No se sabe cuando exactamente se escribió, pero si se sabe la increíble contribución que hizo al campo de la astronomía. En cierta ocasión ya habíamos visto la relación entre astronomía y filosofía con Aristóteles, pero ahora veremos ciertas mejoras y precisiones con la ayuda de Claudio Ptolomeo. ¿Cómo pudieron los romanos determinar el movimiento de los planetas y de los astros, siendo que no tenían satélites ni mucho menos de la tecnología de punta que tenemos hoy? La verdad es que el mérito de ellos quedará para la posteridad porque determinar todas estas cosas ''al ojo'', es para recibir un premio.
Definiciones:
(1) Equidistante: A la misma distancia entre dos polos.
(2) Bisecar: en geometría, partir en dos.
Definiciones:
(1) Equidistante: A la misma distancia entre dos polos.
(2) Bisecar: en geometría, partir en dos.
Referencias:
(1) Sistema de posicionamiento numeral que tiene como base el número 60.
(2) Una de las imposibilidades de la época.
ALMAGESTO
LIBRO I: Especificaciones de la tierra
Prefacio
De acuerdo con Ptolomeo siempre ha existido una rivalidad entre quienes se preguntan ¿qué es más importante? ¿la teoría o la práctica? Cualquiera que sea más importante, Ptolomeo nos dice que lo primero que debemos entender es la teoría para luego enseñarla a los demás.
El mismo Aristóteles dividía la teoría filosófica en tres grandes materias:
Física
Matemática
Teología
Estas tres materias no pueden ser observadas por sí mismas, sino que necesitan de algo más para ser entendidas.
Relación de la astronomía con la filosofía
Veamos ahora cómo las materias de la filosofía se juntan con las astronómicas:
Física: si queremos saber qué textura o calidad tienen las cosas.
Matemática: si queremos saber el tamaño, la forma, lugar y tiempo.
Teología: si queremos especular o imaginar sobre lo que está más allá del cielo.
La Física y la teología serían ciencias especulativas, ya que en física siempre se utilizan objetos cambiantes y en teología sólo podemos especular. Para el conocimiento del rigor científico sólo podremos contar con la matemática.
Por supuesto que estas ciencias ayudarán al conocimiento de la astronomía, pues nada hay más importante que distinguir lo corruptible de los incorruptible.
Movimiento circular del cielo
Naturalmente, las primeras nociones de los antiguos era asegurar que el cielo tiene un movimiento circular; en efecto, el sol va de derecha a izquierda, desapareciendo en este último movimiento. Esto sucede en cualquier perspectiva y en cualquier punto que nos encontremos.
Lo mismo sucede con las estrellas, en cada noche están más a la izquierda a medida que pasan los días. Las estrellas que son más luminosas son las que están más cercas de la tierra, mientras que las menos visibles están lejos.
Existen otras estrellas que parecieran desaparecer y no volver, mientras otras están permanentemente en el cielo. En todo caso, todos estos astros incluyendo la tierra son esféricos y deben en parte su forma de acuerdo a la divinidad.
Lo mismo sucede con las estrellas, en cada noche están más a la izquierda a medida que pasan los días. Las estrellas que son más luminosas son las que están más cercas de la tierra, mientras que las menos visibles están lejos.
Existen otras estrellas que parecieran desaparecer y no volver, mientras otras están permanentemente en el cielo. En todo caso, todos estos astros incluyendo la tierra son esféricos y deben en parte su forma de acuerdo a la divinidad.
La tierra es esférica
Es fácil deducir que la tierra es redonda debido al movimiento de los astros. El sol siempre es el mismo sin importar la posición en la cual nos encontremos, siempre es el mismo para todos. Sin embargo, hay fenómenos que pueden engañarnos con su posición. El eclipse pasa siempre en el mismo lugar y posición (para todos los observadores), pero no ocurre a la misma hora.
Eclipses
Para los antiguos, los eclipses no ocurren a la misma hora en el este y el oeste. Los registros no los indican a la misma hora, por lo que es comprobable dicho fenómeno.
Vemos entonces que la distancia es proporcional a la hora entre los lugares de observación (sobre todo si es de este a oeste). Esto comprueba aún más que la tierra es esférica porque la observación de un astro se interrumpe por el tiempo. Eso sólo puede ocurrir si la tierra es esférica.
