Euclides - Los Elementos (Libro IV: Circunferencia inscrita y exinscrita de un triángulo).

En el siguiente libro veremos las circunferencias que están contenidas dentro de un triángulo y las que pueden estar fuera de la misma circunferencia. Es imperativo que antes de avanzar en este libro, el lector ya haya indagado y estudiado el libro III de este tratado para abordar de mejor manera las proposiciones sucesivas. Tenemos una combinación de rectas y círculos que nos harán la tarea aún más compleja, aunque también se debe observar que son pocas las proposiciones. Veamos que nos trae Euclides en esta cuarta parte de Los Elementos.

Otros libros de Euclides:

Libro I: Triángulos
Libro II: Cuadrados y rectángulos
Libro III: Circunferencias

Definiciones:

(1) Equiángulo: que tiene todos sus ángulos iguales. 

LOS ELEMENTOS

LIBRO IV: CIRCUNFERENCIA INSCRITA Y EXINSCRITA DE UN TRIÁNGULO

Proposiciones

Proposición 1

Adaptar a un círculo dado una recta igual a una recta dada que no sea mayor que el diámetro del círculo

Tengamos un círculo dado ABΓ y sea Δ la recta dada no mayor que el diámetro del círculo. 

Tenemos que el diámetro es la recta BΓ y si éste es el diámetro del círculo, entonces en BΓ estará la recta dada Δ, por lo cual la proposición estaría cumplida porque se adaptaría al ángulo ABΓ. 

Si esto no fuera así, es decir, si BΓ no fuera igual a Δ, entonces tendríamos que decir que EΓ es igual a Δ con un centro Γ. Así, luego tendremos el círculo EAZ y trácese ΓA. 

De este modo, se ha adaptado Δ que era la recta dada, en el círculo ABΓ.

Proposición 2:

Inscribir en un círculo dado un triángulo de ángulos iguales a los de un triángulo dado

Sea ABΓ el círculo dado y ΔEZ un triángulo dado. 

De este modo, tenemos que poner un triángulo dentro del círculo ABΓ el cual tenga los mismos ángulos que el triángulo ΔEZ. 

Como vemos una recta HΘ toca el círculo ABΓ en el punto A, y desde el punto A ha sido trazada la recta AΓ, entonces el ángulo ΘAΓ es igual al ángulo ABΓ en el segmento alterno del círculo. 

Sin embargo, el ángulo ΘAΓ es igual al ángulo ΔEZ, y así el ángulo ABΓ es igual al triángulo ΔEZ.En consecuencia, el ángulo restante AΓB es igual al ángulo ΔZE 

Por lo tanto, el ángulo restante BAΓ es igual al ángulo restante EΔZ. 

Proposición 3:

Circunscribir en torno a un círculo dado un triángulo de ángulos iguales a los de un triángulo dado.

Tengamos un círculo dado ABΓ y ΔEZ el triángulo dado. 

Luego prolónguese EZ en ambos sentidos hasta los puntos H y Θ, y tómese el punto K como centro del círculo ABΓ y trácese una recta KB, y en ésta misma el ángulo BKA igual al ángulo ΔEH, y el ángulo BKΓ igual al ángulo ΔZΘ, y a través de los puntos A, B, Γ tracense las rectas ΛAM, MBN, NΓA tangentes al círculo ABΓ.

Como las rectas ΛM, MN y NΛ tocan el círculo ABΓ en los puntos A, B, Γ y KA, KB, KΓ se han trazado desde el centro K hasta los puntos A, B y Γ el ángulo correspondiente a cada punto será recto.

Los ángulos del cuadrilátero AMBK son iguales a cuatro rectos, puesto que AMBK se divide en triángulos y los ángulos KAM y KBM son rectos, entonces los ángulos restantes AKB y AMB son iguales a dos rectos. 

Sin embargo, los ángulos ΔEH y ΔEZ son también iguales a dos rectos, entonces los ángulos AKB y AMB son iguales a los ángulos ΔEH y ΔEZ, de los cuales AKB es igual a ΔEH y AMB es igual a ΔEZ. 

De igual manera, el ángulo ΛNB es igual al ángulo ΔZE, lo que significa que el ángulo restante MΛN es igual al ángulo EΔZ.

Luego el triángulo ΛMN es de ángulos iguales a los del triángulo ΔEZ, y está circunscrito en torno al círculo ABΓ.

Proposición 4:

Inscribir un círculo en un triángulo dado 

Tengamos ABΓ como un triángulo dado en el cual debemos incorporar un círculo dentro del triángulo. 

Dividamos en dos partes iguales los ángulos  ABΓ y AΓB utilizando las rectas BΔ y ΓΔ, teniendo Δ como centro. En las rectas del triángulo ABΓ se trazan rectas hasta los lados del triánbgulo AB, BΓ y ΓA y estas rectas son ΔE, ΔZ y ΔH. 

ABΔ es igual a ΓBΔ y el ángulo recto BEΔ es también igual al ángulo recto BZΔ. De este modo, EBΔ y ZBΔ son dos triángulos que tienen dos ángulos iguales a dos ángulos. Además, los dos tienen un lado igual que sería BΔ, lo que significa que ΔE y ΔZ son iguales (así como también ΔH).

ΔE, ΔZ y ΔH son iguales entre sí, además de tocar las rectas AB, BΓ y ΓA por ser rectos entre los puntos E, Z y H. Las rectas que trazadas a partir del centro Δ (ΔE, ΔZ y ΔH) no cortan el círculo, pues si las cortaran las rectas atravesarían las rectas tal y como lo presenta la proposición 16 del libro III de este tratado. 

Por lo tanto, sólo podremos decir que las rectas ΔE, ΔZ y ΔH no cortan el círculo y sólo tocan las rectas AB, BΓ y ΓA, lo que da como resultado un círculo EZH con centro Δ, por lo tanto, se inscribió un círculo en un triángulo dado que es lo que se quería demostrar. 

Proposición 5:

Circunscribir un círculo en torno a un triángulo dado

Primer círculo circunscrito:

Tengamos ABΓ como un triángulo dado y luego construyamos un círculo en torno a este triángulo. 

Dividanse en dos partes iguales las rectas AB y AΓ por los puntos Δ y E, y a partir de estos trazar ΔZ y EZ formando ángulos rectos con AB y AΓ.

Tenemos que AΔ es igual a ΔB y ΔZ es común y además forma ángulos rectos y así la base AZ es igual a la base ZB.

De igual manera ΓZ es igual a AZ, por lo que ZB es también igual a ΓZ, lo que da como resultado que las tres rectas ΓZ, AZ y ZB sean iguales. 

Así el círculo circunscrito con el centro Z con distancia de rectas trazadas a partir del mismo centro (AZ, BZ y ΓZ) pasará por los puntos restantes y así circunscribe al triángulo ABΓ. 

Segundo círculo circunscrito:

Modificando el mismo triángulo, tengamos que ΔZ y EZ están sobre la recta BΓ en el punto Z y tracese AZ. 

Luego debemos circunscribir un círculo en el triángulo ABΓ.

De esta forma podremos ver que Z sigue siendo el centro del círculo. 

Finalmente, AZ es igual a ZB y ZB es igual a ZΓ, y a partir de esto es como se puede circunscribir el círculo. 

Tercer círculo circunscrito:

Ahora tengamos que ΔZ y EZ quedan fuera del círculo ABΓ con el punto Z como centro del círculo. Luego tracense AZ, BZ y ΓZ.

AΔ es igual a ΔB y ΔZ es común además de formar ángulos rectos y así la base AZ es igual a la base BZ. 

De igual manera demostraremos que ΓZ es igual a AZ, así como también BZ es igual a ΓZ. 

Por lo tanto, el círculo ABΓ con centro Z pasará por las rectas ZA, ZB y ZΓ y también por las rectas restantes. 


Proposición 6:

Inscribir un cuadrado en un círculo dado

Tengamos un círculo dado ABΓΔ.

Luego debemos trazar los diámetros AΓ y BΔ del mismo círculo formando ángulos rectos entre sí. Posteriormente, tracese AB, BΓ, ΓΔ y ΔA, y luego formemos el centro con el punto E. 

BE es igual a EΔ y EA es común a los dos y forma ángulos rectos. De esta forma, la base AB es igual a la base AΔ.

Del mismo modo, las rectas BΓ y ΓΔ es igual a las rectas AB y AΔ, lo que hace que el cuadrilatero ABΓΔ sea equilátero. 

Euclides dice que además es rectangular

BAΔ es un semicírculo lo que hace que el ángulo BAΔ sea recto. Por lo mismo, ABΓ, BΓΔ y ΓΔA son también rectos, por tanto ABΓΔ es rectangular. Sin embargo, se había dicho que era equilátero, por lo tanto, ABΓΔ es un cuadrado. 

Proposición 7:

Circunscribir un cuadrado en torno a un círculo dado

Tengamos ABΓΔ como un círculo dado. 

Luego debemos trazar los diámetros AΓ y BΔ del mismo círculo formando ángulos rectos entre sí. Después tengamos a E como el centro del círculo.

A través de los puntos A, B, Γ y Δ tracense las rectas ZH, HΘ, ΘK y KZ como tangentes al círculo ABΓΔ. 

