Aristóteles - Física (Libro VI: Continuidad).

Un termino que es tremendamente difícil entenderlo sin tener en cuenta los demás libros de este tratado. La continuidad está presente tanto en el infinito como en el movimiento. Basta demostrar que para que exista la posibilidad de contar, se tenga que acudir a este término. Aquí la comprensión del análisis se pone cuesta arriba, puesto que las formulas que ocupa Aristóteles se vuelven aún más complejas. En este libro aparece una de las más memorables paradojas, la cual dio muchos dolores de cabeza tanto a los filósofos como a los matemáticos. La paradoja de Aquiles y la tortuga de Zenón queda totalmente refutada en este libro.

Referencias:

(1) Para más información véase el cuarto libro de este tratado.
(2) Sólo veremos las paradojas de estadio y de la flecha porque las otras dos ya fueron explicadas.

Física

LIBRO VI: CONTINUIDAD

Pruebas de que la continuidad es divisible

Antes de empezar recordemos algunos conceptos del análisis anterior:

Junto: Se entiende como el lugar inmediato donde se encuentran dos cosas.

Separado: Se entiende como dos cosas que no están en el mismo lugar.

En contacto: Cuando los extremos de una cosa están juntos.

Entre: Lo que está entre dos opuestos o contradicciones. 

Sucesivo: Cualquier cosa que se encuentre después de otra, no importa la naturaleza que esta tenga. 

Consecutivo: Cuando las cosas que son sucesivas están en contacto.

Continuo: Cuando las cosas que están en contacto son idénticas.

Como dice el título, la continuidad es algo que puede dividirse infinitamente. Existen cosas como el punto que sí son indivisibles y como la línea que son divisibles. 

El punto

El punto es indivisible porque no tiene partes (como hemos visto en libros anteriores) y a causa de que no tiene partes  es también ilimitado. Todo lo que tiene partes es limitado y divisible.

No obstante, el punto puede estar en contacto con otro punto porque los dos serían un todo, pero éstos no serían continuos ya que para que sea continuo necesitará que esté compuesto de partes diferentes. Por lo tanto, un punto no puede ser sucesivo con otro, como tampoco un ahora es sucesivo a otro ahora; lo que nos demuestra que para que lo continuo se dé, necesita haber cosas que sean distintas.

Lo divisible y lo indivisible 

Cualquier cosa puede ser divisible o indivisible. Si es divisible se puede dividir en partes infinitamente indivisibles; y en éste último se encuentra lo continuo.  

Prueba de que la distancia, el tiempo y el movimiento son continuos

Hay que descubrir si estos tres conceptos se componen de elementos divisibles o indivisibles. Aristóteles lo trata de hacer con la siguiente formula. 

Si una magnitud es indivisible, entonces el movimiento de dicha magnitud también lo es. 

Magnitud: ABC

Partes indivisibles de la magnitud: A, B y C

Movimiento: DEF

Partes indivisibles de la magnitud: D, E y F

Objeto: X

La magnitud ABC estuviera compuesta de partes indivisibles A, B y C, el movimiento DEF de un objeto X sobre su magnitud ABC sería D, E y F y estas son indivisibles.

La distancia A de un objeto X  se moverá con la parte D hacia la magnitud B junto con el movimiento E y al mismo tiempo se dirige a la distancia C gracias al movimiento F. 

No obstante la explicación anterior, los movimiento aquí descritos deben ser divisibles y no indivisibles como se había propuesto. Esto se debe a que si el movimiento fuera indivisible, este no podría pasar de un punto a otro, es decir, no se podría mover. Por lo tanto, sus partes deben ser divisibles para que la continuidad exista.

Lo mismo va para los conceptos de distancia y tiempo porque ambos son continuos y por ende, divisibles.  

Pruebas adicionales sobre la continuidad del tiempo y la distancia

Sentado que la magnitud es divisible, podemos entender que lo rápido es lo que avanza y recorre una distancia en menos tiempo con respecto a otra cosa. 

Así se explica la rapidez:

Distancia: M

Tiempo: T

Pensemos que A es más rápida que B. Si A cambia de una distancia M1 a M4 en el tiempo T1 y T4, B no habrá llegado aún a M4. 

De este modo, A recorrerá una distancia más larga y en menos tiempo que B. 

Todo movimiento se encuentra en el tiempo ya sea este rápido o lento. Y así como el movimiento es continuo, el tiempo también lo será; pensemos como dividimos el tiempo anteriormente en un extremo T1 y T4. El tiempo puede ser divisible al igual que el movimiento si se lo comprende en tramos o segmentos. 