Forma de la tierra
Ptolomeo nos da un ejemplo de cómo se verían los astros si la tierra tuviera diferente forma:
Si la tierra fuera...
Cóncava: Sólo podríamos ver las estrellas en el este y el oeste. Sin embargo, desde cualquier parte podemos ver las estrellas.
Plana: Todos podríamos ver las estrellas a la misma distancia, lo cual no es posible porque unas están más lejos y otras más cerca.
Triangular o cuadrada: Similarmente a la plana, todas las estrellas podrían verse a la misma distancia.
Además, se puede deducir que la tierra es redonda, porque a medida que vamos caminando hacia el norte, las estrellas del sur comienzan a desaparecer y mientras nos movemos al norte, las del sur comienzan a aparecer nuevamente.
La tierra está en medio de los cielos
Tal como Aristóteles, Ptolomeo asegura que la tierra es el centro de los cielos, o, para entenderlo mejor y en otras palabras; es el centro del universo.
Si esto no fuera cierto, entonces tendríamos que pensar dos cosas:
- La tierra no está en el eje del universo, pero sería equidistante (1) a dos polos.
- La tierra está en el eje, pero sólo en uno de los polos.
- Ni en el eje ni en polos equidistantes,
Veamos primero en detalle cada una de estas consecuencias, a saber de si no existiera la tierra como el centro del universo.
- Si la tierra no fuera el eje, entonces el equinoccio no podría tomar lugar, lo cual es completamente fuera de lugar. Por lo demás, si estuviera una vez en un polo y luego en otro (este y oeste), entonces las estrellas cambiarían de posición constantemente.
- Si la tierra estuviera sólo en un polo, entonces tendríamos que bisecar(2) la tierra en dos teniendo dos partes de la tierra: una baja y otra alta. Esto significaría que las estrellas que se ven al sur serían invisibles para los del norte, y viceversa (lo cual es absurdo).
- La tercera consecuencia se rebate con las dos primeras mencionadas.
Inmovilidad de la tierra
Es clara la inmovilidad de la tierra por el hecho de que son los objetos de esta los que se mueven. Los objetos siempre van hacia abajo; es decir, hacia el centro de la tierra y de hecho, si no fuera por la superficie de esta, los objetos seguirían dirigiéndose hacia el centro.
Muchos pensadores antiguos decían que la tierra se movía, por cuanto esta era un objeto como cualquier otro. Sin embargo, si fuera así, entonces la tierra estaría cayendo infinitamente, dejando a todos los objetos pequeños en el aire.
Por otro lado, tenemos a Heráclides póntico quien fue el primer filósofo en establecer que la tierra se movía en su propio eje, pero que sin embargo, los cielos eran los que permanecían inmóviles. Pero ¿cómo es que las nubes se mueven hacia el este?
Dos movimientos del cielo
Primer movimiento: movimiento uniforme circular
Uniformemente, el cielo tiene un primer movimiento fundamental e ininterrumpido el cual es el que lleva los cielos de derecha a izquierda, de este a oeste.
Segundo movimiento: movimiento elíptico
El otro movimiento que existe es el de los planetas que es muy diferente al de los cielos. El sol y los demás planetas tienen un movimiento mucho más lentos que el de los cielos si se los observa detenidamente. Y, más que moverse de este a oeste, estos parecen también moverse hacia el norte y hacia el sur.
El movimiento que tienen estos planetas, sobre todo como se nota en el sol, se llama movimiento elíptico. En efecto, el equinoccio y el solsticio suceden gracias al movimiento elíptico del sol. Este movimiento se puede notar cuando vemos que el sol está ,más lejos de la tierra y otras veces está más cerca.
Conceptos individuales
Ptolomeo nos dice que todo esto ha sido sólo una mera introducción a la comprensión de la tierra y sus astros. Pasaremos ahora a investigar algunos conceptos claves para continuar, y uno de ellos es la tabla de cuerdas.
Trigonometría euclidiana
Antes de pasar a analizar en profundidad la tabla de cuerdas de Ptolomeo, necesitamos saber algunas cosas de trigonometría euclidiana.
Primero debemos tener una circunferencia
Luego debemos introducir una decágono regular (polígono de diez lados y diez aristas) dentro de la circunferencia.
Ahora, dentro de esta circunferencia también podemos crear un pentágono.