Como los ángulos AEB y EBH son rectos, HΘ es paralela a AΓ. Del mismo modo, AΓ es paralela a ZK. 

Por otro lado, las rectas HZ y ΘK es paralela a BEΔ, por lo tanto, HK, HΓ, AK, ZB y BK son paralelogramos, por lo que HZ es igual a ΘK, y HΘ es igual a ZK. 

Como AΓ es igual a BΔ mientras que AΓ es igual a cada una de las rectas HΘ, ZK y BΔ es igual a cada una de las rectas HZ y ΘK, lo que hace que el cuadrilátero ZHΘK es equilátero. 

Euclides dice además que es rectangular

Para demostrar aquello, como HBEA es un paralelogramo y el ángulo AEB es recto, entonces el ángulo AHB es también recto. 

De aquí podríamos ver que ZHΘK es rectangular, pero también se dijo que era equilátero, por lo tanto, ZHΘK es un cuadrado. 

Proposición 8:

Inscribir un círculo en un cuadrado dado. 

Tengamos ABΓΔ como un cuadrado dado y que tenga un centro H. 


Dividase en dos partes iguales cada una de las rectas AΔ y AB por los puntos E y Z. 

Luego, a través de E tracese EΘ paralela a una de las dos rectas AB y ΓΔ, y a través de Z trácese ZK paralela a una de las dos rectas AΔ y BΓ. 

Así, cada una de las figuras AK, KB, AΘ, ΘΔ, AH, HΓ, BH y HΔ es un paralelogramo y sus lados opuestos son evidentemente iguales. 

AΔ es igual a AB, y AE es la mitad de AΔ, mientras que AZ es la mitad de AB, entonces AE es igual a AZ. Por lo tanto, podemos ver también que ZH es igual a HE. 

De esta forma diríamos que cada una de las rectas HΘ y HK es igual a cada una de las rectas ZH y HE. Así, las cuatro rectas son iguales entre sí: HE, HZ, HΘ y HK. 

Por otra parte, el círculo descrito con el centro H tocará las rectas AB, BΓ, ΓΔ y ΔA porque se forman ángulos rectos si se les une H con los puntos E, Z, Θ y K. 

Finalmente, tenemos un círculo circunscrito en un cuadrado dado. 

Proposición 9:

Circunscribir un círculo en torno a un cuadrado dado.

Tengamos el cuadrado dado ABΓΔ.


Luego debemos trazar los diámetros AΓ y BΔ del mismo círculo formando ángulos rectos entre sí. Después tengamos a E como el centro del círculo.

Como AΔ es igual a AB, y AΓ es común, los dos lados ΔA y AΓ son iguales a los dos lados BA y AΓ. La base ΔΓ es igual a la base BΓ lo que hace que los ángulos ΔAΓ sea igual al ángulo BAΓ.

Luego el ángulo ΔAB es dividido en dos partes iguales por AΓ.

De igual manera, los ángulos ABΓ, BΓΔ y ΓΔA fueron divididos en dos partes iguales por AΓ y ΔB. Como el ángulo ΔAB  es igual al ángulo ABΓ, y el ángulo EBA es la mitad del ángulo ABΓ, y así el ángulo EAB es igual al ángulo EBA. 

Las rectas EA y EB son iguales respectivamente a las rectas EΓ y EΔ, y de este modo las rectas EA, EB, EΓ y EΔ son iguales entre sí. 

Finalmente, el círculo descrito en el centro E pasará por los puntos restantes y estará circunscrito en torno al cuadrado ABΓΔ. 

Proposición 10:

Construir un triángulo isósceles cada uno de cuyos ángulos de la base sea el doble del restante

Tengamos un círculo que tenga un centro A, y que al mismo tiempo forme una recta AB.

Luego, cortese la recta por el punto Γ, de modo que el rectángulo comprendido por AB y BΓ sea igual al cuadrado de ΓA. 

Junto con la distancia AB descríbase el círculo BΔE y adáptese este mismo a la recta BΔ igual a la recta AΓ que no es mayor que el diámetro del círculo BΔE.

Finalmente trácese AΔ y ΔΓ, y circunscribase en torno al triángulo AΓΔ el círculo AΓΔ. 

El rectángulo comprendido por AB y BΓ es igual al cuadrado de AΓ, y AΓ es igual a BΔ, lo que quiere decir que AB y BΓ (rectángulo comprendido) son iguales al cuadrado BΔ. 

Como se ha tomado el punto B que es exterior al triángulo AΓΔ, y del cual caen las rectas BA y BΔ, y el rectángulo comprendido por AB y BΓ es igual al cuadrado de BΔ, entonces BΔ toca el círculo AΓΔ. 

Como BΔ toca el círculo AΓΔ, y ΔΓ ha sido trazada desde el punto de contacto Δ, entonces el ángulo BΔΓ es igual al ángulo ΔAΓ en el segmento alterno del círculo. 

De esta forma, como el ángulo BΔΓ es igual al ángulo ΔAΓ. Luego añádase a estos el ángulo ΓΔA y así el ángulo entero BΔA es igual a los dos ángulos ΓΔA y ΔAΓ. Sin embargo, el ángulo BΔA es igual al ángulo BΓA porque BΓA es exterior y es la suma de ΔAΓ y ΓΔA.

BΔA es igual a ΓBΔ lo que hace que el ángulo AΔ se a igual a AB, que a su vez hace que el ángulo ΔBA sea igual al ángulo BΓΔ. 

Finalmente tenemos que los tres ángulos BΔA, ΔBA y BΓΔ son iguales entre sí, y a su vez, cada uno de los triángulos BΔA y ΔBA es el doble del ángulo ΔAB (ΔAΓ) porque BΔ, ΓΔ y ΓA son iguales entre sí. De esta forma se construye un triángulo isósceles en un círculo. 

Proposición 11:

Inscribir un pentágono equilátero y equiángulo(1) en un círculo dado.

Tengamos un círculo ABΓΔE y un triángulo isósceles ZHΘ.

En el círculo ABΓΔE tracese el triángulo AΓΔ que sea igual que el triángulo isósceles ZHΘ. El ángulo A es igual al correspondiente en Z y los otros son iguales a H y Θ. Luego dividase en dos partes iguales cada uno de los ángulos AΓΔ y ΓΔA con las rectas ΓE, ΔB respectivamente y trácese AB, BΓ, ΔE y EA. 

Cada uno de los ángulos AΓΔ y ΓΔA son el doble de ΓAΔ y ha sido dividido en partes iguales mediante las rectas ΓE y ΔB.

Entonces, los cinco ángulos ΔAΓ, AΓE, EΓΔ, ΓΔB y BΔA son iguales entre sí. Sin embargo, como dijimos en la proposición 26 del libro III: ''los ángulos iguales están sobre circunferencias iguales'', por lo que las cinco circunferencias AB, BΓ, ΓΔ, ΔE y EA son iguales entre sí, y así el pentágono ABΓΔE es equilátero. 

Euclides dice que también es equiángulo.

Como la circunferencia AB es igual a la circunferencia ΔE, añádase a ambas BΓΔ, entonces la circunferencia entera ABΓΔ es igual a la circunferencia entera EΔΓB.

Luego, el ángulo AEΔ está sobre la circunferencia ABΓΔ, y el ángulo BAE sobre la circunferencia EΔΓB; por lo tanto, el ángulo BAE es igual al ángulo AEΔ.

Por lo mismo, los ángulos ABΓ, BΓΔ y ΓΔE es igual a cada uno de los ángulos BAE y AEΔ, luego el pentágono ABΓΔE es equiángulo.

Finalmente, se inscribió un pentágono equilátero y equiángulo (ABΓΔE)  en un círculo dado.  

Proposición 12:

Circunscribir un pentágono equilátero y equiángulo en torno a un círculo dado

Tengamos un círculo dado ABΓΔE.

Consideremos cada punto del círculo dado ABΓΔE los ángulos de pentágono no inscrito de modo que las circunferencias AB, BΓ, ΓΔ, ΔE y EA sean iguales, y a través de los puntos A, B, Γ, Δ y E trácese HΘ, ΘK, KΛ, ΛM y MH tangente al círculo, y finalmente, póngase como centro el punto Z en el círculo ABΓΔE.

Cada ángulo correspondientes al punto Γ es un ángulo rectos. Por lo mismo, el ángulo de ZΓK lo que lleva a que el cuadrado ZK sea igual a los cuadrados de ZΓ y ΓK. Por otro lado, ZK también es igual a ZB y BK.

Los cuadrados de ZK y ΓK son iguales a los cuadrados de ZB y BK de los cuales el cuadrado de ZΓ es igual al cuadrado de ZB. Por tanto, el cuadrado restante de ΓK es igual al cuadrado de BK. 

Los dos lados BZ y ZK son iguales a los lados ΓZ y ZK porque ZK es común, y la base BK es igual a la base ΓK.

Así, el ángulo BZK es igual al ángulo KZΓ, y el ángulo BKZ al ángulo ZKΓ por tanto, el ángulo BZΓ es el doble del ángulo KZΓ y el ángulo BKΓ el doble del ángulo ZKΓ. Por lo mismo, el ángulo ΓZΔ es también el doble del ángulo ΓZΛ y el ángulo ΔΛΓ el doble del ángulo ZΛΓ.