Sigamos con otro ejemplo:

A: objeto rápido
B: objeto lento

B recorre de M1 a M3 en el tiempo de T1 a T3.

A recorrerá de M1 a M3 en el tiempo de T1 a T2.

De esta forma, B que es más lenta tendrá que recorrer M1 a M2 en un tiempo de T1 y T2. Y si va más lenta, tendrá que dividir la distancia entre T1 y T2 y así. Por otro lado, si el tiempo es dividido, al distancia también se verá dividida. 

Evaluando los dos puntos, lo más rápido dividirá el tiempo para llegar a M3 y el más lento dividirá la distancia.

Distancia	M1	M2	M3	M4
A	---------------------------------------------------------------->
B	--------------------------->
Tiempo de B	T1	T2	T3	T4
Tiempo de A	T1	T2

Como conclusión, el tiempo y la magnitud podrán perfectamente divisibles. También será infinitos si lo dos convienen en eso, es decir, si el tiempo es infinito en un objeto, la distancia también lo será.

La paradoja de Zenón 

Zenón de Elea, el discípulo de Parménides, postulaba que el movimiento es sólo una ilusión y que no puede realizarse matemáticamente. Para explicar esto, Zenón relataba una carrera entre el gran guerrero griego Aquiles y una tortuga. 

En la carrera, Aquiles le da a la tortuga una cierta ventaja (pongamos como ejemplo, un metro), pero al darle la ventaja, vemos que la tortuga ya ha avanzado 1 metro y medio puesto que mientras Aquiles estaba corriendo, la tortuga ya había avanzado más. 

Para alcanzar a la tortuga, Aquiles tendrá que recorrer espacios infinitos de distancia porque para recorrer un metro, es necesario que se recorra la mitad de este (50cm). Y para recorrer este (50cm) tendrá que recorrer la mitad (25cm) y luego la otra mitad (12,5 cm), y luego la otra (6,25 cm) y la otra (3,125cm) y así hasta el infinito. 

Así, Aquiles nunca alcanzará a la tortuga, pues tiene que recorrer las mitades infinitas del metro. De esta forma, el movimiento pareciera ser algo meramente ilusorio porque si el recorrido es infinito, Aquiles jamás se moverá. 

El error de Zenón está en decir que una distancia finita se puede medir con magnitudes infinitas. Una cosa finita no puede tener características infinitas, pues lo finito es finito y no infinito. 

El ahora es indivisible; por lo tanto, nada se mueve en un ahora

El ahora es el límite del pasado y del futuro(1). Si el ahora fuera algo que pudiera ser divisible, entonces el pasado y el futuro estarían el uno tanto como en el otro; es decir, el pasado en el futuro y el futuro en el pasado.

Por ejemplo:

A: Pasado

B: Ahora
C: Futuro

Si B fuera divisible, entonces A podría estar en B y formar AB, y C estaría en B formando BC. Así, el pasado y el futuro estarían en el ahora y además, el pasado y el futuro serían dos cosas que existen al mismo tiempo. 

La idea del ahora es que no sea divisible para no combinarse con sus ''opuestos'' de tiempo. Si el ahora es indivisible, entonces no tiene tiempo porque si fuera así, el ahora tendría que tener un movimiento rápido y lento lo cual sería absurdo, puesto que el ahora es sólo un instante. 

El reposo en el ahora

Tampoco puede haber reposo en el ahora porque como vimos en el libro anterior, el reposo es un movimiento natural que no tiene un ''cuando, ''donde'', ni ''cómo'' a la hora de moverse. Por lo tanto, no hay reposo en el ahora. 

Además, hay que comprender que el ahora no es un tiempo, es solamente, un límite entre el pasado y el futuro. 

El objeto, el movimiento, el tiempo y el cambio son todos divisibles

Como hemos visto en otros libros, el cambio solo se puede dar si el objeto que cambia tiene partes; por supuesto, si tiene partes es divisible. Lo que no tiene el cambio es un punto de partida y un punto final, en efecto, si señalamos el punto de partida ¿qué cambio existe en él? Ninguno porque estos extremos no son cambios. El cambio se da de dos maneras: en el tiempo y en el movimiento (puesto que ambos son divisibles). 

El tiempo y el cambio

Estableciendo que el cambio y el tiempo se corresponden el uno al otro, la velocidad del cambio dependerá de la velocidad del objeto; si ésta es rápida, tanto el cambio como el tiempo serán rápidos y si fuera lento, su cambio y tiempo serán lentos. 

Para que se de un cambio se necesita de idénticas divisiones del tiempo, el tiempo que un objeto se mueve y respecto a lo que ocurre el cambio. 