Trigonometría euclidiana
Antes de pasar a analizar en profundidad la tabla de cuerdas de Ptolomeo, necesitamos saber algunas cosas de trigonometría euclidiana.
Primero debemos tener una circunferencia
En lo sucesivo, imaginemos las circunferencias que dirá Ptolomeo de esta forma.
Tabla de las cuerdas: su tamaño
Tabla de las cuerdas: su tamaño
Para empezar a analizar este conceptos necesitamos usar un sistema sexagesimal(1).
Primero, hagamos un semicírculo que tenga una Tangente A, la opuesta una G y en la parte superior una B:
 |
| Figura 1 |
Ahora, situemos una línea que una D y B que estarán perpendicular a A y G.
 |
| Figura 2 |
Luego bisequemos una linea entre D y G que llamaremos E. Esta se unirá con B en medio de D y G. Después hacemos exactamente lo mismo con una letra Z.
 |
| Figura 3 |
Z y G harían el radio de D en el semicírculo que se muestra en la figura 3. Por otro lado, Z y B son iguales a D y B, y lo mismo ocurre con E y B (y E y D).
Como dijimos que trabajaríamos con un sistema sexagesimal, digamos que el diámetro del semicírculo es de 120º.
 |
| Figura 4 |
Por lo tanto:
AZ = 30º
ZD = 30º
DE = 30º
EG = 30º
AD = 60º
DG = 60º
AG =120º
Lo que nos lleva a comprobar lo siguiente:
DE = 30
DE² = 900
BD = 60 (un radio)
BD² = 3600
Ahora, como el radio del círculo BD es de 60 (r = BD = 60), mientras que el de DE es de 30 (r = DB =30), Ptolomeo eleva estos dos grados obteniendo lo siguiente:
DE² + BD² = EZ²
Que es lo mismo que:
30² + 60² = 4500
Luego de este resultado, Ptolomeo utiliza el teorema de Pitágoras por lo que se añadirá la raíz cuadrada al resultado:
EZ = 4500
√4500 = 67.082
En el sistema sexagesimal, el resultado debe expresarse de la siguiente forma: 67;4,55. ¿Por qué en el sistema sexagesimal? porque si utilizamos la raíz cuadrada obtendremos el siguiente resultado: 67,082039324993690892275210061938.
DE² + BD² = EZ²
Que es lo mismo que:
30² + 60² = 4500
Luego de este resultado, Ptolomeo utiliza el teorema de Pitágoras por lo que se añadirá la raíz cuadrada al resultado:
EZ = 4500
√4500 = 67.082
En el sistema sexagesimal, el resultado debe expresarse de la siguiente forma: 67;4,55. ¿Por qué en el sistema sexagesimal? porque si utilizamos la raíz cuadrada obtendremos el siguiente resultado: 67,082039324993690892275210061938.
Principalmente, el decágono tendrá 36º. Si nos concentramos en la circunferencia, tendremos específicamente 72º en el pentágono. Si tuviéramos un hexágono, entonces este tendría 60º, mientras que un cuadrado tendría 90 en la misma circunferencia. Por último tenemos los 120º que representaría un triángulo inscrito en la circunferencia.
¿Cómo se logran esas medidas? de la misma manera que se obtuvo el resultado de EZ; usando el teorema de Pitágoras.
¿Cómo se logran esas medidas? de la misma manera que se obtuvo el resultado de EZ; usando el teorema de Pitágoras.
Como el lado ZD del decágono es de 36º (específicamente), llevado al sistema sexagesimal tendríamos: 37;4,55.
Ahora necesitamos calcular el lado del pentágono que es de 72º. Así:
BD² + ZD² = BZ²
60² + 37;4,55² (ZD²) = 4975;4,15
Luego debemos aplicar el teorema de Pitágoras:
√4975;4,55 = 70;23,3
Con estos resultados tenemos dos cuerdas calculadas:
Crd 36º = 37;4,55 (decágono)
Crd 72º = 70;23,3 (pentágono)
El valor del hexágono en la circunferencia no será necesario sacarlo, en efecto, el mismo Ptolomeo lo da por hecho diciendo que el resultado de esta cuerda sería 60º.
Crd 60º = 60;0,00
Luego tendríamos la cuarta cuerda de Ptolomeo que se forma por medio de un cuadrado en la circunferencia, y su fórmula es la siguiente. Por lo tanto, para formar este cuadrado tenemos que ver el ángulo del cuadrado (que siempre es de 90º).
