porque AB es igual a BΔ. Así, AB y BΘ es iguala la cuadrado de ΘΔ.
Como conclusión, la recta dada (AB) ha sido dividida en un punto (Θ) de manera tal que el rectángulo comprendido por AB y BΘ sea igual al cuadrado AΘ.
Proposición 12:
En los triángulos obtusángulos el cuadrado del lado que subtiende al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso
Sea ABΓ el triángulo obtusángulo que tiene el ángulo obtuso BAΓ.
Y a partir del punto B tracese Δ para formar la recta BΔ.
Lo que se quiere demostrar aquí es que el cuadrado de BΓ es mayor dos veces mayor el rectángulo comprendido por ΓA y ΔA a los cuadrados AΓ y AB.
Así, podríamos decir que BΓ es igual al doble de ΓA, ΔA, y AΓ y AB juntos.
¿Cómo se demuestra? calculando el triángulo de ΔBΓ que posee un ángulo recto en Δ.
Por otro lado, ΓΔ es igual al cuadrado de AΓ y AΔ junto con el doble del rectángulo ΓA y ΔA.
Ahora para demostrar que BΓ es mayor que el doble de AΓ, AB, y el doble que ΓA y ΔA se propone hacer que ΔB esté en ambos lados de la ecuación propuesta por Euclides: ΔΓ = ΓA + AΔ + 2 (AΓ, AΔ)
BΓ = (ΓΔ + ΔB)
AB = AΔ + ΔB
Por lo tanto, podríamos expresar lo siguiente:
ΓΔ + ΔB = AΓ + (AΔ + ΔB) + 2 veces ΓA y AΔ
Todo esto se puede reemplazar finalmente por la siguiente expresión:
BΓ = AΓ + AB + 2 veces ΓA y AΔ.
Proposición 13:
En los triángulos acutángulos, el cuadrado del lado que subtiende al ángulo agudo es menor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo agudo en dos veces el rectángulo comprendido por uno de los lados del ángulo agudo sobre el que cae la perpendicular y la recta interior cortada por la perpendicular hasta el ángulo agudo
Sea ABΓ el triángulo acutángulo
Luego desde A se debe trazar una recta Δ.
Podemos notar que ΓB ha sido cortada al azar por Δ, esto hace que los cuadrados de ΓB y ΔB sean iguales a dos veces el rectángulo formado por ΓB y ΔB, además del cuadrado de ΔΓ.
ΓB + BΔ = 2 (ΓB y BΔ) + ΔΓ
Ahora añadamos a ambos ΓB y ΔB el cuadrado ΔA, entonces, los cuadrados ΓB, ΔB y ΔA son iguales a dos veces el rectángulo comprendido por ΓB y ΔB, y los cuadrados de AΔ y AΓ.
ΔA + ΓB + BΔ = 2 (ΓB y BΔ) + ΔΓ + ΔA
Por otro lado, tenemos que el cuadrado de AB es igual a los cuadrados de BΔ y ΔA porque el ángulo de Δ es recto. Ahora el cuadrado de AΓ es igual a los cuadrados de AΔ y ΔΓ.
Aquí se reemplaza de la siguiente forma:
AB = BΔ + ΔA
AG = AΔ + ΔΓ
Por lo tanto, los cuadrados de ΓB y BA son iguales al cuadrado de AΓ, y dos veces el rectángulo por ΓB y BΔ.
Así, el cuadrado AΓ es menor que los cuadrados ΓB y BΔ en dos veces el rectángulo comprendido por ΓB y ΔB.
Proposición 14:
Construir un cuadrado igual a una figura rectilínea dada
Sea A la figura rectilínea dada
Euclides se propone construir un cuadrado igual a la figura mostrada anteriormente.
Para esto, construyamos un paralelogramo rectángulo BΔ, que sea igual a la figura rectilínea dada (A) que a su vez forme un rectángulo BΓΔE.
Euclides dice que si BE es igual a EΔ se habrá hecho lo propuesto, pues así se construye la recta de la figura A. De lo contrario, entonces uno de los lados (BE o EΔ) tendría que ser mayor.
Supongamos que BE sea mayor y prolonguemos esta hasta un punto Z, y hágase Z igual a EΔ.