BK es igual a KΓ, entonces ΘK también es igual a KΛ. De manera semejante se demostraría que cada una de las rectas ΘH, HM y ΛM también es igual a cada una de las rectas ΘK y KΛ. Por lo tanto, el pentágono HΘKΛM es equilátero. 

Euclides dice que también es equiángulo

Como el ángulo ZKΓ es igual al ángulo ZΛΓ, y se ha demostrado que el ángulo ΘKΛ es el doble del ángulo ZKΓ, y el ángulo KΛM el doble del ángulo ZΛΓ, entonces el ángulo ΘKΛ es igual al ángulo KΛM.

De la misma manera, los ángulos KΘH, ΘHM y HMΛ es igual a cada uno de los ángulos ΘKΛ y KΛM, lo que quiere decir que los cinco ángulos HΘK, ΘKΛ, KΛM, ΛMH y MHΘ son iguales entre sí, por lo que el pentágono HΘKΛM  también sería equiángulo. 

Proposición 13:

Inscribir un círculo en un pentágono dado que es equilátero y equiángulo

Tengamos un pentágono equilátero y equiángulo ABΓΔE.

Dentro del mismo pentágono debemos crear un círculo que forme los siguientes puntos: HΘKΛM.

A partir del punto Z se pudieron crear las rectas ZH, ZΘ, ZK, ZΛ y ZM que serían perpendiculares a AB, BΓ, ΓΔ, ΔE y EA. 

Como hemos visto anteriormente, las rectas BΓ y ΓΔ son iguales y ΓZ es común lo que lleva al ángulo ABΓ sea dividido en partes iguales por la recta ZB, lo mismo pasa con los ángulos BAE y AEΔ con las rectas ZA y ZE.

Entre ellos, el ángulo ΘΓZ es igual al ángulo KΓZ, y el ángulo recto ZΘΓ es igual al ángulo ZKΓ, lo que hace que estos dos sean dos triángulos que tienen dos ángulos iguales a dos ángulos y un lado igual a un lado, el cual es ZΓ, que subtienden a uno de los ángulos iguales (ZΘΓ y ZKΓ). Por lo tanto, tendrá los lados restantes iguales a los dos lados restantes. 

De manera semejante, se demostraría que las rectas ZΛ, ZM y ZH son iguales a cada una de las rectas ZΘ y ZK, por lo tanto las rectas ZH, ZΘ, ZK, ZΛ y ZM son iguales entre sí. 

Como conclusión, el centro del círculo tocaría las rectas ZH, ZΘ, ZK, ZΛ y ZM, además de pasar también por las rectas AB, BΓ, ΓΔ, ΔE y EA, a causa de que los ángulos correspondientes a H, Θ, K, Λ y M son rectos. Por lo tanto, tenemos que el círculo con centro Z no corta las rectas AB, BΓ, ΓΔ, ΔE y EA, sino que las toca. 

Proposición 14:

Circunscribir un círculo en torno a un pentágono dado que es equilátero y equiángulo

Tengamos un pentágono dado ABΓΔE que es equilátero y equiángulo.

En este caso se demuestra que los ángulos ΓBA, BAE y AEΔ han sido divididos en dos partes iguales por las rectas ZB, ZA y ZE. 

De la misma manera, como el ángulo BΓΔ es igual al ángulo ΓΔE, y el ángulo ZΓΔ es la mitad del ángulo BΓΔ, mientras que el ángulo ΓΔZ es la mitad del ángulo ΓΔE.

Entonces, el ángulo ZΓΔ es también igual al ángulo ZΔΓ de modo que el lado ZΓ es igual la lado ZΔ. 

Así, cada una de las rectas ZB, ZA y ZE es igual a cada una de las rectas ZΓ y ZΔ. Por lo tanto, las cinco rectas ZA, ZB ZΓ, ZΔ y ZE son iguales entre sí. 

Como conclusión, el círculo con el centro Z pasará por los puntos ABΓΔE que es el pentágono dado. 

Proposición 15:

Inscribir un hexágono equilátero y equiángulo en un círculo dado

Tengamos el círculo dado ABΓΔEZ donde hay que inscribir un hexágono equilátero y equiángulo. También construyamos un círculo que sea ΘΓH

El triángulo EHΔ es equilátero, así como también lo son sus tres ángulos EHΔ, HΔE y ΔEH que además son iguales entre sí, porque los ángulos de un triángulo equilátero son iguales entre sí. 

Teniendo entendido que los tres ángulos de un triángulo son iguales a dos rectos, el ángulo EHΔ es la tercera parte de dos rectos. 

Lo mismo ocurre con el ángulo ΔHΓ que sería la tercera parte de dos rectos. 

Por otro lado, como los ángulos EHΓ y ΓHB son iguales a dos rectos, la parte ΓHB es la tercera parte de dos rectos; por tanto, los ángulos EHΔ, ΔHΓ y ΓHB son iguales entre sí. De esto también se concluye que BHA, AHZ y ZHE que corresponden a sus vértices son también iguales. Así, los seis ángulos mencionados anteriormente son iguales entre sí, lo que también quiere decir que sus circunferencias AB, BΓ, ΓΔ, ΔE, EZ y ZA sean iguales entre sí. 

Finalmente, tenemos que el hexágono que está en el círculo es equilátero. 

Euclides dice que también es equiángulo

Como la circunferencia ZA es igual a la circunferencia EΔ añádase a ambos la circunferencia ABΓΔ.

Así, la circunferencia ZABΓΔ es igual a la circunferencia entera EΔΓBA, y el ángulo ZEΔ está sobre la circunferencia ZABΓΔ, y el ángulo AZE sobre la circunferencia EΔΓBA, por lo tanto, el ángulo AZE es igual al ángulo ΔEZ.

Los ángulos restantes de la circunferencia ABΓΔEZ son cada uno igual a los ángulos ΔZE y ZEΔ, lo que hace que el hexágono también sea equiángulo. 

Porisma

Como Porisma, Euclides dice que si se trazan tangentes a través de los puntos del círculo, se podrá de igual manera circunscribir un hexágono equilátero y equiángulo.


Proposición 16:

Inscribir un pentadecágono equilátero y equiángulo en un círculo dado

Tengamos ABΓΔ como un círculo dado. 

En este círculo hay 15 segmentos iguales, así como también hay 5 en el círculo ABΓ que es la tercera parte del círculo, y habrá 3 en la parte de la circunferencia AB que es la quinta parte del círculo; por tanto, en la circunferencia restante BΓ habrá dos.

Divídase en dos partes iguales BΓ por el punto E, entonces cada una de las circunferencias BE y EΓ es la quinceava parte del círculo ABΓΔ.

Por consiguiente, si se traza BE y EΓ, adaptamos al círculo ABΓΔ sucesivamente rectas iguales se habrá inscrito en él un pentadecágono equilátero y equiángulo.

En el mismo caso del pentágono, si trazamos tangentes al círculo por los puntos de división del círculo, se circunscribía en torno al círculo un pentadecágono equilátero y equiángulo. 

Conclusion

Hemos terminado con satisfacción los cuatro primeros libros de Euclides que tratan sobre la geometría plana. Desde aquí la vista euclidiana comienza a cambiar de perspectiva tratando de formar figuras con razones y proporciones, y si vamos aún más lejos de la obra euclidiana, podremos ver la complejidad de los poliedros que Euclides desarrolla ya en sus últimos libros de geometría. Estemos satisfechos por ahora con lo dicho y visto hasta ahora sobre la geometría plana de Euclides. 

Este apunte ha sido logrado gracias a Leila Reyes, quien corrigió y sugirió las modificaciones necesarias en este apunte. 

Economía del Imperio Romano.

Esta puede ser una de las cosas más fascinantes de investigar del Imperio Romano, pues la economía es un concepto vital para cada nación al ser la que sustenta la vida de los ciudadanos de un país. Analizaremos la economía del Imperio Romano desde sus comienzos para tener una visión global de esta. ¿Podremos sacar lecciones de cómo se manejaba la economía en tiempos del Imperio Romano? ¿Podremos extraer algunas ideas? ¿O es que todo la economía del Imperio Romano es inaplicable? Todo esto se verá en los siguientes apuntes de filosofía e historia. 

Referencias:

(1) Conocida como la repartición ''romuliana''.
(2) Fueron un pueblo que ocupaban el sur de Lacio, donde se ubicaría actualmente Roma.
(3) Esta información proviene del libro Pro Roscio Comoedo.
(4) Los datos que daremos a continuación son del conocido libro de Catón el viejo llamado ''De la Agri Cultura''.
(5) Un dracma era la moneda de la antigua Grecia. El denario romano era la réplica exacta de ésta, aunque el dracma se seguía utilizando en el Imperio, específicamente en las partes de Grecia para facilitar el comercio. 
(6) Un óbolo valía 6 dracmas.
(7) Aunque en otra parte dice que indemniza a 120.000.

Definiciones:

(1) Modio: es la medida que se utilizaba para los granos. Corresponde a 8,75 litros. 
(2) Negotium: significa ''sin ocio'': neg = no, otium = ocio.  