Así, tenemos que AD² + BD² = AB²
Que sería lo mismo que decir:
60² + 60² = 7200
Y usando el teorema de Pitágoras:
AB = √7200 = 84;51,10
Y así tenemos la cuarta cuerda:
Crd 90º = 84;51,10
Por otro lado, tenemos la medida de un triángulo inscrito en la circunferencia. Para esto, Ptolomeo obvia que la medida del radio del cuadrado aumentado tres veces daría 120º.
Por lo tanto:
AG² = 3r² (90)
AG² = 10800
Y utilizando el teorema de Pitágoras:
AG² = √10800 = 103;55,23
Y así tenemos la quinta cuerda:
Crd 120º = 103;55,23
Hasta ahora tenemos 4 cuerdas formadas por figuras geométricas dentro de una circunferencia.
Crd 36º = 37;4,55 (decágono)
Crd 72º = 70;23,3 (pentágono)
Crd 60º = 60;0,00 (cuadrado)
Crd 120º = 103;55,23 (triángulo)
Ptolomeo decide calcular los ángulos suplementarios del decágono y del pentágono. Recordemos que los ángulos suplementarios son aquellos que suman 180º.
Para esto, Ptolomeo nos dice que sólo debemos elevar al cuadrado el primero decágono (37;4,55²), que daría el resultado de 1375;4,15 y el cuadrado del diámetro sería de 14400. Por lo tanto, el resultado del arco suplementario será de 144º.
Así tenemos que el arco suplementario del decágono es el siguiente:
Crd 144º = 114;7,37
Para calcular los demás arcos suplementarios se debe hacer el mismo procedimiento; elevar el resultado de cada cuerda al cuadrado.
Cuerdas con ángulos de diferencia
Para ver estas cuerdas, Ptolomeo nos dice que se haga un círculo con un cuadrilátero arbitrario de ABCG.
Luego se deben unir A y G; B y D
Luego, entre A y G ponemos un punto E para que ABE tenga el mismo ángulo que DBG.
Ahora necesitamos calcular el lado del pentágono que es de 72º. Así:
BD² + ZD² = BZ²
60² + 37;4,55² (ZD²) = 4975;4,15
Luego debemos aplicar el teorema de Pitágoras:
√4975;4,55 = 70;23,3
Con estos resultados tenemos dos cuerdas calculadas:
Crd 36º = 37;4,55 (decágono)
Crd 72º = 70;23,3 (pentágono)
El valor del hexágono en la circunferencia no será necesario sacarlo, en efecto, el mismo Ptolomeo lo da por hecho diciendo que el resultado de esta cuerda sería 60º.
Crd 60º = 60;0,00
Luego tendríamos la cuarta cuerda de Ptolomeo que se forma por medio de un cuadrado en la circunferencia, y su fórmula es la siguiente. Por lo tanto, para formar este cuadrado tenemos que ver el ángulo del cuadrado (que siempre es de 90º).
Que sería lo mismo que decir:
60² + 60² = 7200
Y usando el teorema de Pitágoras:
AB = √7200 = 84;51,10
Y así tenemos la cuarta cuerda:
Crd 90º = 84;51,10
Por otro lado, tenemos la medida de un triángulo inscrito en la circunferencia. Para esto, Ptolomeo obvia que la medida del radio del cuadrado aumentado tres veces daría 120º.
Por lo tanto:
AG² = 3r² (90)
AG² = 10800
Y utilizando el teorema de Pitágoras:
AG² = √10800 = 103;55,23
Y así tenemos la quinta cuerda:
Crd 120º = 103;55,23
Hasta ahora tenemos 4 cuerdas formadas por figuras geométricas dentro de una circunferencia.
Cuerdas del arco suplementario: el teorema de Ptolomeo
El cálculo de las cuerdas desarrolladas quedaron establecidas de la siguiente manera:
Crd 72º = 70;23,3 (pentágono)
Crd 60º = 60;0,00 (cuadrado)
Crd 120º = 103;55,23 (triángulo)
Ptolomeo decide calcular los ángulos suplementarios del decágono y del pentágono. Recordemos que los ángulos suplementarios son aquellos que suman 180º.
Para esto, Ptolomeo nos dice que sólo debemos elevar al cuadrado el primero decágono (37;4,55²), que daría el resultado de 1375;4,15 y el cuadrado del diámetro sería de 14400. Por lo tanto, el resultado del arco suplementario será de 144º.