Luego dividamos BZ en dos partes iguales añadiendo un punto H en medio de la recta.
Como podemos ver, junto con el punto H se forma también el punto Θ, que a su vez forma un semicírculo encima de la recta BZ. A consecuencia de esto formamos el semicírculo BΘZ.
El rectángulo comprendido por BE y EZ junto con el cuadrado EH son iguales al cuadrado HZ, debido a la misma proposición 5 de este libro.
Sin embargo HZ es igual al cuadrado de HΘ, aunque también, los cuadrados de ΘE y EH son iguales al cuadrado HΘ.
Por lo tanto, el rectángulo comprendido por BE y EZ junto con el cuadrado de EH son iguales a los cuadrados ΘE y EH.
Quítese de ambos (BE, EZ y ΘE) el cuadrado de HE y así quedaría que el ángulo comprendido por BE y EZ se igual al cuadrado EΘ.
Finalmente, el rectángulo comprendido por BE y EZ es BΔ porque EZ es igual a EΔ, por lo tanto, el paralelogramo BΔ es igual al cuadrado ΘE. Y como BΔ es la figura rectilínea dada(A), se puede construir un cuadrado EΘ igual a la recta dada A.
Al fin hemos terminado el libro II de Euclides que trata en su mayoría sobre los cuadrados y rectángulos que se pueden formar a partir de ciertas rectas. Se han añadido nuevos conceptos a conocer en esta etapa tales como el gnomon, que no había aparecido en el libro I, y que además nos ayudará a resolver las figuras geométricas sucesivas. Por supuesto, todo lo anteriormente nos preparará para completar el tercer libro relacionado con las circunferencias.
Este apunte ha sido logrado gracias Leila Reyes, quien corrigió y sugirió las modificaciones necesarias en este apunte.
De la misma forma, a partir de H extiendase la recta hasta el punto Θ hasta Γ. Por los puntos Δ, Γ y E tracese una recta que los una en la recta HΘ. Finalmente, unase Δ con una recta K, E con una recta Λ.
Ahora téngase en cuenta que BΘ es igual a los rectángulos BK, ΔΛ y EΘ que en realidad, son la suma del rectángulo BΘ. De la misma forma, BH, ΔK, EΛ y ΓΔ son iguales a BH que a su vez es igual a A.
También podemos ver que BΓ es la suma de los rectángulos BΔ, BE y EΓ, y a su vez estos mismos están contenidos en la recta A porque BΓ es igual a BH.
Finalmente, Así se llevaría la distribución de rectángulos en la recta A:
BK estaría en el rectángulo comprendido por A, que sería BΔ.
ΔΛ estaría en el rectángulo comprendido por A, que sería ΔE.
EΘ estaría en el rectángulo comprendido por A, que sería EΓ.
Así, los rectángulos comprendidos por la recta no cortada, serán iguales a los rectángulos comprendidos por la recta que sí se cortó.
Proposición 2:
Si se corta al azar una línea recta, el rectángulo comprendido por la recta entera y cada uno de los segmentos es igual al cuadrado de la recta entera.
Tengamos una recta AB que se corte por un punto Γ.
Dice Euclides que AB está comprendido por los rectángulos BΓ, BA y AΓ.
Luego, a partir de AB hágase el cuadrado AΔEB y luego tracese por Γ la recta ΓZ.
Euclides dice que los rectángulos AZ y ΓE comprenden la totalidad de AB.
AE es igual a AZ y ΓE, ya que el rectángulo AE está comprendido por las rectas AΔ y AΓ, pero como AΔEB es un cuadrado, AD y AB serán iguales.
Del mismo modo, AΔ es igual a AB al igual que ΓE, ya que los dos están comprendidos en AB. Si AΔ es igual a AB, de la misma forma BE es igual a AΔ,y así tenemos que AΔ y BE son iguales a AB.
Como conclusión, se demuestra que al trazar una recta (AB) sobre un punto cualquiera (Γ), el rectángulo comprendido por cada uno de los segmentos (AΓ y ΓB) es igual al cuadrado de la recta entera AB (AΔEB).