ECONOMÍA DEL IMPERIO ROMANO

ANTIGUA ROMA

Etapa monárquica

Sabemos que una de las primeras partes de la historia de Roma es la monarquía que está dividida en la latina: Rómulo, Numa Pompilio, Tulio Hostilio y Anco Marcio. Luego tenemos la etrusca: Tarquinio Prisco, Servio Tulio y Tarquinio el soberbio. 

Muy poco se sabe sobre la economía de Roma en esos tiempos, sólo que el pastoreo y la ganadería eran las formas de producción principales. Podríamos decir que la relación con otras naciones era inexistente, aunque sí existía el trueque entre los ciudadanos. 

El ganado era realmente la forma más fundamental de economía en la Antigua Roma. De hecho, el tipo de moneda llamada ''pecunia'' (que se acuñó mucho más tarde) significa ganado. 

Animales

Lo que más se podría conocer como animales en es época eran los bovinos. Los cerdos tenían una alimentación muy buena, pues los bosques y los frutos que nacían en esas épocas los hacían más sabrosos e incluso saludables.

Las ovejas y las cabras también eran utilizadas en esta época, sobre todo las ovejas pues de ellas se extraía la lana y la carne que poseían. Esto daba lugar también a que la mujer también colaborara en el hogar para que diseñara los ropajes con dicha lana, además de colaborar en el pastoreo junto con el hombre. Sin embargo, la mujer fue desplazada del trabajo pastoral con la llegada del arado. 

Los caballos se utilizaban sólo para el ejercicio militar y bélico.

Propiedades

Se estima que en Roma pudieron existir al menos 7.500 km², que debieron alcanzar la cantidad máxima de 10.000. 

Las familias tenían lo que se conocía como ''yugada'' que corresponde a un terreno de tierra correspondiente a media hectárea. A cada familia con propiedad le correspondían dos yugadas (beni iugada(1)). 

Estas hectáreas no eran de carácter privado sino más bien común y pertenecían a las gens de Roma. Cada gens comprendía una variedad de familias y eran dirigidos por el pater familias. Por otro lado, también debemos decir que las gens eran familias nobles y patricias. 

Sin embargo, cada beni iugada dispondría aproximadamente de una cantidad de 460 gramos lo que era insuficiente para alimentar a los esclavos. 

Alimentación

Los romanos tenían el trigo, la cual tenía una producción de 8 a 10 veces por semillas y los viñedos. Los trigos se cultivaban en las yugadas en 4 o 5 modios(1) es decir, 40 litros por yugada. También estaban los farros que era una especie de cereal parecida al trigo, aunque su uso no fue tanto como el del trigo. 

Otros alimentos eran la cebada, el panizo, la haba, árboles frutales, la vid, el olivo y el vino.  

Metales

La roma en este período no era rica en metales, pero los que habían se utilizaban para el armamento. Lo que más predominaba en estos tiempos eran el bronce y el cobre (aunque también había hierro). 

El hierro era muy difícil de fundir, por lo que no era muy usado por las gens. Por lo tanto, este se usó mucho más para la implementación de instrumentos agrícolas. Pasado el tiempo, el hierro se utilizó para los vehículos como los carros. Dicen que esto comenzó a pasar desde la monarquía etrusca. 

Para el intercambio de cosas, luego de que el ganado haya sido el método por excelencia de economía, este se cambió por el método aes rude que en realidad eran un tipo de monedas que se pesaban en una balanza para el intercambio de objetos. 

REPÚBLICA ROMANA

Siglo V

La monarquía terminó en el siglo V para dar paso a la República romana. Ya habíamos visto anteriormente en nuestros apuntes del Imperio Romano que el nacimiento de la República Romana se debió a la lucha que emprendieron las gens contra la aristocracia y el señorío de los monarcas. 

El siglo V fue un siglo de luchas donde todos buscaban cambios económicos y constitucionales en relación a los territorios y propiedades existentes. En otras palabras, podríamos decir que durante esta crisis surgieron verdaderas luchas agrarias por la posesión de la tierra. 

En este tiempo surge una figura importante llamada Espurio Casio, quien fue un militar y político romano que llevó adelante una reforma agraria, la cual estaba diseñada para ayudar a los plebeyos. A muchos de los plebeyos se les habían arrebatado muchos territorios por parte de los hérnicos(2) y los patricios; sin embargo, la reforma de Casio fue rechazada y fue condenado por los cuestores de la época.

No obstante todo esto, en realidad eran los plebeyos los que disponían de tierras abundantes, en contraste a sus contrarios que eran los patricios. Por eso es que los plebeyos trataban de asegurarse con los recursos necesarios, porque eran ellos los que sufrían cuando no los había. De aquí que en este período se propugnaran verdaderas luchas de clases, que, por supuesto, se debió a la caída de la monarquía etrusca. 

Monedas

La moneda de la época cambia pasando de la aes rude a la aes signatum que fue desarrollada en el centro de Italia específicamente. Las monedas variaban de los 600 a los 2500 gramos, eran hechas de bronce y servían para mensurar el valor de las propiedades en dicho siglo.

Las clases sociales de Roma

Principalmente en Roma existían dos clases sociales: los patricios y los plebeyos. Los patricios pertenecían a los hijos de los senadores de Rómulo, mientras que los plebeyos eran el resto. 

La gens pertenecía a un tipo de organización social y política, pues podía ejercer poderes soberanos. Todos eran libres e iguales, aunque estaban dominados por el poder del pater gentis quien era el jefe de las gens. Además de lo anteriormente dicho, las gens también tenían costumbres y divinidades protectoras teniendo sepultura común entre muchas otras cosas en común como la economía. 

Las familias gens eran variadas

• Fabia
• Iulia (donde provenía Julio César)
• Claudia (donde provenía el emperador Tiberio)
• Pompeyo (donde provenía Pompeyo el Grande)

De la gens surgían los clientes cuya naturaleza era inferior a las de la gens, aunque también estaban subordinadas a un pater familias. También gozaban de los mismos privilegios de las gens como los sepulcros y la economía. 

Entre ellos había un concepto de fidelidad llamado fideis que le debían al pater familias. Su relación era de orden religioso ya que se consideraba una mos maiorum (costumbre ancestral). También recibían el apellido de su patrono como muestra de lealtad hacia el pater. 

Las obligaciones de los clientes eran las siguientes:

1. Salutatio matutina: donde el cliente debía madrugar para ir a la casa de su patrón y recibir comida y dinero. 
2. Sportula: el cliente debía ir a la casa de su patrón para recibir un presente o regalo (si no se saludaba correctamente, el cliente podía ser despedido sin derecho a Sportula).
3. No iniurias: no podían acusarse jurídicamente el uno al otro (cliente y patrón). 
4. Debía acompañar al patrón a la guerra.
5. Colaborar en las tareas de la agricultura.

Los datos sobre cuántos cliente existieron en la época romana podrían ser muy variados. Unos dicen que podría ser de hasta 4.000 o 5.000 como la gens Fabia que luchó en la batalla del río Cremera (aunque estos datos pudieran ser falsos, ya que considerando que Roma tenía un espacio de 150 km2, los clientes debieron llegar con mucho esfuerzo a 1.000 de ellos). 

Siglo IV

En el siglo IV avanzó el aspecto económico y social de manera prudente y eficaz. Las reformas de este período permitieron acumular las riquezas de Roma.

No obstante, Roma no se vio exenta de enemigos que pudieran arrebatarle sus tierras. Derrotando a los invasores, Roma hacía de estas tierras una propiedad llamada ager publicus que significa básicamente ''tierra pública''. Los dominios conquistados pasaban a formar parte del Estado, y luego se repartían a las comunidades de las cuales en su mayoría las adquirían los patricios.

Otros métodos de asignación de tierras eran llamados de la siguiente forma:

1. Adsignatio: asignamiento de tierras para los ciudadanos del pueblo romano
2. Scripturarius: parte del ager publicus cedido a los particulares para el pastoreo con la obligación del pago de una tasa mensual.
3. Viritanus: terrenos concedidos a ciudadanos determinados.

En este siglo, Roma destruyó la ciudad de Veyes y sus tierras fueron repartidas mayoritariamente entre la plebe. La plebe alcanzó por lo menos unas 5.000 tierras que darían un resultado total de 35.000 yugadas. Esto le dio a los plebeyos un estatus mucho mejor del que tenían, pero no por esto las desigualdades terminaron ahí. 

De hecho, los plebeyos tuvieron que enfrentar las deudas de las mismas tierras, con lo que las clases más altas aprovecharon para injuriarlos. La ley de las Doce Tablas condenaba duramente a quienes eran deudores, haciéndolos arrastrar a la casa del acreedor y atarlos con cadenas de un peso de 15 libras; esto duraba aproximadamente 60 días, y el acreedor debía alimentarlo con una ración mínima. El deudor quedaría libre apenas pagara su deuda con trabajo equivalente a la deuda.

Siglo III

En el siglo III se iniciaron otras reformas y transformaciones a la economía, ya que en este período empezaron las guerras púnicas. Es por este tiempo de guerras que se introduce la esclavitud como un método a considerar dentro de la economía. 

Monedas

Se pasaba de la moneda aes signatum a la acuñación aes grave cuyo material era de bronce pesado. Luego, ya en el año 269 a. C., se acuña la moneda de plata llamada Denario. Este pesaba 4,5 gr. y tenía como monedas que la dividían el quinario (1/2) y el sestercio (1/4). 