Así tenemos que el arco suplementario del decágono es el siguiente:
Crd 144º = 114;7,37
Para calcular los demás arcos suplementarios se debe hacer el mismo procedimiento; elevar el resultado de cada cuerda al cuadrado.
Cuerdas con ángulos de diferencia
Para ver estas cuerdas, Ptolomeo nos dice que se haga un círculo con un cuadrilátero arbitrario de ABCG.
De aquí se comprueba que ABE es igual al ángulo DBG. Así como pueden probarse muchas otras más combinaciones.
ABE = DBG
ABD = EBG
BDA = BDG
También pueden verse combinaciones más pequeñas:
BC/CE = BD/DA
BC/AD = BE/CE
Aquí queda probada la igualdad de ángulos de una figura dentro de una circunferencia.
Cuerdas con ángulo de mitad
Para esta teoría debemos crear un semicirculo con ABCD, siendo el diámetro de este AD.
Gracias a estas expresiones aplicando el teorema de Euclides y el de Pitágoras, Ptolomeo concluye el cálculo de otra cuerda que sera de 1º.
Crd 1º = 1;2,50
En efecto, como no se pudo calcular menos, Ptolomeo sacó la cuerda restante y asegura que así se podría hacer con las demás (sacando los múltiplos de ½ en ½).
ABE = DBG
ABD = EBG
BDA = BDG
También pueden verse combinaciones más pequeñas:
BC/CE = BD/DA
BC/AD = BE/CE
Aquí queda probada la igualdad de ángulos de una figura dentro de una circunferencia.
Cuerdas con ángulo de mitad
Para esta teoría debemos crear un semicirculo con ABCD, siendo el diámetro de este AD.
Unamos D con C y B, para luego unir C con B; B con A y C con A.
Establezcamos que el diámetro de AD es de 120º guiándonos por el sistema sexagesimal. BD y BD son ángulos complementarios porque desde D hacen 180º. A este tipo de cuadrado dentro del semicírculo lo llamaremos cuadrilátero cíclico.
Este teorema da finalmente las expresiones más bajas (entendidas en número), para las restantes cuerdas:
Crd 12º = 12;32,36
Crd 18º = 18;46,19
Crd 6º = 6;16,49
Hasta ahora hemos completado 8 cuerdas con sus respectivos cálculos.
Cuerdas con ángulo de mitad de arco y de suma
Para seguir con la teoría de las cuerdas necesitamos realizar la siguiente figura.
Esta vez construiremos otro semicírculo con las siguientes coordenadas:
Los triángulos ABC y ACE son iguales por tener en común la línea AC.
Por otro lado, AB y AE tienen al diámetro AD en común, así como AB, AC y AE AC son iguales.
Luego tenemos que BD es igual a DE, tanto como EF es igual a FD.
De estas expresiones vamos sacando medidas cada vez más pequeñas, debido a las múltiples divisiones que se han hecho a la circunferencia.
Ya tenemos la cuerda de 6º, ahora faltaría bajar a las cuerdas más pequeñas que se sacaron partiendo por la mitad como en la última circunferencia; por lo tanto, tenemos 3, luego la mitad de 3 (1;30) y la mitad de la mitad de 3 (0;45)
Crd 3º = 3;8,12
Crd 1;30º = 1;34,15
Crd 0;45º = 0;47,8
Estas son las cuerdas descritas hasta ahora,pero aún falta describir otra más.
Esta vez no construiremos un semicírculo, sino más bien un círculo con los puntos ABCDEF.
El centro de éste círulo es F, mientras que su diámetro será AD. Por lo tanto, el ángulo BE es igual que, así como AB es igual a ED. Además, tenemos que decir que el ángulo BD es un ángulo suplementario, al igual que CE.
Lemma para encontrar las cuerdas faltantes
Faltan aún las cuerdas que se tienen que dar por los múltiplos de 0;30; sin embargo, esto representaría un problema porque se tendría que bisecar un ángulo muy delgado, y esto no se puede hacer por medio de regla y compás(2).
Desde éste círculo tenemos las siguientes coordenadas:
DEH > DEG
DBA > DEF
Así como también:
DEG y DEA = DHE y DEF > DEG y DEA = DH/AE (estos últimos comparten el diámetro de DEG y DEA).