Proposición 3:
Si se corta al azar una línea recta, el rectángulo comprendido por la recta entera y uno de los segmentos es igual al rectángulo comprendido por los segmentos y el cuadrado del segmento primeramente dicho
Nuevamente cortemos una recta AB en un punto Γ.
Ahora, a partir de la recta ΓB formamos el triángulo ΓΔEB.
Luego debemos prolongar EΔ hasta Z para formar un rectángulo completo AZEB.
De aquí podemos decir que AE es igual a AΔ junto con el cuadrado BΓ.
Bajo este respecto, recordemos que AE es el rectángulo comprendido por AΓ y por BΓ.
También deberemos decir que ΔΓ es igual a BΓ ya que es parte del cuadrado ΓΔEB.
Así, si se corta al azar una línea recta (AB)en un punto cualquiera (Γ) el rectángulo comprendido por la recta entera y uno de los segmentos es igual al rectángulo comprendido (AZΔΓ) por los segmentos y el cuadrado del segmento primeramente dicho.
Proposición 4:
Si se corta al azar una línea recta, el cuadrado de la recta entera es igual a los cuadrados de los segmentos y dos veces el rectángulo comprendido por los segmentos
Otra vez tenemos la misma recta AB cortada por un punto Γ, pero esta vez lo haremos en otra parte.
A partir de esta recta debemos construir el cuadrado AΔEB, mientras que del punto Γ prolongar un punto Z para conformar la recta ΓZ.
Luego entre ΓZ poner un punto H para formar las rectas paralelas ΘK que serán paralelas a AB y a ΔE. Después de esto debemos trazar una recta en diagonal uniendo BΔ.
También deberíamos decir que ΓZ es paralela a AΔ y BE, y BΔ ha incidido sobre ellas.
Al suceder esto, tenemo que el ángulo ΓHB es igual al ángulo interno y opuesto AΔB. Ahora, el ángulo AΔB es igual al ángulo ABΔ porque BA es igual al lado AΔ.
Del mismo modo, ΓHB es igual al ángulo HBΓ, porque BΓ es igual al lado ΓH. Por otro lado, también tenemos que ΓB es igual a HK y ΓH a KB; lo que da como resultado que ΓHKB sea un cuadrado equilátero.
¿ΓHKB es un rectángulo o un cuadrado?
Euclides dice que ΓHKB también es rectangular debido a que ΓH es paralela a BK. Así, los ángulos KBΓ y HΓB son iguales a dos rectos, pero también se ha dicho que son equilateros ¿cuál de las dos figuras será? ΓHKB será mucho más cuadrado que rectángulo porque cumple con las dos condiciones de ser un cuadrado:
Cuadrado: figura equilátera con cuatro ángulos rectos
Rectángulo: figura con cuatro ángulos rectos.
Si bien ΓHKB tiene ángulos rectos (por lo que cumpliría ser un rectángulo) sus lados equiláteros hacen que cumpla con las propiedades de un cuadrado.
De la misma forma, ΘZ también sería un cuadrado y es el cuadrado de ΘH.
Por lo tanto, si se corta al azar una línea recta (AB), el cuadrado de la recta entera (ADEB) es igual a los cuadrados de los segmentos y dos veces el rectángulo comprendido por los segmentos.
Proposición 5:
Si se corta una línea recta en segmentos iguales y desiguales, el rectángulo comprendido por los segmentos desiguales de la recta entera junto con el cuadrado de la recta que está entre los puntos de sección, es igual al cuadrado de la mitad
Tengamos una recta AB con segmentos iguales en el punto Γ y un segmento desigual en el punto Δ.
Luego construir a partir de ΓB un cuadrado ΓEZB y trazar EB por el punto Δ. Después por el punto Δ una recta ΔH que incida en la recta EB y forme el punto Θ.
Posteriormente trazar una línea KM que sea paralela tanto a AB como a EZ. Este a su vez formará el punto Λ que coincidirá con Γ y formará la recta ΓΛ.
Teniendo este cuadro, podremos decir que ΓΘ es igual a ΘZ (proposición 43 del primer libro), de la misma forma que ΓM es igual a AΛ, porque AΓ es igual a ΓB.