Sin embargo, con el tiempo las divisorias del denario desaparecieron teniendo muy corta vida, sobre todo el sestercio. El denario se ocupó hasta el Imperio de Nerón. 

Las guerras púnicas

La agricultura había quedado devastada en Roma tras las guerras púnicas, sobre todo en la parte sur de la República. Solo durante la segunda guerra púnica Roma pudo afirmarse para reparar sus desastres, mientras Aníbal se había retirado a su fortaleza. Sin embargo, la recuperación del desastre fue muy lenta, pues todo el ganado había sido saqueado, las tierras quemadas junto con las casas y otras construcciones militares. 

En el año 218 fueron fundadas las colonias de Cremona y Piacenza con 6.000 colonos. En el año 189 se fundaron Bolonia, y en el año 183 Módena y Parma con 2.000 colonos quienes recibieron 8 yugadas por cabeza. También fue fundada Luna en el año 177 con 2.000 colonos los que recibieron 51 yugadas y medias.

Muchas otras ciudades fueron fundadas luego de la guerra púnica, por lo cual se tienen estimaciones de 1.000.000 de yugadas distribuidas en toda Roma (aunque muchos expertos consideran estos datos exagerados). Lamentablemente, si bien fue buena la colonización de tierras, la verdad es que como los campesinos abandonaron sus tierras luego de la invasión, los ricos aprovecharon ese descuido para apoderarse de aquellas.  

Las conquistas de nuevos territorios trajeron también la nueva mano de obra que serían los esclavos, aunque ya se tenían esclavos mucho antes de las guerras púnicas, luego de estas guerras aparecieron muchos más pues a una gran cantidad de invasores se les tomó como prisioneros. La explotación de las nuevas provincias trajó muchas riquezas a Roma. 

Siglo II y I

Nexum 

El nexum era conocido como una especie de servidumbre por deudas. Pero para entender el nexum primero debemos entender lo que era un mancipatio. Este era un contrato verbal con el cual se transmitía las cosas que se obtienen por vía legal o actos formales; por ejemplo, una propiedad, un esclavo, un animal,etc. 

Nexum es un tipo de mancipatio donde un hombre libre se convertía en un esclavo hasta que pudiera pagar toda su deuda con el acreedor que la contrajo. No se sabe si los hombres que entraban al nexum ya tenían deudas con el acreedor, o si entraban voluntariamente a este tipo de mancipatio. 

Los altos intereses que imponían las clases altas en las deudas eran la principal causa de que existieran esclavos, y de que éstos finalmente se convirtieran en una buena inversión en la economía. 


Esclavitud

El mayor signo del imperialismo romano fue la esclavitud que sirvió de base económica en aquellos años. Los esclavos eran fundamentales en los latifundios, y por lo tanto, su trabajo de mano de obra barata era lo mejor para solventar los gastos. 

Los prisioneros de estos años no sólo eran extranjeros sino que también se consideraban esclavos aquellos ciudadanos que no pagaban sus deudas. El número total de esclavos ya a comienzos del Imperio Romano era de 40.000, y cada uno tenía un precio distinto según el acreedor de dicho esclavo; estos esclavos en realidad se sacaban por el rescate de prisioneros. La cantidad señalada son denarios (500, 300, 200 y 100). 

Eques romano (jinete): 500

Soldado romano: 300

Aliado: 200

Esclavo:100

Los esclavos eran realmente eficientes en el trabajo de la tierra pensando en que siempre tenían la presión constante de fuertes castigos si no cumplían lo que se decía, además de la recompensa que se les vendría si hacían un buen trabajo. 

El pago de los esclavos nos es desconocido, aunque Marco Tulio Cicerón nos decía que un esclavo necesitaba de 3 sestercios para alimentarse(3). 

Agricultura

Lógicamente, como la explotación del esclavo era ejercida en la agricultura, naturalmente que la agricultura tendría algunas mejoras con respecto a cómo manipular y distribuir la tierra(4). 

En una finca de 100 yugadas existía una jerarquía de cultivos donde el primer puesto correspondía a los viñedos, el segundo al huerto de regadío, el tercero al saucedal, el cuarto al olivo, el quinto al prado, el sexto a los cereales y el séptimo al bosque. Los cultivos del trigo y otros cereales eran exclusivamente para la familia y en algunas ocasiones para el comercio. De aquí, el agricultor de la yugada ya no es específicamente un hombre que cuida sus siembras, sino que un hombre que sostiene el hogar a través del negocio, en otras palabras, capitaliza la tierra. 

Los esclavos, como dijimos anteriormente, eran una pieza clave en la agricultura y se decía que para que una familia de esclavos trabajara en una yugada, se era capaz de pagar 1.500 denarios. Otros datos dicen que los esclavos valían mucho menos poniendo el costo en 500. 

Para un olivar de 240 yugadas (60 hectáreas) se necesitaba lo siguiente:

• 13 esclavos
• 5 braceros
• 3 boyeros 
• 1 conducor de asnos
• 1 porquero
• 1 pastor de ovejas

Para estos se necesitaban algunos otros animales:

• 3 pares de bueyes
• 4 asnos
• 100 ovejas

Luego tenemos la viña de 100 yugadas (25 hectáreas) para las que se necesitaban:

• 16 hombres
• 10 braceros
• 1 boyero
• 1 conductor de asnos
• 1 porquero

Los animales eran los siguientes:

• 2 bueyes
• 2 asnos de carro

En fin, por supuesto que los esclavos no estaban ahí por razones humanitarias, sino más bien económicas. Ya el mismo Varrón llama a los esclavos instrumentum vocale, es decir, utensilios o instrumentos de trabajo (los animales también estaban considerados dentro de la misma categoría). 

La idea era mantenerlo con vida y al mismo tiempo ejercer una disciplina estricta en él para obtener el mayor rendimiento posible. 

La reforma de Tiberio Sempronio Graco

Una de las medidas de su reforma agraria es que no se podían tener más de 500 yugadas, para que así hubieran 250 entre cada hijo dentro de un límite máximo de 1.000 yugadas. Los gracos tenían una lucha contra los latifundistas, lo que quería decir que querían sacar a los expertos del ager publicus y tener a gente inexperta (ciudadanos pobres)tomando control de ellas. 

Sus leyes de distribución de tierras no fueron muy bien recibidas por el Senado de la época. De hecho, los gobernantes de clases más altas hicieron todo lo posible para que sus leyes no fueran promulgadas y así fue; en todo caso, la reforma se hizo aunque duró muy poco debido a la presión del Senado. Cuando Tiberio murió, se recuperó el viejo sistema. 

Las reformas de Sila

El dictador Sila fue mucho más allá que los Gracos y distribuyó las tierras a los veteranos en compensación a los servicios de la guerra. Se entregó tierras aproximadamente a 120.000 personas. 

Por supuesto, esto no era una medida de bondad hacia las personas, sino que todo lo contrario. Sila quería ganarse y mantener el aprecio del ejército por largo tiempo para seguir expandiendo el territorio. Esta práctica ya la utilizaría Pompeyo, Julio César y Octavio. 

Comercio

Alimentos:

Roma era el centro del comercio para muchas provincias y ciudades de las cuales necesitaban recursos, y Roma también se servía de algunas provincias para proveerse. Estas son las provincias de las que Roma se servía

• Valle del Po: cerdo
• Liguria: lana
• Etruria, Sabina y Campania: vino y aceite

Estos últimos fueron apareciendo aproximadamente en el año 170 a. C.

Con respecto al vino, este era griego y procedía de las regiones de Cos y Rodas para todas las provincias al norte de Italia. Junto con el vino, el aceite era otra exportación que se hacía remarcar en la República Romana donde en Pompeya y Stabia se encontraban vasijas de aceite procedentes de Hispania.   

Metales:

El hierro recobró importancia en la República Romana, sobre todo en las regiones de Pozzuoli, donde era transportado, y en la isla de Elba, donde era producido. Con el hierro formaban numerosos utensilios, así como también instrumentos para la agricultura. 

El transporte era algo crucial en el intercambio de estos productos, por lo que había que pagar un precio adicional a lo que se requería. Por ejemplo, en Grecia el transporte podía subir de 1 dracma(5) a 4 dracmas según el transporte que se llevaba. Por otro lado, también hay que tener en consideración lo que había que pagar al transportista que cobraba un óbolo(6) por cada 5 piezas. 


Marítimo:

En el aspecto marítimo tenemos lo que actualmente podríamos llamar como ''fenus nauticum'' más conocido como ''Préstamo a la gruesa ventura''. Este consistía en que un prestamista le paga con dinero o bienes a un naviero para llevar transporte. Sin embargo, el naviero obliga al prestamista a que le pague ''el precio del riesgo'' es decir, por si el naviero sufre alguna desventura aunque llegue sin problemas al puerto. Por otro lado, si el naviero tiene problemas; el barco naufraga, o no llega a puerto, entonces el naviero no debe nada al prestamista. 

Los buques de Roma no mostraban verdaderas mejoras ante las imponentes embarcaciones griegas, aunque estas se defendían muy bien de los invasores y/o posibles enemigos de la República Romana. 