Por lo tanto:
DH/AE < DGE / DEA
Crd 1º = 1;2,50
En efecto, como no se pudo calcular menos, Ptolomeo sacó la cuerda restante y asegura que así se podría hacer con las demás (sacando los múltiplos de ½ en ½).
Tabla de las cuerdas
A continuación mostramos la totalidad de cuerdas que Ptolomeo pudo registrar en este tratado. El propósito principal fue encontrar al menos 360 cuerdas.
Hemos querido añadir una imagen sacada de la página Wikisource donde se encuentra el registro completo de las tablas:
Oblicuidad Eclíptica
Ahora, Ptolomeo comienza a explicar la oblicuidad eclíptica del solsticio, ayudado con el Ecuador que comprende la trayectoria de dos polos.
Construcción del anillo meridiano
Ptolomeo nos dice que la mejor manera para calcular la oblicuidad es a través de una esfera armilar. Veamos las instrucciones de dicho objeto:
Materiales:
- Dos anillos de bronce: uno pequeño y otro grande
- Dos planchuelas
- Dos punteros
- Pilar de bronce (o madera)
- Línea de plomo
Ahora vienen las instrucciones:
- Un anillo de bronce del tamaño adecuado situandolo como un círculomeridiano. Este anillo girará de izquierda a derecha.
- Necesitaremos otro anillo más pequeño para introducirlo dentro del más grande. Este anillo girará de arriba hacia abajo.
- Las dos planchuelas se deben introducir en el aro más pequeño, de modo que apunten al medio de los dos aros.
- Los punteros deben estar en la punta exterior de la planchuela (con relación al aro) para que puedan rozar el aro más grande.
- Todo esto debe ir apoyado de una base apropiada. Aquí debemos usar el pilar para sostener los aros.
- Luego debemos hacer una línea de plomo perpendicular para que representemos el cénit.
Otro modo de hacerlo es con una placa de madera u otro material resistente. Se ponen dos clavijas en el lado superior izquierdo y otra más pequeña en el lado inferior izquierdo.
En esta ilustración,las clavijas hacen la sombra con respecto al sol y así poder saber la posición del sol.
En los solsticios, el número del cénit es el mismo que se promedia con los meridianos ya sea verano o invierno. La medida del arco de los solsticios de Norte a Sur es siempre de 47 2/3º. Por otro lado, Ptolomeo acepta que entre los trópicos, la medida de distancia de ellos es de 11/83, descubrimiento que en realidad fue llevado por Eratóstenes. Esto quiere decir que las coordenadas del 11/83 serían 23 grados, 51 minutos y 19 segundos.
Longitudes del arco del Ecuador y la Eclíptica
Ahora pasaremos a medir los arcos del Ecuador y la oblicuidad eclíptica.
Para eso debemos tener en cuenta la siguiente figura:
Aquí se supone que:
GA : AE = (GD / DZ) x (ZB / BE)
Tenemos que tener en cuenta que GD y EH son paralelas. Por otro lado, GE/EA = GZ/DZ.
Veamos la figura que representaría el Ecuador y la oblicuidad de la eclíptica.
Pongamos ABGD como el círculo que rodea la tierra, mientras que para el Ecuador estará AEG y la Eclíptica BED. El punto E será la intersección del equinoccio de primavera, mientras que B será la intersección del solsticio de invierno y D en el del verano:
ABGD: Círculo de los polos
AEG: Ecuador
BED: Eclíptica
E: Equinoccio de primavera
B: Solsticio de invierno
D: Solsticio de verano
El problema de esto será determinar la letra Θ y la letra H. Según Ptolomeo, mediante algunos cálculos trigonométricos se puede decir que el arco ΘH es de 20;30,9º
Así, el primer signo de la eclíptica contado desde el equinoccio con el mismo signo que el Ecuador: 27;50º
Conclusión
Es un libro tremendamente complejo. Es necesario leer los elementos de Euclides para no tener problemas con los ejercicios de trigonometría. La primera parte como pudimos ver, es una introducción a entender la filosofía aristotélica y cómo ésta está vinculada con la astronomía que plantea Ptolomeo. Sin duda es un gran mérito que Ptolomeo haya podido determinar todos los ángulos posibles dentro de una circunferencia, sin la tecnología con la que contamos. Realmente algo digno de elogiar.