Supongamos que A es el tiempo que un objeto se mueve y B el movimiento. Si A completa todo el recorrido, B también lo hará, y si completa sólo la mitad, B también hará la mitad. 

Siempre hay un primer instante donde el cambio ha sido completado

Todo cambia desde un punto de partida a un punto final. Con respecto a esto surgen dos dudas: ¿cambiar y la salir son lo mismo? o ¿salir es una consecuencia del cambio? Si aceptamos este último, tendríamos que aceptar que ''haber salido'' es la consecuencia de ''haber cambiado''.

Un tipo de cambio tiene que ver con la contradicción; por ejemplo, cambiar del no-ser al ser. Lo que quiere decir que se ''ha salido'' desde el no-ser al ser. Si es así, esto puede generalizarse a todos los tipos de cambio, por lo tanto, en el cambio se sale desde un punto de partida para llegar al punto final.

Finalmente, lo que ''ha cambiado'' o ''ha salido'' desde el punto de partida para llegar a su punto final es un cambio. En efecto, todo lo que termina ya no está en movimiento, sino más bien en un estado. Por lo tanto, cuando el cambio llega a su punto final se vuelve indivisible, pues ya no está ni en proceso ni dividido, en ese instante final, el cambio se cumple. Por ejemplo, lo que es destruido es igual de indivisible como lo que es generado (recordemos que son estados).

No hay instante donde un cambio haya comenzado

El instante final es el momento donde el cambio finaliza, pero el cambio no tiene lugar con respecto al comienzo. 

Por ejemplo: 


Supongamos que AD (A,B,C y D) es una ocasión inmediata (lo que significa que no tendría ''ahoras''). Si ponemos un objeto en la parte A, para partir este objeto deberá estar en descanso, y cuando se empiece a mover, el objeto estará en B, luego en C y finalmente en D. Todo esto quiere decir que si un instante es divisible, el cambio y el reposo estarían en el mismo instante lo cual es absurdo. 

El punto final es indivisible

Tampoco puede haber una parte del cambio que cambie primero. 

Por ejemplo:

Sean DE las partes putativas del cambio en DF el cual ya ha cambiado. HI será el período de tiempo donde DF cambia. Si DF cambia en un período completo de tiempo, una parte más pequeña que esta tendrá que cambiar antes de que se complete y aún otra más pequeña tendrá que cambiar también y así ad infinitum.

Así, el cambio ocurre como un todo y no en una de sus partes. 

Cambio y punto final

En el cambio hay que considerar tres factores:

1. Lo que cambia (persona, animal o cosa)
2. Donde el cambio ocurre (tiempo)
3. El punto final del cambio (palidez o blancura)

El primer y segundo punto son totalmente divisibles, pero el tercero causa ciertas dudas. El tercer punto solo sería divisible de manera accidental; por ejemplo, que la blancura o la palidez sean parte de un sujeto (se encuentren en un hombre). Pero no esencialmente ni mucho menos cuando forma parte del tiempo.

Así dejamos claro que lo indivisible, como el punto final, solo puede encontrarse como cualidad y no como cantidad.  

Cualquier cosa que sea el cambio ya ha cambiado

Todo cambio ocurre en el tiempo y por lo tanto, este ocurrirá en alguna parte del tiempo.

Además, todo cambio en el tiempo tiene que haberse movido antes. Por ejemplo, si vemos que un objeto se está moviendo en C, es obvio que este debió haberse movido antes en el tiempo AB.

Por otro lado, el cambio que ocurre el tiempo, es un cambio que ocurre en un ahora. Pero como es imposible que algo cambie en un ahora, dicha cosa tendrá que cambiar en muchos ahoras y así tenemos que el cambio puede suceder infinitamente, si es que sucede en infinitos ahoras. 

Lo que ha estado cambiando

Lo que cambia es porque ya estaba cambiando antes. Si una cosa pasa a estar de un estado A a un estado B en un ahora, esta cosa no ha hecho el mismo cambio como lo hizo en el ahora de A. ¿Por qué? el ahora que cambia es diferente al ahora que empezó. Es importante mencionar que entre estos dos tipos de ahora, existe un tramo de tiempo que lo separa (puesto que los ahoras no son consecutivos). 

Lo finito y lo infinito en el tiempo

Habíamos visto en la paradoja de Zenón que no se puede recorrer una distancia finita, en tramos infinitos. Bueno, con el tiempo y la magnitud sucede lo mismo. Es decir, no podemos recorrer un tiempo infinito en una magnitud finita, como tampoco podemos recorrer una magnitud infinita en un tiempo finito. 