Básicamente, lo que se transportaban en los barcos eran materias primas y materiales de construcción, y estos eran materiales que sólo podían transportarse por vía marítima. 

Comerciantes:

La relación entre comerciantes era un más simple que como la entendemos hoy. Principalmente habían dos entes: mercatores y negotiatores. Entre estos dos no había un intermediario que se pusiera de acuerdo con ellos. 

Los mercatores eran meros comerciantes que se dedicaban a la compra y venta de mercancías. 

Los negotiatores eran más que simples comerciantes pues estos se dedicaban estrcitamente a negociar(2) en la compra y venta de mercancías.

Más allá de estos dos tipos de entes existía el equites quien era el que se dedicaba a las grandes finanzas públicas. 

También podemos nombrar a los argentarios (argenti) quienes eran prestamistas modestos que aparecieron luego de que el nexum fuera abolido por la ley Poetelia Papiria en el año 326 a. C. Se dice que fueron los primeros banqueros de Roma, aunque esto se tiene en discusión. 

Industria:

La República Romana seguía dependiendo enteramente de la fuerza del hombre y de los animales como fuerza de trabajo. Por otro lado, los hombres necesitaban de máquinas para la guerra, así como también máquinas para trabajar la tierra. 

En todo caso, quizás la palabra ''industria'' pueda parecer algo grande para lo que se hacía en esos tiempos. Más bien podríamos hablar de manufacturación en vez de industria, ya que todas las máquinas eran creadas por ''artesanos''. 

No debemos olvidar la producción de cerámicas que se dieron en la República Romana. Las vasijas, cacerolas, utensilios y accesorios de la época son una de las cosas más representativas de la Antigua Roma, que incluso muchas de ellas permanecen en nuestros días.

También son importantes las cañerías de plomo que se hicieron en los acueductos romanos. Sin embargo, la producción de estas cañerías no provenía de grandes casas, sino que provenían de particulares con pequeños talleres y con los medios justos y necesarios para hacerlos. 

La fabricación de vidrio también era una de las más importantes, sobre todo en su arte pues para este se empleaba una especie de caña que le daba forma. Este era utilizado principalmente para crear recipientes los cuales costaban muchísimo. 

En la ''industria'' de la minería los romanos no se diferenciaron mucho de los griegos, salvo en la gran construcción de los acueductos pues estos podían sacar los minerales de las rocas, un proceso que hoy podríamos llamar minería hidráulica. El método para hacerlo era que reunían una gran cantidad de agua en los acueductos para luego descargarla en las rocas donde se encontraba el mineral. Este método se le llamó hushing del cual ya no se emplea para la minería actual. El número de trabajadores en las minas de plata podía ser de hasta 40.000 con un producto de 25.000 dracmas diarias.  

IMPERIO ROMANO

Emperadores

Una vez que se terminaron las guerras civiles de los días finales de la República Romana, hubo un tiempo de paz que comenzó con el imperio del primer emperador romano que era César Augusto. 

Surgió la agricultura como medio económico de estabilización luego de tantos problemas sociales. El emperador entregó tierras de 8 a 9 yugadas a 200.000 veteranos, una medida que como vimos, era muy parecida a la de Sila en el siglo II. Como si esto fuera poco, Augusto también indemnizó a 300.000 veteranos luego de los desastres de las guerras civiles(7).

Sin embargo, muchas de las cosas de la República Romana se mantuvieron o mejoraron durante el Imperio Romano. De hecho. en cuando impuestos, las reformas de Julio César junto con las de Augusto formaron la base tributaria que tendría el Imperio desde su primer gobernante hasta el último. Ya en ese tiempo, Roma tenía un 25% de la riqueza mundial. 

Agricultura

Si bien la agricultura estuvo mejor que en otros tiempos, esto no quiere decir que fue difícil revitalizarla. El suelo había quedado casi estéril por las pérdidas en las guerras, los romanos tuvieron que poner mucho esfuerzo para volver a revitalizar la agricultura en el imperio. 

Lo que sí estaba en alza era el vino, que en comparación con los cereales estaba mucho mejor, a pesar del alto costo que significaba tener un viñedo en tiempos de Augusto. Lamentablemente, el aceite que era un recurso vital era insuficiente en tiempos del emperador. 

El ganado y el pastoreo volvía a tener suma importancia en el imperio. De hecho, la llanura del Po era perfecta para la ganadería porque era rica en agua y en árboles. También los bovinos y equinos proporcionaban una cuota importante de abastecimiento a los ciudadanos. La producción de lana siguió siendo tan importante como en la época de la República Romana. El precio de esta era de 100 sestercios por libra. 

Industria

En el tema de la industria, el Imperio Romano no se diferenció mucho de su época pasada. Seguía el producto manufacturado con el desarrollo de las mismas materias.

Eso sí, las materias que se producían tenían muchas mejores con respecto al período anterior. Ya pudieron hacerse más variados precios dentro del mercado (de la cerámica por ejemplo). Además, la industria se vio incrementada por la demanda de más vehículos de guerra para combatir a los invasores

Crisis del imperio

Durante el imperio de Calígula hubo una fuerte crisis probablemente a la despreocupación total del emperador con el aspecto económico.  

El emperador Claudio fue mucho mejor que Calígula en sus reformas, pues pudo introducir nuevos acueductos llamados Aqua Claudia y Anio Novus. El emperador se centró en la construcción de muelles y otros barcos que agilizaran las exportaciones y otros aspectos económicos. Quiso incrementar las tierras para que hubieran más cultivos, pero muchas de estas reformas no se llevaron a cabo.

Nerón también pasó por varias vicisitudes económicas que lo obligaron a tener que sacar de su bolsillo para sustentar al propio pueblo romano. Por otro lado, el emperador Nerón redujo los impuestos para que los pobres pudieran pagar sus deudas.

Domiciano era un emperador que tuvo algunas dificultades económicas en el imperio. Trató de rebajar la producción del vino para dar mejoras al otro aspecto debilitado que era el cereal. Gastó más de 130.000.000 de sestercios en donativos para el pueblo romano. 

Uno de los emperadores más derrochadores podríamos decir que fue Cómodo, quien no escatimaba en gastos para sus propios caprichos lo que hacía enfurecer a las más altas cúpulas del Imperio. 

Impuestos

Los impuestos en Roma no iban para los gastos sociales en total, al contrario,los impuestos iban dirigidos todos hacia las legiones de Roma, es decir, a mantener el poderío y la fuerza militar. 

Las riquezas del Estado siempre eran oscilantes sin importar la época, pues ya sea en la República Romana o en el Imperio Romano, todo dependía de la administración del Senado (del cual no siempre el gobernante o emperador tenía control). 

En los tiempos de la República, la recaudación de impuestos las hacía un publicano (quien tenía jurisdicción) quien procedía con todo esto dentro de un carácter privado. Sin embargo, desde la época de Augusto cambió, pues la recaudación la realizarían magistrados y personas del Senado. 

En tiempos de Diocleciano se introdujo un impuesto llamado impuesto de capitación. Este consistía en que cada persona sin importar su renta oposición en la sociedad, tenía que pagar una cierta cantidad de dinero, o también en especies. 

Crisis y declive del Imperio Romano

Cuando las riquezas del Imperio estaban a la baja, a Roma no le quedaba otra opción que generar guerras para seguir adquiriendo riquezas de otros pueblos. Bastó que se pusiera a la defensiva para decaer lentamente hasta que se derrumbó en el siglo V. 

También existen teorías que dicen que la economía Romana se desplomó debido a una fuerte nacionalización de los productos, la creación de nuevos impuestos y finalmente, la devaluación de la moneda.

Otra teoría sería la acumulación de riquezas por ciertos sectores aristocráticos que se trataban de autoproclamar nuevos emperadores. La acaparación de estas riquezas debilitaría enormemente el poder de Roma hasta hacerla presa de las invasiones externas.  

RESUMEN

Dejamos un pequeño resumen de lo hablado

Agricultura: cereales, vid, vino, aceite y olivo. 

Ganadería: bovinos, cerdos y bueyes.

Industria: hierro, cobre, bronce, vidrios y lana.

Moneda: aes rude, aes signatum, aes grave y denario.

Impuestos: tributum soldi (República), tributum capiti (Augusto) y capitación (Diocleciano). 

Conclusión

Interesante ver cómo se va formando el imperio a través de sus aparentes pilares económicos erigidos desde un comienzo. Al leer la historia de la economía del Imperio, puedo dar cuenta de lo difícil y extremadamente duro que debió ser para los romanos, sobre todo en épocas de guerra y hambre. Podríamos contestar la pregunta de la introducción que muchas de las cosas que se aplicaban en el Imperio Romano son difíciles (por no decir imposibles) de instaurar ahora, además que las de ahora superan en creces las de aquellos tiempos. Lo que sí podemos extraer (que diría yo una lección) es el cuidado y el manejo de la economía para no arruinar el crecimiento de un país.

Hipócrates de Cos - Tratados ginecológicos.

Suena paradójico que un hombre hable sobre las cosas que le pasan a la mujer, pero si este hombre ha tornado su vida a la investigación del cuerpo humano y su funcionamiento, entonces quizás podamos dar una concesión. Como gran médico de la antigüedad, Hipócrates no puede ignorar las diferencias naturales y biológicas que tienen las mujeres comparadas con las de los hombres. Los siguientes tratados ginecológicos son un intento de descubrir las enfermedades y problemas que tenía la mujer en relación con su cuerpo. 