También podremos decir que AΛ es igual a ΔZ porque ésta última es igual a ΓM. Luego, a estos dos rectángulos se debe añadir ΓΘ para formar el rectángulo AΘ.
Bajo este respecto, podemos decir que si a AΛ le añadimos ΓΘ, entonces esta sería igual que el rectángulo ΔZ y ΓΘ unidos. De hecho, esta combinación formaría lo que se conoce como el gnomon.
El gnomon es el resultado de remover la esquina de un paralelogramo más grande, siendo el más grande el gnomon. En este caso, el gnomon se encontraría de la siguiente forma.
A partir de esto se formarían los puntos MNΞ que representarían el gnomon en el rectángulo.
Por lo tanto, si se corta una línea recta (AB) en segmentos iguales (AΓ y ΓB) y desiguales (AΔ y ΔB), juntos con el cuadrado de a recta que está entre los puntos de sección (ΓΔ) es igual al cuadrado de la mitad de la recta.
Proposición 6:
Si se divide en dos partes iguales una línea recta y se le añade, en línea recta, otra recta, el rectángulo comprendido por la recta entera con la recta añadida y la recta añadida junto con el cuadrado de la mitad es igual al cuadrado de la recta compuesta por la mitad y la recta añadida
Tengamos una recta AB con un punto intermedio Γ, y prolongar B hasta un punto Δ.
A partir de ΓΔ construyase el cuadrado ΓEZΔ y tracese ΔE mientras que por el punto B debe formarse la recta BH.
El rectángulo entero AM es igual al gnomon que se forma en NΞO como veremos a continuación.
Como AM es igual a NΞO, entonces AM junto con AH son iguales al cuadrado ΓΔ que es lo que se quería demostrar.
El rectángulo comprendido por la recta entera y la recta añadida (AB y BΔ) junto con el cuadrado originado a partir de la mitad de la recta entera, el cuadrado de ΓB será igual al cuadrado de la recta entera junto con la recta añadida (ΓΔ).
Proposición 7:
Si se corta al azar una línea recta, el cuadrado de la recta entera y el de uno de los segmentos tomados conjuntamente son iguales a dos veces el rectángulo comprendido por la recta entera y el segmento antedicho más el cuadrado del segmento restante
Cortar al azar un punto Γ en la recta AB.
A partir de AB se debe construir AΔEB y construir la recta ΓN. Luego se debe trazar la recta BΔ para que junto con la recta ΓN se forme el punto H y la recta ΘZ.
En este caso, AZ es igual a ΓE y si unimos estos dos rectángulos también podríamos decir que estos dos forman un gnomon KΛM.
De esta forma, ΓZ y el gnomon KΛM son el doble que el rectángulo entero de AZ. Ahora, si queremos completar el cuadrado completo, deberemos sumar el gnomon KΛM con el cuadrado HΔ.
Finalmente, así se conforma el cuadro AΔEB que son la suma del gnomon y del cuadrado HΔ.
Proposición 8:
Si se corta al azar una línea recta, cuatro veces el rectángulo comprendido por la recta entera y uno de los segmentos junto con el cuadrado del segmento restante es igual al cuadrado construido a partir de la recta entera y del segmento primeramente dicho, tomados como una sola recta
Cortar al azar la recta AB en un punto Γ y luego se debe prolongar B hasta Δ en la misma línea AB.
BΔ es igual a ΓB y se construye a partir de AΔ. Luego, a partir de AΔ se debe construir el cuadrado AEZΔ.
Después, como ΔE incide en las rectas ΓΔ y BΛ, entonces deberemos formar dos rectas (MN y ΞO) entre las rectas verticales.
De esta forma ΓB y BΔ son iguales, así como también ΓB es igual a HK, ΠP y ΔΛ que son todas paralelas. De la misma forma BΔ es igual a KN, PO y ΛZ.
Luego ΓK es igual a PN como MΠ es igual a ΠΛ, y este al rectángulo PZ. Por otro lado, ΓK, HP, PN y KΔ son el cuádruple de ΓK.
Así, se conforma un gnomon que comprende AN y ΓZ juntos. Para indicar el gnomon más precisamente añadiremos los puntos ΣTY.