Detenerse y reposar

Un objeto que llega a estar en reposo se mueve en el proceso de este ''llegar a estar''. Si no estuviera en movimiento, entonces estaría en reposo, pero es imposible que algo que este en reposo llegue a estar en reposo. Además, este llegar a ser puede ser rápido y lento.

El cambio que llega a un detenimiento está en un proceso continuo en una parte del tiempo. Pero este llegar a ser debe darse necesariamente en un todo. Por ejemplo, si dividimos el tiempo en dos partes y el objeto que llega a ser no está en ninguna de las dos partes, entonces no se dará en un todo; si se da solo en una de las dos partes, entonces dicho tiempo (el que tiene dos partes) no es el todo donde el objeto llegará a ser.  

De esta forma, se prueba que tampoco hay un tiempo instantáneo donde se de el ''llegar a ser'' porque no hay ningún comienzo. La cosa que está cambiando tampoco puede ser opuesta mientras se esté haciendo este movimiento. 

Loa argumentos de Zenón sobre el movimiento no presentan dificultad

Paradoja de la flecha

Aquí tenemos otra paradoja de Zenón que es refutada; la paradoja de la flecha(2).

Esta paradoja consta de una flecha arrojada a una determinada dirección. Si observamos detenidamente la flecha en un específico instante, veremos que esta no se mueve (como si viéramos los fotogramas de una película). No importa en que instante sea, la flecha parecerá estar en reposo y no en movimiento. 

Solución a la paradoja de la flecha

Vemos que Zenón comprende el tiempo con muchos ''ahoras'', puesto que ''detener'' el tiempo para observar el objeto en un tiempo determinado, se consideraría como un ''ahora''. Esto sería falso ya que el tiempo no está compuesto de ''ahoras'' indivisibles. El movimiento de la flecha se comprende por su tiempo, velocidad y movimiento.

Paradoja del estadio

Esta paradoja es un poco más complicada que las anteriores. Imaginemos tres filas de hombres: una fila en reposo y las dos restantes en movimiento.

		A	A	A	A
				B	B	B	B
C	C	C	C

Ahora veamos como se alinean B y C con respecto a A.

		A	A	A	A
		B	B	B	B
		C	C	C	C

Al ver la alineación, podemos ver que B se movió solo dos espacios con respecto a A, pero C se movió cuatro espacios con respecto a B. ¿Cómo es posible siendo que las dos partían de la misma distancia que una (C) recorra más que la otra (B)?

Así, la mitad de un tiempo (B) es el doble del el otro tiempo (C) porque tuvo que recorrer todo el punto B.

Solución a la paradoja del estadio

La solución radica en que la velocidad y tiempo de cada uno es solamente relativo. Además,  Zenón está diferenciando el movimiento de un cuerpo con otro cuerpo en movimiento y otro en reposo. La solución está en fijar la posición de un movimiento y no establecer que un movimiento es igual a otro. 

Lo que no tiene partes no puede cambiar

En otros libros de este tratado hemos visto que sólo las cosas que tienen parte pueden cambiar, aunque sí puede cambiar si esta fuera una parte de una magnitud en movimiento. Por ejemplo, un hombre está sentado en un barco y este se mueve porque el barco se mueve, es decir, el hombre no se mueve por sí mismo, sino que es el barco el que lo mueve. 

Pero en general lo que no tiene partes no puede cambiar. Imaginemos lo siguiente: Una cosa indivisible está cambiando de AB a  BC. Sí está solamente en AB estará en reposo, lo que significa entonces que tendría partes, pero tampoco podría estar en BC porque entonces el cambio estaría finalizado. Por lo tanto lo indivisible no puede cambiar porque no tiene partes. 

¿El cambio puede ser infinito?

Recordemos que el cambio se da desde un punto de partida hasta un punto final. Esta podría ser la primera premisa que nos indica que el cambio no es infinito. En fin todos los cambios tienen opuestos y a la vez estos tienen un límite y por eso decimos que no pueden ser infinitos.

Conclusión

La controversia del movimiento y el cambio fue una constante en la Antigua Grecia, sobre todo de mano de los eleatas quienes defendieron las enseñanzas de Parménides y Zenón. Claro, el movimiento era un concepto discutido entre estos filósofos, y Zenón fue quien defendió esto hasta el final con sus conocidas paradojas sobre la inmovilidad. Desafortunadamente para ellos, Aristóteles establece muy bien la evidente existencia del movimiento refutando todas las teorías y paradojas de quienes afirman la inmovilidad. En efecto, si no existiera el movimiento, nos volveríamos locos, ya que la evidencia empírica nos dice que sí existe.