Obras de Hipócrates:

1. Juramento y ciencia médica
2. Tratado sobre las enfermedades
3. Tratado sobre las afecciones
4. Tratado sobre la alimentación

Referencias:

(1) Probablemente, las primeras investigaciones sobre el embarazo. 
(2) Este tipo de sofoco es llamado en inglés ''Hot Flash'' y se presenta en las mujeres que tienen menopausia. Es muy probable que Hipócrates se refiera a la menopausia. 
(3) Los griegos creían que los olores podrían afectar los órganos.
(4) El armuelle es una planta de Asia occidental que además tiene uso culinario. 
(5) Aquí se ve el desconocimiento (por razones obvias) del cerebro o el sistema nervioso.
(6) Nótese cómo Hipócrates relaciona los delirios y la demencia con el corazón. 


Definiciones:

(1) Loquios: secreción vaginal que queda después del parto que contiene sangre, moco y tejido placentario. 
(2) Pituita: humor viscoso y acuoso que segregan ciertos órganos (membranas de la nariz o bronquios).
(3) Lipotimia: sensación de desmayo o desvanecimiento (vértigo, palidez, cansancio, etc.)
(4) Hipocondrio: región abdominal que se ubica abajo del cartílago (''hipo'' significa debajo y ''condrio'' significa cartílago).
(5) Pesario: supositorio vaginal.
(6) Erisipela: enfermedad infecciosa producida por estreptococos. Aparece normalmente en la piel, pero lo que dice aquí Hipócrates es en el caso de que aparezca en el útero.


ADVERTENCIA: Léase todo este tratado pensando en los tiempos de Hipócrates (400 a. C.), lo cual llama a NO tomar ninguna recomendación o propuesta como si fuera una prescripción. 


Véase este tratado como algo anecdótico y filosófico donde se describe el paso del mito al logos (paso de la superstición divina a la razón humana). 

Hipócrates de Cos

TRATADOS GINECOLÓGICOS

SOBRE LAS ENFERMEDADES DE LAS MUJERES

Sexualidad y parto

Existen mujeres que luego de tener relaciones sexuales tienen hijos, y aquellas que por decisión (o por falta de oportunidad) no los tienen; estas últimas mujeres son llamadas ''nulíparas'', es decir, que no han tenido partos. 

En opinión de Hipócrates, las mujeres que no dan a luz padecen más trastornos menstruales (agudos) que aquellas que los han tenido. Esto se debe a que la mujer que da a luz tiene sus venas más adaptadas al flujo menstrual; esto se debe al flujo loquial(1) y desgarro del cuerpo. De esta forma, la mujer que conoce los loquios libera con menos esfuerzos su flujo menstrual. 

La dilatación del cuerpo hace que el flujo de sangre circula con menos dificultad, en comparación a alguien que no ha dado a luz.

Bajo este respecto, la mujer tiene las carnes más flojas y más blandas que las de los hombres, y por esto las mujeres pueden evacuar sus humores (flemas, sangre, bilis amarilla y bilis negra) de manera más fácil. 

La mujer que no ha dado a luz tiene su sangre y sus flujos dentro del cuerpo y al quedarse ahí obtendrá padecimientos, pues su sangre es más caliente que la del hombre lo que podría traer problemas. El hombre no tiene la sangre tan caliente como la mujer, por lo que no necesitará evacuar la sangre. 

Hipócrates quiere enfatizar de alguna manera que la maternidad sería el remedio de muchas dolencias de la mujer, de hecho, podríamos decir que la maternidad sería una prescripción. 

Problemas biológicos en las mujeres

Amenorrea (falta de menstruación)

Se padecen dolores cuando la menstruación no llega en un período de ciertos meses:

Tres meses: sofocos, fiebre y dolor lumbar.

Cuatro meses: se agregan todas las afecciones de los tres meses pero más agudizadas. Además, la mujer orinará espeso, tendrá vientre duro e hinchado, perderá el apetito y el sueño. 

Cinco meses: todas las afecciones anteriores aún más agudizadas. 

Seis meses: se llega al paroxismo llegando provocando que la mujer se altere, vomitara pituita(2), lipotimia(3), tendrá sed y sentirá dolor en el abdomen con tan sólo tocarlo. Se sentirá dolor en la espina dorsal y en toda la espalda. 

Menstruación

En la menstruación también pueden ocurrir problemas, pues existe la menstruación purulenta (pus). 

Síntomas: 

• Fuertes dolores en el vientre. 
• No soporta el tacto.
• Mal olor al menstruar.

Si la mujer presenta alguna vez esta enfermedad, entonces quedará estéril aún cuando haya sanado de la misma. 

Cuando la mujer menstrúa al tercer mes teniendo esta enfermedad, es posible que no salga purulencia de la mujer, pero peor aún, podrá aparecer un tumor acéfalo, grande y rojizo en la región de la ingle.

La regla 

Cantidad menor:

Cuando a una mujer le viene la regla en menor cantidad de lo normal, la causa de esto es que el útero está desviado de las partes genitales. Cuando el flujo de sangre llega a la matriz, al oprimir la sangre continuamente el orificio de aquella, avanza muy poco a poco. En estos días la mujer no podrá quedar embarazada(1).Tampoco será raro que en esos días la mujer presente escalofríos, fiebres, vómitos y opresiones en el estómago. 

Sin embargo, que la regla llegue en menor cantidad es un mal indicio, pues estos dolores no son lo normal. Normalmente esta enfermedad se da en las mujeres mayores y vírgenes. 

Cantidad en abundancia:

Si la regla baja con abundancia, su causa está en que el orificio del útero (matriz) se ha ensanchado. Esto se debe a que la mujer ha practicado el acto sexual, y después de cometerlo se pone a comer. 

Las consecuencias de esto es que la mujer puede presentar fiebre, inapetencia, intranquilidad, se pondrá delgada y débil. Correrá el peligro de quedarse estéril o morir. 

La matriz (el útero)

Las mujeres que presentan sofocos los tienen porque no han tenido relaciones sexuales. Esto pasa porque el útero está más suelto debido a que los vasos están vacíos y al estar vacíos el útero se topa con el hipocondrio(3). En esta zona el útero puede alcanzar el hígado y de ahí que se produzca el sofoco (2).

El cuerpo de la mujer 

Cuando el cuerpo de la mujer está en malas condiciones suele pasar que su regla sea biliosa. Al transcurrir los meses sin tratamiento, a la mujer le sobrevienen fiebres erráticas, escalofríos, inapetencia y opresión en la boca del estómago. Todo esto se acentúa cuando llega la fecha de la menstruación. 

De acuerdo con Hipócrates, la menstruación afectará a la mujer dependiendo también de su contextura física, es decir, si es gorda o flaca. Obviamente, Hipócrates ignoraba completamente la estructura del sistema hormonal, ya que en sus tiempos todavía no se desarrollaba tal tecnología para determinar tales cosas. 

Purga para las enfermedades de la regla

Cuando sea el momento de la regla se debe plegar un trapo de un palmo de longitud (una palma), extendida sobre una capa fina de ceniza. Una vez hechos deben usarse como tapones, uno para el día y otro para la noche. 

Luego se tiene que examinar el paño para ver qué es lo que contiene. El paño tendrá pituita si la regla ha sido detenida o está saliendo de manera lenta, mientras que en un caso peor el paño aparecerá rojo y amoratado. 

Quien padezca de problemas en la regla deberá servirse de baños de vapor, así como también servirse de vómitos en ayunas y después de haber comido.

El coito y el embarazo de la mujer

Embarazo

Si la mujer no queda embarazada es porque el semen del hombre que desaparece al segundo o tercer día a causa de la humedad de la matriz. Es decir, el semen desaparece por la excesiva humedad que tiene la mujer en el útero. 

Cuando la regla de la mujer siga un curso normal, tenga buen olor y la mujer esté excitada, entonces será propicio que se proceda al acto sexual. Si el semen es capaz de retenerse por 10 días en la matriz de la mujer, entonces se debe suspender el coito. 

Existe otro problema en relación a que la mujer no pueden quedar embarazada. Uno de ellos es la posición del cuello uterino, es decir, el utero debe estar en posición adecuada para que la mujer pueda quedar embarazada. 

Esta posición del útero se debe tomar en cuenta a partir de examinar si es que la mujer tiene su cuerpo con mucha humedad o está seca. Si la boca del útero está demasiado húmeda, no puede arrastrar hacia arriba el semen lo que se debe curar con emolientes, además de aplicar sustancias agrias para que el semen se quede.

En el caso de que se quiera hacer que una mujer conciba un hijo, se tiene que usar siete semillas de hiedra, o hacer que la mujer beba cada mes hojas de hiedra maceradas en vino añejo cuando cese la regla. 

Inaccesibilidad del semen

A algunas mujeres se les va el semen del hombre apenas conciben el acto sexual. Este es un problema que se ocasiona por la obstrucción del cuello del útero, o más bien por lo cerrado que está. El problema se arregla cuando se aplica algún instrumento (en la época de Hipócrates eran una especie de bastoncitos de madera o sondas de plomo) o con la mano para que el semen pueda entrar. 