El gnomon ΣTY son el cuádruple de AK y por lo tanto cuatro veces el rectángulo AB y BΔ.
Como conclusión, se demuestra que el cuádruple del triángulo formado a partir de la recta entera junto a otro segmento (AK) más el cuadrado del segmento restante (ΞΘ) es igual al cuadrado de la recta inicial junto al segmento añadido (AZ).
Proposición 9:
Si se corta una línea recta en partes iguales y desiguales, los cuadrados de los segmentos desiguales de la recta entera son el doble del cuadrado de la mitad más el cuadrado de la recta situada entre los puntos de sección
Cortese AB en segmentos iguales por el punto Γ, y en desiguales por el punto Δ.
Ahora deberemos trazar por Γ una recta E y formar ΓE, para luego unir EA y EB. Por el punto Δ deberemos unir un punto Z para crear ΔZ . Luego debemos crear una línea paralela para crear ZH que intersecta con la recta ΓE. Finalmente tracese AZ.
AΓ es igual a ΓE y el ángulo EAΓ y AEΓ son iguales a un recto, así como también ΓEA y ΓAE son la mitad de un recto.
Por otro lado, ΓEB y ΓBE son también la mitad de un recto y así el ángulo AEB entero es un ángulo recto.
Luego como HEZ es la mitad de un recto y el ángulo EHZ es recto, entonces el ángulo HZE es también la mitad de un recto. De la misma forma, ZΔB también es un ángulo recto y BZΔ es la mitad de un recto.
A partir de esto, podríamos decir también que el cuadrado de EA es el doble que AΓ, así como también EZ es el doble de EH.
Finalmente, el rectángulo AΔ y BΔ son el doble de AΓ y ΓΔ.
Como conclusión, como EA es el doble de AΓ, ya que AΓ es igual a ΓE, y lo mismo pasa con EZ. Luego, como HZ es igual a ΓΔ y EH es igual a HZ. Así, EZ es el doble de ΓΔ.
AE junto con EZ es igual al doble de AΓ junto con el doble de ΓΔ. Por otro lado, AZ es igual a los cuadrados AE y EZ.
Como los cuadrados AΔ y ΔZ son iguales al cuadrado de AZ, y entonces AΔ junto con ΔZ es igual al doble de AΓ y el doble de ΓΔ que es lo que se quería demostrar.
Proposición 10:
Si se divide en dos partes iguales una línea recta y se le añade, en línea recta, otra recta, el cuadrado de la recta entera con la recta añadida y el cuadrado de la añadida, tomados conjuntamente son el doble del cuadrado de la mitad y el cuadrado construido a partir de la recta compuesta por la mitad y la recta añadida, tomadas como una sola recta
Tengamos una recta AB trazada por un punto Γ. haciendo que AB y AΓ sean iguales, y luego debe prolongarse B hasta el punto Δ.
Similarmente a la proposición 9 ser debe hacer una recta a partir de Γ para formar ΓE, y unase AB con E.
Y por E se debe trazar el punto Z para que se una con Δ. Ya que tenemos ZΔ, en esta misma recta debemos prolongar la misma hasta el punto H, para luego unir A y E con H.
AΓ es igual a ΓE porque ΓE es igual a ΓB y por esto el ángulo EAΓ es igual a AEΓ, y en la intersección AΓ y ΓB se forma un ángulo recto.
ΓEB y EBΓ son la mitad de un recto (cada uno) porque EAΓ y AEΓ son iguales a la mitad de un recto también, y por lo tanto AEB comprende un ángulo recto. Y como EBΓ es la mitad de un recto, entonces ΔBH es también la mitad de un recto.
El ángulo BΔH es un ángulo recto porque es igual al ángulo ΔΓE y por otro lado, ΔHB sería la mitad de un recto y es igual al ángulo ΔBH.
ZEH es la mitad de un recto al igual que EHZ desde que HZ es igual a EZ.
EΓ es igual a ΓA y la unión de estos dos son el doble a ΓA, y EA es el doble del cuadrado ΓE y ΓA.
ZΔ es igual a EZ y la unión de estos son el doble de EZ, y EH es el doble del cuadrado EZ.