Otras mujeres tienen el cuello del útero desviado que lamentablemente no deja que el semen pueda entrar. Para esto se deberá usar una fumigación aromática en el vientre(3). Luego debe procederse a usar bastoncillos o sondas de plomo para enderezar el cuello del útero. 

Cuando a las mujeres no se les baja el semen del hombre, éste se pudre y provoca mal olor. En ese caso, Hipócrates recomienda usar el armuelle(4) que tiene propiedades laxantes y diuréticas, además de aplicar aromatizantes para neutralizar el olor. 

Problemas de la mujer en el embarazo

Uno de los más grandes problemas es el aborto. Este se produce o por exceso de alimentación, exceso de sangre en el cuerpo y bebidas agrias o amargas cuando el feto todavía es muy pequeño. 

Cuando la mujer embarazada tiene malas condiciones de salud, es decir, se fatiga, tiene fiebre de vez en cuando, gusto amargo en la boca y orina agria, entonces la mujer tendrá sus loquios biliosos y la criatura nacerá débil. 

Cuando la mujer embarazada tiene sofocos, la causa de ello está en el cansancio y en el ayuno. La matriz se calienta por la fatiga y el aporte de líquido al feto es menor, lo que hace que el feto se acerque más al hígado y a los hipocondrios, ya que estos tienen más líquido. 

Recetas para dar a luz

Los alimentos que se les debe dar a las mujeres que quieran quedar embarazadas son los mismos que está consumiendo el marido. Debe exceptuar el ajo, la cebolla, puré de legumbres y otros alimentos flatulentos. 

La infusión de leche, resina y jugo de granada serán las bebidas perfectas para concebir. Otra bebida podría ser la simiente de espárragos con vino. 

Otra de las recetas sería tomar un gusano con cola y cortarlo en tres partes, agregar orégano fino, triturarlos en aceite de rosa y aplicar en la matriz. 

SOBRE LAS MUJERES ESTÉRILES

Ahora Hipócrates se propone hablar sobre aquellas mujeres que no pueden dar a luz. 

Causas

Aquí veremos algunas de las causas que Hipócrates menciona en cuanto a las mujeres estériles. 

1. Orificio de la matriz está desviado de los genitales, pues la mujer no retiene el semen.
2. Orificio de la matriz está más cerrado de lo normal. 
3. Si la matriz está más abierta de lo normal.
4. Cuando la matriz está lisa hace que el semen no quede retenido y salga.
5. Cuando en la matriz existe una úlcera, ya que enferma la matriz y su señal sería el mal olor desde la misma.
6. Cuando queda un resto de regla en la matriz. 
7. Cuando la regla no llega en forma normal.
8. La gordura de la mujer hace que la matriz se dañe.
9. Puede que haya crecido una membrana en el orificio de la matriz.

Si bien estas son las causas, también existen las curas para las mismas. 

1. Aplicar pesario(5) envolviendolo en un trozo de lana con un poco de aceite de almendras.
2. Aplicar pesario junto con una cabeza de ajo limpia.
3. Debe beber anís bien triturada en agua y que luego duerma
4. Abrir el orificio de la matriz y enderezarlo, para aquellas mujeres que tienen problemas con la posición de la matriz. 
5. La mejor estación para dar a luz es la primavera. 
6. El hombre no debe estar borracho, debe comer los alimentos más fuertes. 
7. El hombre no debe bañarse con agua caliente antes de tener relaciones. 
8. Fumigar la matriz por medio de una caña añadida con nitro, luego de tener relaciones sexuales.
9. Verter vino con miel en los genitales y fumigar con mirra. 
10. Si se ulcera la matriz se debe aplicar grasa de ganso en un trozo de lana y esparcir aceite de rosas y un poco de cera. 

Estas han sido algunas de las recomendaciones que se pueden hacer para que las mujeres puedan dar a luz. 

Señales de concepción de una mujer o un varón

Finalmente, Hipócrates dice que si la mujer embarazada tiene pecas en la cara, entonces dará a luz a una niña, y si no pierde el color de su piel dará a luz a un varón. 

SOBRE LAS ENFERMEDADES DE LAS VÍRGENES

Hipócrates parte diciendo que la naturaleza de la mujer es de poco ánimo y voluntad, y es por esto que ellas son más propensas al suicidio que los hombres que son todo lo contrario. 

Cuando las mujeres son vírgenes, la matriz se vuelve más tensa y cerrada lo que impide que la sangre afluya con mayor intensidad con dirección al corazón y al diafragma. Cuando esto sucede, las mujeres tiene desvaríos, pues esto se parece mucho a cuando una persona tiene un entumecimiento y los pies se vuelven incapaces de moverse, hasta que la sangre vuelva a su lugar. Una vez que la sangre vuelve el pie puede caminar rápidamente, pero no pasa lo mismo con el corazón y el diafragma, y estas son las partes responsables del delirio y la locura(5). 

La mujer se vuelve loca cuando la inflamación de la sangre es aguda(6). Las visiones que tiene la mujer son terribles, tanto así que le mandan a saltar,a arrojarse a un pozo o a estrangularse. 

Hipócrates aconseja a las mujeres vírgenes que se casen y tengan relaciones sexuales porque de otro modo no podrán curarse de dicha enfermedad. 

SOBRE LA SUPERFETACIÓN

Como una definició más actual, la superfetación es la fecundación de dos óvulos por dos espermatozoides lo que da origen a dos fetos con alguna semana de diferencia. 

A la mujer que al niño se le sale del corion dentro de la matriz tiene un parto difícil y peligroso, y a aquella que cuyo corion salé con el niño tiene un parto más fácil y mejor. 

Recomendaciones

Es posible que en la superfetación, lo primero que salga del útero sea un brazo. En ese caso se debe empujar este hacia dentro, al igual que cualquier extremidad que intente salir antes que la cabeza. 

Si sale la cabeza no habrá ningún problema de retirarlo, pero si hay problemas entonces se tendrá que aplicar fumigadores para que pueda salir. Si los genitales están secos en este proceso, se debe aplicar cerato. 

Cuando el feto esté muerto dentro de la matriz y no pueda salir de forma natural, bien sea espontáneamente o por medio de fármacos, untarse la mano con cerato lo más grasiento posible, introducirla en la matriz, separar los hombros del cuello apretando con el pulgar y cuando se haya realizado la amputación, sacar los brazos. Finalmente, introducir de nuevo la mano y desgarrar el vientre. 

Muchas de las recomendaciones que menciona aquí Hipócrates son similares a las que ya hemos dicho. Para la superfetación será fundamental que la mujer sea delgada y no gorda para no tener ninguna complicación al parir. 

SOBRE LA ESCISIÓN DEL FETO

La escisión del feto sólo se hace cuando el parto no es normal. Hipócrates hace algunas recomendaciones para esto. 

1. Echar encima una tela fina a la paciente para que no se asuste con lo que el médico va a hacer. 
2. Si del feto aparece el brazo por fuera de la matriz, hacer un corto alrededor del hombro para que luego pueda salir al cabeza. 
3. Luego de que el niño salga se debe mojar la zona con abundante agua caliente y aceite.
4. Prescribir a la enferma que duerma con las piernas cruzadas. 
5. Beber una mezcla de vino blanco. 
6. Cuando salga el loquio primero que todo desde la matriz, entonces el parto será seco y difícil de soportar.
7. Si la matriz sale hacia afuera, entonces se debe cortar la membrana del útero según su conformación, y en forma oblicua, frotarla con un trozo de tela para que haya inflamación, luego unta con grasa de foca o de pez. 

Estas son las recomendaciones para la escisión del feto.

SOBRE LA NATURALEZA DE LA MUJER

Hipócrates ya había dicho en otros tratados que el elemento clave de la mujer es el agua, por lo que éste pensaba que la mujer era mayoritariamente húmeda. Las jovencitas serían las más húmedas y con el crecimiento se comienzan a secar, es decir, cuando ya son adultas o ancianas ya no tienen tanta humedad. 

Una de las enfermedades a las que las mujeres son más propensas es la hidropesía. Esta viene sobre todo cuando las mujeres han tenido un aborto o algo similar. Otra de las enfermedades son la estranguria, que como ya sabemos se refiere a la dificultad al orinar.

La matriz de la mujer puede girar hacia varias partes del cuerpo (obviamente las que tenga más cerca) y será pericia del médico tratar de que esta se pueda enderezar. Ya habíamos dicho las recomendaciones para que el cuello del útero pueda estar enderezado. 

Otra de las enfermedades que puede tener la matriz es la erisipela(6), cuando esta ocurra, se deben aplicar paños fríos a la matriz y purgar el vientre. 

Conclusión

Interesantes los tratados ginecológicos de Hipócrates. Vemos aquí un enorme esfuerzo por explicar todas las enfermedades y fenómenos anómalos que ocurren en la mujer, ya sea cuando está normal o embarazada. Por supuesto, muchos de estos diagnósticos están desacertados y algunos son inaplicables a nuestros días. Sin embargo, esto ya sirvió de apoyo para los cientos de años que se vinieron, pues la medicina hipocrática fue considerada siglos después hasta el desarrollo formal de la medicina moderna.