EZ es igual a ΓΔ y EH es el doble de ΓΔ porque éste es igual a EZ Y EH es el doble de ΓΔ porque es el doble de EZ. Por otro lado, recordemos también que EA es el doble de AΓ. Por lo tanto, AE y EH son el doble de AΓ y ΓΔ. Así mismo, también AH es igual al cuadrado de AΔ y EH.
EA es el doble de AΓ, y EH es el doble de ΓΔ, entonces AH será igual al doble de AΓ y el doble de ΓΔ.
Los cuadrados de AΔ y ΔH son iguales al cuadrado de AH, y así los cuadrados de AΔ y ΔH son el doble de los cuadrados AΓ y ΓΔ.
Finalmente, si a una recta se le agregara otra recta siguiendo la misma línea el cuadrado de la recta inicial con la añadida junto con el cuadrado de la recta agregada, será igual al doble de la mitad de la recta original junto con el doble de la mitad de la recta inicial unida a la recta añadida.
Proposición 11:
Dividir una recta dada de manera que el rectángulo comprendido por la recta entera y uno de los segmentos sea igual al cuadrado del segmento restante
Tengamos AB como una recta dada y a partir de esta se construya el cuadrado ABΔΓ.
Posteriormente, a partir de AZ fórmese el cuadrado ZHΘA, y Θ debe unirse con el punto K.
El rectángulo comprendido por ΓZ y ZA junto con el cuadrado de AE es igual al cuadrado de EZ.
Y si EZ es igual a EB, el rectángulo comprendido por ΓZ y ZA junto con el cuadrado AE es igual al cuadrado EB y también a los cuadrados BA, AE.
Ahora quitemos de ambos lados el cuadrado AE. Su resultado será que ΓZ y ZA serán iguales al cuadrado de AB.
Luego, el rectángulo comprendido por ΓZ y ZA es ZK porque AZ es igual a ZH, pero el cuadrado de AB es AΔ, por lo tanto, ZK es igual a AΔ.
Quitemos de ambos (ZK y AΔ) el rectángulo AK y entonces el cuadrado restante de ZK será ZΘ y de AΔ será ΘΔ. Así como este último (ΘA) es el rectángulo comprendido por AB y BΘ; porque AB es igual a BΔ. Así, AB y BΘ es iguala la cuadrado de ΘΔ.
Como conclusión, la recta dada (AB) ha sido dividida en un punto (Θ) de manera tal que el rectángulo comprendido por AB y BΘ sea igual al cuadrado AΘ.
Proposición 12:
En los triángulos obtusángulos el cuadrado del lado que subtiende al ángulo obtuso es mayor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo obtuso en dos veces el rectángulo por un lado de los del ángulo obtuso sobre el que cae la perpendicular y la recta exterior cortada por la perpendicular, hasta el ángulo obtuso
Sea ABΓ el triángulo obtusángulo que tiene el ángulo obtuso BAΓ.
Lo que se quiere demostrar aquí es que el cuadrado de BΓ es mayor dos veces mayor el rectángulo comprendido por ΓA y ΔA a los cuadrados AΓ y AB.
Así, podríamos decir que BΓ es igual al doble de ΓA, ΔA, y AΓ y AB juntos.
¿Cómo se demuestra? calculando el triángulo de ΔBΓ que posee un ángulo recto en Δ.
Por otro lado, ΓΔ es igual al cuadrado de AΓ y AΔ junto con el doble del rectángulo ΓA y ΔA.
Ahora para demostrar que BΓ es mayor que el doble de AΓ, AB, y el doble que ΓA y ΔA se propone hacer que ΔB esté en ambos lados de la ecuación propuesta por Euclides: ΔΓ = ΓA + AΔ + 2 (AΓ, AΔ)
BΓ = (ΓΔ + ΔB)
AB = AΔ + ΔB
Por lo tanto, podríamos expresar lo siguiente:
ΓΔ + ΔB = AΓ + (AΔ + ΔB) + 2 veces ΓA y AΔ
Todo esto se puede reemplazar finalmente por la siguiente expresión:
BΓ = AΓ + AB + 2 veces ΓA y AΔ.
Proposición 13:
En los triángulos acutángulos, el cuadrado del lado que subtiende al ángulo agudo es menor que los cuadrados de los lados que comprenden el ángulo agudo en dos veces el rectángulo comprendido por uno de los lados del ángulo agudo sobre el que cae la perpendicular y la recta interior cortada por la perpendicular hasta el ángulo agudo
Sea ABΓ el triángulo acutángulo
Luego desde A se debe trazar una recta Δ.
Podemos notar que ΓB ha sido cortada al azar por Δ, esto hace que los cuadrados de ΓB y ΔB sean iguales a dos veces el rectángulo formado por ΓB y ΔB, además del cuadrado de ΔΓ.
ΓB + BΔ = 2 (ΓB y BΔ) + ΔΓ
Ahora añadamos a ambos ΓB y ΔB el cuadrado ΔA, entonces, los cuadrados ΓB, ΔB y ΔA son iguales a dos veces el rectángulo comprendido por ΓB y ΔB, y los cuadrados de AΔ y AΓ.
ΔA + ΓB + BΔ = 2 (ΓB y BΔ) + ΔΓ + ΔA
Por otro lado, tenemos que el cuadrado de AB es igual a los cuadrados de BΔ y ΔA porque el ángulo de Δ es recto. Ahora el cuadrado de AΓ es igual a los cuadrados de AΔ y ΔΓ.
Aquí se reemplaza de la siguiente forma:
AB = BΔ + ΔA
AG = AΔ + ΔΓ
Por lo tanto, los cuadrados de ΓB y BA son iguales al cuadrado de AΓ, y dos veces el rectángulo por ΓB y BΔ.
Así, el cuadrado AΓ es menor que los cuadrados ΓB y BΔ en dos veces el rectángulo comprendido por ΓB y ΔB.
Proposición 14:
Construir un cuadrado igual a una figura rectilínea dada
Sea A la figura rectilínea dada
Para esto, construyamos un paralelogramo rectángulo BΔ, que sea igual a la figura rectilínea dada (A) que a su vez forme un rectángulo BΓΔE.
Euclides dice que si BE es igual a EΔ se habrá hecho lo propuesto, pues así se construye la recta de la figura A. De lo contrario, entonces uno de los lados (BE o EΔ) tendría que ser mayor.
Supongamos que BE sea mayor y prolonguemos esta hasta un punto Z, y hágase Z igual a EΔ.
Luego dividamos BZ en dos partes iguales añadiendo un punto H en medio de la recta.
Como podemos ver, junto con el punto H se forma también el punto Θ, que a su vez forma un semicírculo encima de la recta BZ. A consecuencia de esto formamos el semicírculo BΘZ.
El rectángulo comprendido por BE y EZ junto con el cuadrado EH son iguales al cuadrado HZ, debido a la misma proposición 5 de este libro.
Sin embargo HZ es igual al cuadrado de HΘ, aunque también, los cuadrados de ΘE y EH son iguales al cuadrado HΘ.
Por lo tanto, el rectángulo comprendido por BE y EZ junto con el cuadrado de EH son iguales a los cuadrados ΘE y EH.
Quítese de ambos (BE, EZ y ΘE) el cuadrado de HE y así quedaría que el ángulo comprendido por BE y EZ se igual al cuadrado EΘ.
Finalmente, el rectángulo comprendido por BE y EZ es BΔ porque EZ es igual a EΔ, por lo tanto, el paralelogramo BΔ es igual al cuadrado ΘE. Y como BΔ es la figura rectilínea dada(A), se puede construir un cuadrado EΘ igual a la recta dada A.
Conclusión
Al fin hemos terminado el libro II de Euclides que trata en su mayoría sobre los cuadrados y rectángulos que se pueden formar a partir de ciertas rectas. Se han añadido nuevos conceptos a conocer en esta etapa tales como el gnomon, que no había aparecido en el libro I, y que además nos ayudará a resolver las figuras geométricas sucesivas. Por supuesto, todo lo anteriormente nos preparará para completar el tercer libro relacionado con las circunferencias.
Este apunte ha sido logrado gracias Leila Reyes, quien corrigió y sugirió las modificaciones necesarias en este apunte.
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